積分變換

第一章Fourier變換

§

1.1Fourier積分

但全直線上的非周期函數沒有Fourier級數表示；

引進類似于Fourier級數的Fourier積分(周期趨于無窮時的極限形式)復習:

周期函數在一定條件下可以展開為Fourier級數；最常用的一種周期函數是三角函數

fT(t)=Asin(wt+j),其中w=2p/T研究周期函數

fT(t),如果在區間[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1.連續或只有有限個第一類間斷點;2.只有有限個極值點.那么在區間[-T/2,T/2]上就可以展成Fourier級數.t由高數可知,任何滿足狄氏條件的周期函數fT(t),可表示為三角級數的形式如下:§1.2Fourier變換1.Fourier變換的概念我們知道,若函數f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在

f(t)的連續點處,有(1.8)式叫做f(t)的Fourier變換式,(1.9)式為F(w)的Fourier逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉換,可記為

F(w)=?[f(t)]和

f(t)=?

-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,

F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t) F(w)

(1.8)式右端的積分運算,叫做f(t)的Fourier變換,同樣,(1.9)式右端的積分運算,叫做F(w)的Fourier逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數,

f(t)稱作F(w)的象原函數.

可以說象函數F(w)和象原函數f(t)構成了一個Fourier變換對.傅氏積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:

1.f(t)在任一有限區間上滿足狄氏條件;

2.f(t)在無限區間(-,+)上絕對可積,則有

為連續點

為間斷點tf(t)根據(1.8)式,有這就是指數衰減函數的Fourier變換.=?

[]根據(1.9)式,有=?問題的提出Fourier變換的兩個限制：

對于任意一個函數使其進行Fourier變換時克服上述兩個缺點？能否經過適當地改造

因此,幾乎所有的實用函數j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在.

首先將j(t)

乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數值就都等于0了.

而大家知道在各種函數中,指數函數ebt

(b>0)的上升速度是很快的了,因而e-bt下降的速度也是很快的.tf(t)Otf(t)u(t)e-btO對函數j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得定義

設函數f(t)當t0時有定義,而且積分在s的某一域內收斂,則由此積分所確定的函數可寫為稱此式為函數f(t)的Laplace變換式(簡稱拉氏變換式),記為

F(s)=?[f(t)]F(s)稱為f(t)的Laplace變換(或稱為象函數).而f(t)稱為F(s)的Laplace逆變換(或象原函數)記為

f(t)=?

-1[F(s)]例1

求單位階躍函數解:根據拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有??所以例2

求指數函數f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數).

根據(2.1)式,有其實k為復數時上式也成立,只是收斂區間為

Re(s)>Re(k).?例3

求

f(t)=sinkt

(k為實數)的拉氏變換.解：?

在今后的實際工作中,我們并不要求用廣義

積分的方法來求函數的拉氏和Fourier變換,有現成的拉氏和傅氏變換表可查,就如同使用三角函數表,對數表及積分表一樣.本書已將工程實際中常遇到的一些函數及其傅氏、拉氏變換列于附錄中,以備查詢.

在物理學和工程技術中,有許多重要函數不滿足

傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件一種改進思路是轉換為Laplace求，但例如常數,符號函數,以及正,余弦函數等,我們希望其能正確地反應出頻率的特性,因此引入了單位脈沖函數及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.§1.2Fourier變換

2.單位脈沖函數及其傅氏變換

在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈沖函

數.因為有許多物理現象具有脈沖性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產生的電流;在力學中,要研究機械系統受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈沖函數.

工程上將d-函數稱為單位脈沖函數,可將d-函數用一個長度等于1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數的積分值,稱為d-函數的強度.tOd(t)1稱de(t)的弱極限為d-函數,記為d(t).即de(t)1/eeOd-函數有性質:(1)篩選性質事實上f(t)是連續函數，按積分中值定理知：=（2）函數為偶函數,即（3）其中,稱為單位階躍函數.反之,有

一般地，有d-函數的Fourier變換為:于是常數1

與d

(t)構成了一Fourier變換對.證法2：若F(w)=2pd(w),

由Fourier逆變換可得.例1

證明：2pd(w)和1構成Fourier變換對證法1：=?

[]=??[1]tOd(t)1wOF(w)1常數1單位脈沖函數d