編號：003課題:§向量的數乘目標要求1、理解并掌握向量數乘的運算律和向量共線定理．2、理解并掌握向量的線性運算．3、會用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共線的應用.學科素養目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：用已知向量表示未知向量；難點：向量共線的應用．教學過程基礎知識點1.向量的數乘運算(1)定義向量文字表述一般地,我們規定實數與向量的積是一個_________,這種運算叫作向量的數乘,記作______________.規定長度方向當λ>0時,的方向與的方向_____________;當λ<0時,的方向與的方向______________;當λ=0時,=_______.方向λ>1把向量沿著向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿著向量的相同方向縮小-1<λ<0把向量沿著向量的相反方向縮小λ<-1把向量沿著向量的相反方向放大(2)應用:①與向量的加減法綜合運算;②用其幾何意義研究向量共線問題.2.向量數乘的運算律設λ,μ為實數,則(1);(2);(3).特別地,我們有.3.向量的線性運算(1)定義:向量的_____________、___________、____________統稱為向量的線性運算.(2)運算結果:向量線性運算的結果仍是______________.(3)運算律:對于任意向量,以及任意實數λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共線定理(1)條件:為非零向量;(2)如果有一個實數λ,使,那么與是共線向量;(3)如果與是共線向量,那么有且只有一個實數λ,使.【思考】(1)兩個向量共線的充要條件中的“”是否可以去掉?(2)與非零向量共線的單位向量怎樣表示?(3)如果條件是向量b是非零向量,應如何表示呢?【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.實數與向量也可以加減,如. B.若,則(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,則.題2.(多選題)下列各式計算正確的有 ()A.B.C.D.題3.把下列各小題中的向量表示為實數與向量的積:(1)可表示為________;(2)可表示為________.關鍵能力·合作學習類型一向量的線性運算(數學運算)【題組訓練】題4.等于 ()A. B.C. D.題5.已知向量滿足,則=________,=________.(用表示)題6.如圖,已知向量與,求作向量.【解題策略】向量線性運算的方法(1)幾何意義法依據向量加法、減法和數乘運算的幾何意義,直接作圖.(2)類比法向量的線性運算類似于整式的運算,例如:去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數看作是向量的“系數”.(3)方程法向量也可以通過列方程來求解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解,同時在運算過程中多注意觀察,恰當地運用運算律,簡化運算.【補償訓練】題7.已知向量,且,則________.類型二用已知向量表示未知向量(邏輯推理、數學運算)【典例】題8.已知在?ABCD中,M,N分別是DC,BC的中點.若，試用表示.四步內容理解題意條件:.結論:表示思路探求由及為△MAN的中線可求解.書寫表達因為M,N分別是DC,BC的中點,所以.因為，所以.又因為AO是△AMN的中線,所以注意書寫的規范性:①向量書寫正確;②最終結果盡量按先后的順序.題后反思用已知向量表示未知向量,是向量加減法與數乘運算的綜合應用【解題策略】用已知向量表示相關向量(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.【跟蹤訓練】題9.如圖所示,四邊形OADB是以向量為鄰邊的平行四邊形.又，試用表示.【補償訓練】題10.設M,N,P是△ABC三邊上的點,它們使，若，試用將表示出來.【拓展延伸】兩個結論1.在△ABC中,若D是線段BC的中點,則.2.若O是△ABC重心,則.【拓展訓練】題11.已知在△ABC中,點M滿足若存在實數m使得成立,則m=________.類型三向量共線的應用(邏輯推理、數學運算)角度1判斷向量共線或三點共線【典例】題12.已知非零向量不共線.(1)若,判斷向量是否共線;(2)若，求證:A,B,D三點共線.【變式探究】題13.已知非零向量不共線.若“”,判斷與是否共線?角度2運用向量共線求參數【典例】題14.若是兩個不共線的非零向量,與起點相同,則當t為何值時,三向量的終點在同一條直線上.【解題策略】1.判斷向量共線或三點共線的方法(1)判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一實數λ,使得.(2)一般來說,要判斷A,B,C三點共線,只需看是否存在實數,使得(或等)即可.2.利用向量共線求參數的基本步驟(1)根據向量共線的充要條件建立共線向量之間的等量關系(通常要引入一個參數).(2)依據下述結論列方程組求參數.結論:如果,且與不共線,則實數λ和μ都是0.理由:若λ,μ是兩個不同時為零的實數.不妨設λ≠0,則.由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.所以實數λ和μ都是0.【題組訓練】題15.設是兩個不共線的向量,若向量,與向量共線,則λ的值為 () D.題16.設是兩個不共線向量,.(1)證明:A,B,D三點共線;(2)若,且B,D,F三點共線,求k的值.【拓展延伸】關于A,B,C三點共線條件的變形式題17.平面上三點A,B,C共線的充要條件是:存在實數,使得,其中,O為平面內任意一點.【拓展訓練】題18.已知A,B,P三點共線,O為直線外任意一點,若,求x+y的值.課堂檢測·素養達標題19.已知,則()A. B. C. D.題20.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD邊的中點,且,則()A. B.C. D.題21.已知,則________,________,________.題22.下面向量共線的序號是__________.(其中不共線);;;.題23.已知點C在線段AB的延長線上,且(1)用表示;(2)用表示.編號：003課題:§向量的數乘目標要求1、理解并掌握向量數乘的運算律和向量共線定理．2、理解并掌握向量的線性運算．3、會用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共線的應用.學科素養目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產中.通過數形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：用已知向量表示未知向量；難點：向量共線的應用．教學過程基礎知識點1.向量的數乘運算(1)定義向量文字表述一般地,我們規定實數與向量的積是一個__向量___,這種運算叫作向量的數乘,記作____.規定長度方向當λ>0時,的方向與的方向__相同___;當λ<0時,的方向與的方向__相反___;當λ=0時,=__.方向λ>1把向量沿著向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿著向量的相同方向縮小-1<λ<0把向量沿著向量的相反方向縮小λ<-1把向量沿著向量的相反方向放大(2)應用:①與向量的加減法綜合運算;②用其幾何意義研究向量共線問題.2.向量數乘的運算律設λ,μ為實數,則(1);(2);(3).特別地,我們有.3.向量的線性運算(1)定義:向量的__加法___、__減法___、__數乘___統稱為向量的線性運算.(2)運算結果:向量線性運算的結果仍是__向量___.(3)運算律:對于任意向量,以及任意實數λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共線定理(1)條件:為非零向量;(2)如果有一個實數λ,使,那么與是共線向量;(3)如果與是共線向量,那么有且只有一個實數λ,使.【思考】(1)兩個向量共線的充要條件中的“”是否可以去掉?提示:不能,定理中之所以限定是由于若,λ存在,但不唯一,若,則λ不存在.(2)與非零向量共線的單位向量怎樣表示?提示:由于單位向量的長度總等于1,所以與非零向量共線的單位向量應為.(3)如果條件是向量b是非零向量,應如何表示呢?提示:只需將改為.【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.實數與向量也可以加減,如. B.若,則(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,則.【答案】選ACD提示:A×.實數與向量不能進行加減運算,是沒有意義的.B×.的一種情況是,另一種情況是λ=0.實際上,的充要條件是λ=0或.C√.由向量的數乘運算的幾何意義可知.D×.當m=0時,與不一定是相等向量.題2.(多選題)下列各式計算正確的有 ()A.B.C.D.【解析】選ACD.進行線性運算,分別進行驗算..題3.把下列各小題中的向量表示為實數與向量的積:(1)可表示為________;(2)可表示為________.【解析】(1)因為,所以,所以可表示為;(2)因為,所以，所以可表示為.答案:(1)(2)關鍵能力·合作學習類型一向量的線性運算(數學運算)【題組訓練】題4.等于 ()A. B.C. D.【解析】選B.原式=.題5.已知向量滿足,則=________,=________.(用表示)【解析】由已知得×3+②×2得,×4+②×3,得.所以,.答案:題6.如圖,已知向量與,求作向量.【解析】作向量,則即為所求向量,如圖:【解題策略】向量線性運算的方法(1)幾何意義法依據向量加法、減法和數乘運算的幾何意義,直接作圖.(2)類比法向量的線性運算類似于整式的運算,例如:去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數看作是向量的“系數”.(3)方程法向量也可以通過列方程來求解,把所求向量當作未知數,利用解方程的方法求解,同時在運算過程中多注意觀察,恰當地運用運算律,簡化運算.【補償訓練】題7.已知向量,且,則________.【解析】因為,所以,即.答案:類型二用已知向量表示未知向量(邏輯推理、數學運算)【典例】題8.已知在?ABCD中,M,N分別是DC,BC的中點.若，試用表示.四步內容理解題意條件:.結論:表示思路探求由及為△MAN的中線可求解.書寫表達因為M,N分別是DC,BC的中點,所以.因為，所以.又因為AO是△AMN的中線,所以注意書寫的規范性:①向量書寫正確;②最終結果盡量按先后的順序.題后反思用已知向量表示未知向量,是向量加減法與數乘運算的綜合應用【解題策略】用已知向量表示相關向量(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系,然后解關于所求向量的方程.【跟蹤訓練】題9.已知四邊形OADB是以向量為鄰邊的平行四邊形.又，試用表示.【解析】，所以.因為，所以.所以.【補償訓練】題10.設M,N,P是△ABC三邊上的點,它們使，若，試用將表示出來.【解析】因為，所以由此可得,因為，所以，同理可得.【拓展延伸】兩個結論1.在△ABC中,若D是線段BC的中點,則.2.若O是△ABC重心,則.【拓展訓練】題11.已知在△ABC中,點M滿足若存在實數m使得成立,則m=________.【解析】因為，所以點M是△ABC的重心,所以所以m=3.答案:3類型三向量共線的應用(邏輯推理、數學運算)角度1判斷向量共線或三點共線【典例】題12.已知非零向量不共線.(1)若,判斷向量是否共線;(2)若，求證:A,B,D三點共線.【思路導引】(1)利用向量共線定理判定向量共線;(2)先判斷與共線,進而證明A,B,D三點共線.【解析】(1)因為,所以向量共線.(2)因為,所以與共線,且有公共點B,所以A,B,D三點共線.【變式探究】題13.已知非零向量不共線.若“”,判斷與是否共線?【解析】若與共線,則存在,使,即,所以.因為與不共線,所以，所以λ不存在,所以與不共線.角度2運用向量共線求參數【典例】題14.若是兩個不共線的非零向量,與起點相同,則當t為何值時,三向量的終點在同一條直線上.【思路導引】根據已知的三個向量的終點在同一條直線上建立的關系,然后根據不共線列方程求t.【解析】設，所以.要使A,B,C三點共線,只需，所以.即.由不共線,必有.否則,不妨設，則由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.由，解得所以當時,三向量終點在同一條直線上.【解題策略】1.判斷向量共線或三點共線的方法(1)判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一實數λ,使得.(2)一般來說,要判斷A,B,C三點共線,只需看是否存在實數,使得(或等)即可.2.利用向量共線求參數的基本步驟(1)根據向量共線的充要條件建立共線向量之間的等量關系(通常要引入一個參數).(2)依據下述結論列方程組求參數.結論:如果,且與不共線,則實數λ和μ都是0.理由:若λ,μ是兩個不同時為零的實數.不妨設λ≠0,則.由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.所以實數λ和μ都是0.【題組訓練】題15.設是兩個不共線的向量,若向量,與向量共線,則λ的值為 () D.【解析】選D.因為向量與共線,所以存在唯一實數u,使成立.即,所以,又因為與不共線.所以解得.題16.設是兩個不共線向量,.(1)證明:A,B,D三