2020-2021學年高一數學人教A版（2019）必修第二冊棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積同步練習學校:___________姓名：___________班級：___________學號：___________一．選擇題已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，各側面均為正三角形，且AB=5，則四棱錐S-ABCD的表面積為(????)A.75+253 B.50+253 C.25+253已知一個銅質的五棱柱的底面積為16?cm2，高為4?cm，現將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊(不計損耗)，那么鑄成的銅塊的棱長是

(

)A.2?cm B.43?cm C.4?cm已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為A.18 B.16 C.524如圖所示，三棱臺ABC-A1B1C1的體積為V，其中AB=2A1A.14V B.23V C.3中國古代名詞“芻童”是指上、下底面皆為長方形的草垛，關于“芻童”體積的計算，《九章算術》中有這樣的記載：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”其意思是：“上底長的2倍加下底長，同樣下底長的2倍加上底長；各用它們對應的寬相乘，再次相加，再用高或深相乘，除以6.以公式表示，則所求體積為[(2上袤+下袤)×上廣+(2下袤+上袤)×下廣]×高6”.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為

(

)A.392 B.752 C.39 已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為5，則該正四棱錐的體積為(

)A.43 B.23 C.43正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側棱長為2cm，則棱臺的側面積為(????)A.4cm2 B.8cm2 C.已知正三棱柱的高為4，體積為43，則底面三角形的邊長為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V1，E為棱CC1上的點，且A.13 B.16 C.19 將長度分別是2，3，5，6，9的五根木棒連接起來(只允許連接，不允許折斷)，組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為(????)A.258 B.414 C.416 D.418(多選題)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行

D.當容器傾斜如圖(3)所示時，二．填空題正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，則以B若底面是菱形的直棱柱的側棱長是5，體對角線長分別是9和15，則這個直棱柱的表面積是

．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1兩兩成60°角，點E，F，G分別為線段AB，AC，AA1上的點，且AE=12AB如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1三.解答題如圖是一個以△A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1=B1(1)求該幾何體的體積；(2)求截面ABC的面積．

如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E，F分別為AA1，

圖是某儲蓄罐的平面展開圖，其中∠GCD=∠EDC=∠GFE=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．

(1)若將五邊形CDEFG看成底面，說明該儲蓄罐的幾何特征；(2)已知該儲蓄罐的容積為1250?cm3，求制作該儲蓄罐所需材料的總面積(精確到整數位，材料厚度、投幣口的面積忽略不計)．

答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】

本題考查四棱錐表面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．

設E為AB的中點，則SE⊥AB，由已知條件求出S側=4S△SAB=4×12×5×532=25°3，S底=52=25，由此能求出它的表面積．

【解答】

解：∵四棱錐S-ABCD的各棱長均為5，

底面為正方形，各側面均為正三角形，

設E為AB的中點，則【解析】【分析】求出銅塊的體積，設熔化后鑄成一個正方體的銅塊的棱長為acm，根據熔化前后體積相等，易構造一個關于a的方程，解方程即可求出所鑄成的銅塊的棱長．

本題考查的知識點：柱體的體積問題，熔化前后體積相等，是解答本題的關鍵．【解答】解：∵銅質的五棱柱的底面積為16cm2，高為4cm，

∴銅質的五棱柱的體積V=16×4=64cm3，

設熔化后鑄成一個正方體的銅塊的棱長為acm，

則a3=64，

解得

3.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，再由三棱柱體積減去三棱錐體積求解．

本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．【解答】解：如圖，

設A1B∩AB1=E，AC1∩BD1=O，DC1∩CD1=F

4.【答案】C【解析】【分析】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題．設三棱臺ABC-A1B1C1的上底面面積為S，由已知可得下底面面積為4【解答】解：設三棱臺ABC-A1B1C1的上底面面積為S，

∵AB=2A1B1，∴下底面面積為4S，再設棱臺的高為h，

則，

VA1-ABC=13×4S×h=

5.【答案】B【解析】【分析】

本題考查“芻童”的體積的最大值的求法，考查二次函數模型的應用，是中檔題．

設下底面的長寬分別為x，y，推導出x+y=9，該“芻童”的體積為：V=16×3[2(6+x)+(2x+3)y]=12(-2x2+17x+39)，然后由二次函數知識就能求出結果．

【解答】

解：設下底面的長寬分別為x，y，(x?y>0)

則2(x+y)=18，∴x+y=9，則y=9-x，

所以x?9-x，即9-2x≤0，

又9-x>0，

∴92?x<9．

∴該“芻童”的體積為：

V=16×3[2(6+x)+(2x+3)y]=12(30+2xy+y)【解析】【分析】

本題主要考查了棱錐的體積的運算，是基礎題．

解決問題的關鍵在于求出棱錐的高，再代入體積公式計算即可．

【解答】

解：∵正四棱錐底面邊長為2，

∴底面對角線長為22，

∴棱錐的高為：52-22=3，

∴該四棱錐的體積為：13×【解析】【分析】本題考查棱臺的側面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．

利用已知條件求出斜高，然后求解棱臺的側面積即可．

【解答】解：正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側棱長為2cm，

所以棱臺的斜高為：22-(3-12)2=3cm．

所以棱臺的側面積是：4×【解析】【分析】

此題考查三棱錐的體積的求法，屬于基礎題．

根據三棱錐的體積和高求出底面積，再求邊長即可．

【解答】

解：設正三棱柱底面三角形的邊長為a，則底面三角形的面積S=34a2，由正三棱柱的體積V=34a2×4=4【解析】【分析】

本題考查兩個幾何體的體積的比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．

利用棱柱的體積公式求解V1，棱錐的體積求解V2，由此能得到V2V1的值即可．

，則．故選D．

10.【答案】C【解析】【分析】設長方體的三條棱分別為a，b，c，則長方體的表面積S=2(ab+bc+ac)，由不等式的基本性質可知，當a，b，c最接近時能夠得到的長方體的表面積最大，由此可得用2、6連接，3、5連接各為一條棱，第三條棱為9組成長方體，則最大表面積可求．

本題考查長方體表面積的求法，考查了不等式的基本性質，是中檔題．【解答】解：設長方體的三條棱分別為a，b，c，

則長方體的表面積S=2(ab+bc+ac)≤(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2，

當且僅當a=b=c時上式“=”成立．

由題意可知，a，b，c不可能相等，

故考慮當a，b，c三邊長最接近時面積最大，此時三邊長為8，8，9，

用2、6連接，3、5連接各為一條棱，第三條棱為9

11.【答案】AD【解析】【分析】

本題考查了棱柱特征：有兩個面是相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，同時考查對空間的想象力和圖象變形的靈活處理能力，由題意抓住棱柱形的特征進行判斷，觀察即可得到答案，屬于中檔題．

【解答】

解：∵棱柱特征：有兩個面是相互平行且是全等的多邊形，

其余每相鄰兩個面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，

∴通過棱柱特征，故A正確．

∵水面EFGH所在四邊形的面積，

從圖我們發現，有條邊長不變，而另外一條邊長隨傾斜度變化而變化，

∴EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯誤．

∵棱D1C1始終與BC平行，BC與水面始終平行，

D1C1始終與水面所在平面平行，

故C錯誤．

∵水的體積是不變的，高始終是AB也不變，底面積也不會變，即AE?AH是定值，故D正確．

【解析】【分析】

本題主要考查空間幾何體的結構特征及體積的計算，屬于基礎題．

根據題意將所求四面體的體積轉化為正四棱柱的體積減去四個三棱錐的體積來計算可得．

【解答】

解：如圖所示：

四面體的體積等于正四棱柱的體積減去四個三棱錐的體積，即V=1×1×2-1故答案為23．

13.【答案】【解析】【分析】本題著重考查了線面垂直的定義、菱形的性質和直棱柱的側面積公式等知識，考查求柱體的表面積，屬于中檔題．

根據線面垂直的定義，利用勾股定理結合題中數據算出底面菱形的對角線長分別為56和102，再由菱形的性質算出底面的邊長為8【解答】解：設直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C=9，BD1=15，

∵A1A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴A1A⊥AC，

Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC=A?1C2-A?1A2=56，

同理可得BD=D

14.【答案】43【解析】【分析】本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

推導出EFGH是邊長為2的正方形，點A1到平面EFGH的距離d=AA1【解答】解：

∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，

E，F，G，H分別是四條棱AB，BC，CD，DA上的中點，

∴四邊形EFGH是邊長為2的正方形，

點A1到平面EFGH的距離d=AA1=2，

∴四棱錐

15.【答案】1【解析】【分析】本題考查了棱錐的體積計算，屬于中檔題．

分別判斷底面積和高的比值，再根據體積公式得出體積的比值．【解答】解：∵AE=12AB，AF=13AC，

∴S△AEF=16S△ABC，

設三棱柱的高為h，由AG=23AA

16.【答案】1【解析】【分析】本題考查了三棱錐體積的計算，等體積轉化法是常常需要優先考慮的策略，屬于基礎題．

結合題意求出F到的距離，結合等體積法即可求解．【解答】解：VD1-EDF=VF-D1ED，

，

因為B1C//A1D，，，

所以，

故F到的距離等于1

17.【答案】解：(1)過C作平行于平面A1B1C1的截面A2B2C

由直三棱柱性質及∠A1B1C1=90°

由題知，該幾何體的體積V=V三棱柱A1B1C1-A2【解析】本題考查幾何體體積求法以及幾何體中的截面問題，屬于基礎題．

1可通過將該組合體分割為一個三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，然后根據體積計算公式容易求解。2算出三角形ABC的各邊后可以發現三角形ABC為一個等腰三角形，從而求出面積。

18.【答案】解：∵EB=BF=FD1=D1E=a2+(a2)2=52a，

∴四棱錐A1-EBFD1的底面是菱形．

連接EF，則△EFB≌△EFD1．

∵三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-EFD1等底同高，

∴VA1-EFB=VA1-EFD1．

∴【解析】本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，以及空間想象能力和邏輯推理能力．

三棱錐A1-E