編號：004課題:§向量的數(shù)量積目標要求1、理解并掌握向量數(shù)量積的性質和運算律．2、理解并掌握向量數(shù)量積和投影向量．3、會求向量的模．4、會解決向量夾角與垂直問題.學科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量的模；難點：向量夾角與垂直問題．教學過程基礎知識點1.向量的數(shù)量積(1)定義:條件兩個____________向量與,它們的夾角是θ結論把數(shù)量_____________叫作向量和的數(shù)量積(或內積)記法記作,即_____________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為_____________(2)本質:數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算,其運算結果是一個數(shù)量,其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關,符號由夾角的余弦值的符號決定.(3)應用:①求向量的夾角;②研究向量的垂直問題;③求向量的模.2.投影與投影向量(1)變換:變換圖示設是兩個非零向量,過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到(2)結論:稱上述變換為向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)計算:設與方向相同的單位向量為與的夾角為θ,則向量在向量上的投影向量為__________.3.向量數(shù)量積的性質(1)條件:設是非零向量,它們的夾角是θ,是與方向相同的單位向量.(2)性質:①.②.③當與同向時,;當與反向時,.特別地,或.④.4.向量數(shù)量積的運算律(1).(2).(3).【思考】(1)對于向量,等式一定成立嗎?(2)若,則一定成立嗎?【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.向量的數(shù)量積也可記作或. B.對于向量,若,則或.C.若,則和的夾角為銳角.D.向量在上的投影向量是一個模等于(θ是與的夾角),且與共線的一個向量.題2.若向量滿足,與的夾角為30°,則等于 ()A. B. C. D.題3.已知為一單位向量,與之間的夾角是120°,而在方向上的投影向量的模為2,則________.關鍵能力·合作學習類型一向量數(shù)量積和投影向量(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.在△ABC中,∠A=60°,，則的值為 () B. C. 題5.已知等邊△ABC的邊長為2,則向量在向量方向上的投影向量為 ()A. B. C. D.題6.已知向量與的夾角θ為120°,且,求:(1);(2).【解題策略】1.向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角,其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關鍵.(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.2.求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識作出恰當?shù)拇咕€,直接得到投影向量.(2)首先根據(jù)題意確定向量的模,與同向的單位向量,及兩向量與的夾角θ,然后依據(jù)公式計算.【補償訓練】題7.若,與的夾角θ=120°,則 () 題8.已知,且與的夾角θ為45°,則向量在向量上的投影為________.類型二向量的模(數(shù)學運算)【典例】題9.如圖,在△ABC中,,E是AD的中點,設.(1)試用表示;(2)若,且與的夾角為60°,求.【解題策略】1.求向量的模的依據(jù)和基本策略(1)依據(jù):或,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化.(2)基本策略:求模問題一般轉化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用,勿忘記開方.2.拓展公式(1).(2).【跟蹤訓練】題10.已知向量滿足,則________.題11.已知,向量與的夾角θ為,求.【拓展延伸】關于向量模的最值問題解答此類問題通常分以下兩步(1)依據(jù)數(shù)量積及其運算性質,建立所求量關于某個變量的函數(shù);(2)利用有關函數(shù)的圖象和性質求最值.【拓展訓練】題12.已知與的夾角為60°,，若,則的最小值為________.類型三向量夾角與垂直問題(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1兩向量夾角問題【典例】題13.已知.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【變式探究】題14.已知“,且與的夾角為45°”,試求與的夾角的余弦值.角度2兩向量垂直問題【典例】題15.已知向量的夾角為.(1)求的值;(2)若和垂直,求實數(shù)t的值.【解題策略】求向量夾角的基本步驟2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關題目的依據(jù)是,利用數(shù)量積的運算代入,結合與向量的模、夾角相關的知識解題.【題組訓練】題16.已知是單位向量,若,則與的夾角為 ()° ° ° °題17.已知非零向量a,b滿足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,則a與b的夾角θ的余弦值為()A. B. C. D.題18.已知,且與λa-b垂直,則λ等于 ()A. B. C. 【補償訓練】題19.已知向量不共線,且,求證:.課堂檢測·素養(yǎng)達標題20.已知向量和滿足,和的夾角為135°,則為 () 題21.已知正方形ABCD的邊長為2,則()A. D.題22.已知向量滿足,則________.題23.已知向量滿足,且,則與的夾角為____.題24.已知,為單位向量,當向量的夾角θ分別等于60°,90°,120°時,求向量在向量上的投影向量.編號：004課題:§向量的數(shù)量積目標要求1、理解并掌握向量數(shù)量積的性質和運算律．2、理解并掌握向量數(shù)量積和投影向量．3、會求向量的模．4、會解決向量夾角與垂直問題.學科素養(yǎng)目標向量注重“形”，是幾何學的基礎，廣泛應用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：向量的模；難點：向量夾角與垂直問題．教學過程基礎知識點1.向量的數(shù)量積(1)定義:條件兩個__非零___向量與,它們的夾角是θ結論把數(shù)量_____________叫作向量和的數(shù)量積(或內積)記法記作,即_____________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為__(2)本質:數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算,其運算結果是一個數(shù)量,其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關,符號由夾角的余弦值的符號決定.(3)應用:①求向量的夾角;②研究向量的垂直問題;③求向量的模.2.投影與投影向量(1)變換:變換圖示設是兩個非零向量,過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到(2)結論:稱上述變換為向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.(3)計算:設與方向相同的單位向量為與的夾角為θ,則向量在向量上的投影向量為__________.3.向量數(shù)量積的性質(1)條件:設是非零向量,它們的夾角是θ,是與方向相同的單位向量.(2)性質:①.②.③當與同向時,;當與反向時,.特別地,或.④.4.向量數(shù)量積的運算律(1).(2).(3).【思考】(1)對于向量,等式一定成立嗎?提示:不一定成立,因為若,其方向與相同或相反,而時其方向與相同或相反,而與方向不一定相同,故該等式不一定成立.(2)若,則一定成立嗎?提示:不一定成立.在向量數(shù)量積的運算中,若,則,于是有或.因此,由不一定能得到.【課前基礎演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.向量的數(shù)量積也可記作或. B.對于向量,若,則或.C.若,則和的夾角為銳角.D.向量在上的投影向量是一個模等于(θ是與的夾角),且與共線的一個向量.【答案】選ABC提示:A×.向量的數(shù)量積記作.B×.,還可能有.C×.當向量與同向時,,但是此時和的夾角為0°,不是銳角.D√.由投影向量的概念可知此說法正確.題2.若向量滿足,與的夾角為30°,則等于 ()A. B. C. D.【解析】選D.當與的夾角為30°時,.題3.已知為一單位向量,與之間的夾角是120°,而在方向上的投影向量的模為2,則________.【解析】因為,所以,所以.答案:4關鍵能力·合作學習類型一向量數(shù)量積和投影向量(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.在△ABC中,∠A=60°,，則的值為 () B. C. 【解析】選A.因為在△ABC中,∠A=60°,所以與的夾角為120°,由數(shù)量積的定義可得.題5.已知等邊△ABC的邊長為2,則向量在向量方向上的投影向量為 ()A. B. C. D.【解析】選A.在等邊△ABC中,因為∠A=60°,所以向量在向量方向上的投影向量為,所以向量在向量方向上的投影向量為.題6.已知向量與的夾角θ為120°,且,求:(1);(2).【解析】(1)由已知得.(2).【解題策略】1.向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角,其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關鍵.(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.2.求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識作出恰當?shù)拇咕€,直接得到投影向量.(2)首先根據(jù)題意確定向量的模,與同向的單位向量,及兩向量與的夾角θ,然后依據(jù)公式計算.【補償訓練】題7.若,與的夾角θ=120°,則 () 【解析】選C..題8.已知,且與的夾角θ為45°,則向量在向量上的投影為________.【解析】由已知得向量在向量上的投影.答案:類型二向量的模(數(shù)學運算)【典例】題9.如圖,在△ABC中,,E是AD的中點,設.(1)試用表示;(2)若,且與的夾角為60°,求.【解題策略】1.求向量的模的依據(jù)和基本策略(1)依據(jù):或,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化.(2)基本策略:求模問題一般轉化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用,勿忘記開方.2.拓展公式(1).(2).【跟蹤訓練】題10.已知向量滿足,則________.【解析】由已知有將代入方程組,解得.答案:題11.已知,向量與的夾角θ為,求.【解析】因為,夾角,所以,，所以.【拓展延伸】關于向量模的最值問題解答此類問題通常分以下兩步(1)依據(jù)數(shù)量積及其運算性質,建立所求量關于某個變量的函數(shù);(2)利用有關函數(shù)的圖象和性質求最值.【拓展訓練】題12.已知與的夾角為60°,，若,則的最小值為________.【解析】，由，得，所以，最小值為12,所以的最小值為.答案:類型三向量夾角與垂直問題(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1兩向量夾角問題【典例】題13.已知.(1)求的值;(2)求向量與夾角的余弦值.【思路導引】(1)利用和數(shù)量積的運算律求值;(2)根據(jù)數(shù)量積定義可得兩個向量夾角余弦值的計算方法.【解析】(1).因為,所以,所以.(2)因為,,所以.令與的夾角為θ,則即向量與夾角的余弦值是.【變式探究】題14.已知“,且與的夾角為45°”,試求與的夾角的余弦值.【解析】設與的夾角為θ,因為,且與的夾角為45°,所以,所以,,且，角度2兩向量垂直問題【典例】題15.已知向量的夾角為.(1)求的值;(2)若和垂直,求實數(shù)t的值.【思路導引】(1)依據(jù)數(shù)量積的定義求值;(2)依據(jù)，求t.【解析】(1);(2)因為和垂直,所以,即,所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.【解題策略】求向量夾角的基本步驟2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關題目的依據(jù)是,利用數(shù)量積的運算代入,結合與向量的模、夾角相關的知識解題.【題組訓練】題16.已知是單位向量,若,則與的夾角為 ()° ° ° °【解析】選B.因為,所以,即.又因為,所以.設與的夾角為θ,.又因為0°≤θ≤180°,所以θ=60°.題17.已知非零向量a,b滿足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,則a與b的夾角θ的余弦值為()A. B. C. D.【解析】選C.題18.已知,且與λa-b垂直,則λ等于 ()A. B. C. 【解析】選A.因為.所以.【補償訓練】題19.已知向量不共線,且,求證:.【證明】因為,所以,即,所以.所以.又與不共線,,所以.課堂檢測·素養(yǎng)達標題20.已知向量和滿足,和的夾角為135°,則為 () 【解析】選C.因為,所以.題21.已知正方形