兩角和與差的余弦【教學目標】1.能利用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用．(難點)2.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式．(重點)3.能利用兩角和與差的余弦公式化簡、求值．(重點)【核心素養】1.通過兩角和與差的余弦公式的推導，培養學生邏輯推理核心素養．2.借助兩角和與差的余弦公式的應用，培養學生的數學運算核心素養.【教學過程】新知探究兩角和與差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推導兩角差的余弦公式時，角α、β終邊與單位圓交點P1、P2的坐標是怎樣得到的？[提示]依據任意角三角函數的定義得到的．以點P為例，若設P(x，y)，則sinα＝eq\f(y,1)，cosα＝eq\f(x,1)，所以x＝cosα，y＝sinα，即點P坐標為(cosα，sinα).小試身手22°cos38°－sin22°sin38°的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),3)A[原式＝cos(22°＋38°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]2.化簡cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ為()A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cosα D．cosβC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.](－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.eq\f(1,2)[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]例題講解【例1】(1)cos345°的值等于()A．eq\f(\r(2)－\r(6),4) B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．eq\f(\r(2)＋\r(6),4) D．－eq\f(\r(2)＋\r(6),4)(2)化簡下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[思路探究]利用誘導公式，兩角差的余弦公式求解．(1)C[cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).](2)[解]①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，所以原式＝eq\f(\r(2),2).②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).規律方法：1.在兩角和與差的余弦公式中，α，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體．2.兩角和與差的余弦公式在求值應用中的一般思路：(1)把非特殊角轉化為特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造兩角和或差的余弦公式的結構形式，然后逆用公式求值．跟蹤訓練1.求下列各式的值：(1)coseq\f(13π,12)；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．[解](1)coseq\f(13π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,12)))＝－coseq\f(π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,12)－\f(2π,12)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)cos\f(π,6)＋sin\f(π,4)sin\f(π,6)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos60°＝eq\f(1,2).【例2】(1)已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則cosα－eq\f(π,3)＝________.(2)α，β為銳角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosα的值．[思路探究](1)可先求得sinα，再用兩角差的余弦公式求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))).(2)可考慮拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)來求cosα.(1)eq\f(3－4\r(3),10)[因為cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，所以sinα＝－eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).](2)[解]因為α，β為銳角，所以0<α＋β<π.又因為cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，所以0<α＋β<eq\f(π,2)，所以0<2α＋β<π.又因為cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，所以0<2α＋β<eq\f(π,2)，所以sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).給值求值的解題步驟：1找角的差異.已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，先注意觀察已知角與所求表達式中角的差異.2拆角與湊角.根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換.常見角的變換有：α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，α＝eq\f(1,2)[α＋β＋α－β]，α＝eq\f(1,2)[β＋α－β－α]等.3求解.結合公式Cα±β求解便可.跟蹤訓練2.已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cosβ的值．[解]∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).【例3】已知α，β均為銳角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．[思路探究]本題可先求出cos(α－β)的值，結合α－β的范圍，再求出α－β的值．[解]∵α，β均為銳角，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又sinα<sinβ，∴0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0.故α－β＝－eq\f(π,4).1.這類問題的求解，關鍵環節有兩點：(1)求出所求角的某種三角函數值；(2)確定角的范圍，一旦做好這兩個環節，結合三角函數的性質與圖像，角可求解．2.確定應用所求角的哪種三角函數值，要根據具體題目，結合所給角的范圍確定．跟蹤訓練3.設α，β是銳角，sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，求證：β＝eq\f(π,3).[證明]由0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，知0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，故sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))eq\s\up8(2))＝eq\f(5\r(3),14).由sinα＝eq\f(4\r(3),7)，可知cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),7)))eq\s\up8(2))＝eq\f(1,7)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(,3),14)×eq\f(4\r(,3),7)＝eq\f(1,2)，∴β＝eq\f(π,3).[探究問題]1.若已知α＋β和β的三角函數值，如何求cosα的值？[提示]cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2.利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？[提示]cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)．3.若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，則cos(α－β)等于什么？[提示]cos(α－β)＝eq\f(2－a2－b2,2).【例4】若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))的值為()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)[思路探究]利用角的交換求解，α＋eq\f(β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))).C[∵0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，又∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).故選C．]巧妙變角是指將已知角靈活分拆、配湊成待求的角.主要針對已知某些角的三角函數值，求或證明另外角的三角函數值的題目，解決問題的關鍵是要善于觀察.常見的“變角”有：①單角變為和差角，如α＝α－β＋β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)等；②倍角化為和差角，如2α＝α＋β＋α－β等.跟蹤訓練4．設coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求coseq\f(α＋β,2)的值．[解]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α－eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，eq\f(α,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\r(1－\f(1,81))＝eq\f(4\r(5),9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))