總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計一、知識梳理1.總體集中趨勢的估計=1\*GB2⑴眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計值是_____________________。=2\*GB2⑵中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計值是畫一條與橫軸垂直的直線，使得直方圖在直線左右兩邊的________，該直線與橫軸交點的橫坐標。=3\*GB2⑶平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本的平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的_______與小矩形的面積的____之和近似代替。2.總體離散程度的估計=1\*GB2⑴方差、標準差的定義：如果一個樣本中個體的變量值分別為樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，為樣本標準差。=2\*GB2⑵方差、標準差的結(jié)論：若一個樣本中個體的變量值的平均數(shù)、方差、標準差分別為，則的平均數(shù)、方差、標準差分別為________,_________,____________.二、重要題型知識點一：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算1.某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,902.某中學舉行電腦知識競賽,現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是,,,,.求:(1)高一參賽學生的成績的眾數(shù)、中位數(shù);(2)高一參賽學生的平均成績.知識點二：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的實際應(yīng)用3.某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下：每人銷售件數(shù)1800510250210150120人數(shù)113532(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)；(2)假設(shè)銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認為是否合理，為什么？如果不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．知識點三：樣本的標準差、方差的計算4．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．92,2B．92,C．93,2D．93,5.現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標準差是()A．1B．2C．3D．46．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．, B．,C．, D．,知識點四：樣本的標準差、方差的實際應(yīng)用7.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計算結(jié)果，估計兩名戰(zhàn)士的射擊情況．若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？(4)甲、乙兩名戰(zhàn)士的成績在[eq\o(x,\s\up6(－))－2s，eq\o(x,\s\up6(－))＋2s]內(nèi)有多少？三、鞏固練習1．在某次考試中，10名同學的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.則這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和75%分位數(shù)分別為()A．84,68,83B．84,78,83C．84,81,84D．78,81,842．對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則估計此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A．, B．,C．2, D．,3．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人的成績的標準差為()分數(shù)54321人數(shù)2010303010\r(3)\f(2\r(10),5)C．3\f(8,5)4．一組數(shù)據(jù)的平均值是eq\o(x,\s\up6(－))，標準差是s，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以2，所得到的一組新數(shù)據(jù)的平均值和標準差分別是()\o(x,\s\up6(－))，s\o(x,\s\up6(－))，2sC．2eq\o(x,\s\up6(－))，sD．2eq\o(x,\s\up6(－))，2s5．近年來，某市私家車數(shù)量持續(xù)增長，2015年至2019年該市私家車數(shù)量依次為15,19,22,26,30(單位：萬輛)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，10%分位數(shù)是________，20%分位數(shù)是________．6．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為________．7．某班有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班6名男生和4名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，6名男生的成績分別為86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成績分別為90分，93分，93分，88分，則下列說法：①這種抽樣方法是比例分配的分層隨機抽樣；②該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)；③這6名男生成績的方差大于這4名女生成績的方差；④被抽取的10名學生成績的平均數(shù)和方差分別為分和.其中一定正確的是________(寫出所有正確說法的序號)．8．從高三抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學生成績的平均數(shù)(答案精確到．9.從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽,為此需要對他們的射箭水平進行測試.這兩名學生在相同條件下各射箭10次,命中的環(huán)數(shù)如下:甲897976101086乙10986879788(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差.(2)比較兩個人的成績,然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.總體集中趨勢的估計總體離散程度的估計參考答案一、知識梳理1.=1\*GB2⑴最高矩形底邊中點的橫坐標。=2\*GB2⑵面積相等.=3\*GB2⑶橫坐標,乘積.2.=1\*GB2⑴或，。=2\*GB2⑵.二、重要題型由平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義可知，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×75,1＋1＋2＋4＋1＋1)＝87；因為得85分的有4人，所以眾數(shù)是85；把成績由大到小排列為100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位數(shù)是85.2.解：(1)由圖可知眾數(shù)為65,因為第一個小矩形的面積為,所以設(shè)中位數(shù)為60+x,則+x×=,得x=5,所以中位數(shù)為60+5=65.(2)依題意,平均成績?yōu)?5×+65×+75×+85×+95×=67,故平均成績約為67.3.解：(1)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位數(shù)為210，眾數(shù)為210.(2)不合理．因為15人中有13人的銷售額達不到320件，也就是說，320雖是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，但它卻不能反映銷售人員的一般水平．銷售額定為210件合理些，這是由于210既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，是絕大部分人都能達到的銷售額.去掉一個最高分95與一個最低分89后，所得的5個數(shù)分別為90,90,93,94,93，所以eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝，故選B.由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，即標準差s＝1.每一個數(shù)據(jù)都加上60，所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加60，而方差保持不變．7.解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，得seq\o\al(2,甲)＝3，seq\o\al(2,乙)＝.(3)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當．又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動比乙大．因此，乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定．從成績的穩(wěn)定性考慮，應(yīng)選擇乙參加比賽．(4)因為s甲＝eq\r(s\o\al(2,甲))＝eq\r(3)≈，eq\o(x,\s\up6(－))甲－2s甲≈，eq\o(x,\s\up6(－))甲＋2s甲≈，所以甲戰(zhàn)士的成績?nèi)吭赱eq\o(x,\s\up6(－))－2s，eq\o(x,\s\up6(－))＋2s]內(nèi)．因為s乙＝eq\r(s\o\al(2,乙))＝eq\r≈，eq\o(x,\s\up6(－))乙－2s乙≈，eq\o(x,\s\up6(－))乙＋2s乙≈，所以乙戰(zhàn)士的成績也全部在[eq\o(x,\s\up6(－))－2s，eq\o(x,\s\up6(－))＋2s]內(nèi).三、鞏固練習將所給數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列是68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，顯然眾數(shù)為84，而本組數(shù)據(jù)共10個，中間兩個數(shù)是79,83，它們的平均數(shù)為81，即中位數(shù)為81.因為10×75%＝，所以這一組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為84.故選C.眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)，在頻率分布直方圖中通常取該組區(qū)間的中點，所以眾數(shù)為eq\f(2＋,2)＝.中位數(shù)是頻率為的分界點，由頻率分布直方圖，可知前4組的頻率和為＋＋＋×＝，因此中位數(shù)出現(xiàn)在第5組，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－2)×＝，解得x＝，故選B.平均數(shù)為eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3.故s2＝eq\f(1,100)×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝eq\f(8,5).故s＝eq\r(\f(8,5))＝eq\f(2\r(10),5).設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，都乘以2后的新數(shù)據(jù)為2x1,2x2，…，2xn.由題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，則eq\f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n)＝2eq\o(x,\s\up6(－)).又s＝eq\r(\f(x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2,n))，所以eq\r(\f(2x1－2\o(x,\s\up6(－))2＋2x2－2\o(x,\s\up6(－))2＋…＋2xn－2\o(x,\s\up6(－))2,n))＝2s.故選D.1517這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，22處于最中間的位置，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是22.∵5×10%＝，∴該組數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是15，∵5×20%＝1，∴該組數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)是eq\f(15＋19,2)＝17.由題意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，則t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.7.①③④因為該班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比為3∶2，所以這種抽樣方法是比例分配的分層隨機抽樣，①正確；抽取的6名男生成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))男＝eq\f(86＋94＋88＋92＋90＋90,6)＝90(分)，抽取的4名女生成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))女＝eq\f(90＋93＋93＋88,4)＝91(分)，雖然eq\o(x,\s\up6(－))男<eq\o(x,\s\up6(－))女，但并不一定能說明該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)，②不一定正確；這6名男生成績的方差seq\o\al(2,男)＝eq\f(1,6)×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2]＝eq\f(20,3)，這4名女生成績的方差seq\o\al(2,女)＝eq\f(1,4)×[(90－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2]＝eq\f(9,2)，因為eq\f(20,3)>eq\f(9,2)，所以③正確；被抽取的10名學生成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6,10)×90＋eq\f