第三章正弦交流電路3.1正弦交流電的特征3.2正弦交流電的相量表示法3.3單一參數的正弦交流電路3.4RLC串聯電路3.5RLC并聯電路3.6日光燈電路及感性負載功率因數的提高。

3.1正弦交流電的特征

大小和方向均隨時間作周期性變化，且在一個周期內其平均值為零的電壓、電流或電動勢統稱為交流電，如圖3-1所示。大小和方向隨時間按正弦規律變化的電壓、電流或電動勢統稱為正弦交流電，如圖3-1（a）所示。

以正弦交流電源為激勵，電路中產生的電流、電壓均為正弦量，這樣的電路稱為正

弦交流電路。正弦交流電應用廣泛（1）正弦交流電易于產生、轉換和傳輸。①交流電機結構簡單，工作可靠，經濟性好，可由火力發電機、風力發電機、水輪發電機、原子能發電機等方便地獲得電能。②可方便地通過變壓器改變交流電的大小，為用戶提供各種不同等級的電壓。③便于實現遠距離輸電（高壓輸電）。④能保證安全用電（降低交流電壓）。（2）利用電子設備（整流器）可方便地將交流電轉換成直流電。3.1.1正弦交流電的三要素圖3-2正弦電量的正方向和波形圖正弦交流電的數值隨時間按正弦規律變化，方向也隨時間反復變化。與該波形圖相對應的正弦電流i的數學表達式為正弦交流電動勢、正弦交流電壓的瞬時值表達式分別表示為１．最大值（振幅）正弦交流電瞬時值中的最大值也稱為幅值。正弦交流電流、電動勢、電壓的最大值（或幅值）分別用Im、Em、Um表示。２．周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率都可以表征正弦電量隨時間變化的快慢。周期T：正弦量變化一次所需的時間稱為周期，其單位為秒（s）。頻率f：正弦量每秒變化的次數稱為頻率，其單位為赫茲（Hz）。角頻率：正弦交流電每秒變化的電角度，其單位為弧度/秒（rad/s）。

某正弦交流電的頻率f=50Hz，求其周期T和角頻率３．初相位正弦交流電在任一瞬時的電角度(t+u)、(t+i)、(t+e)等稱為相位角，簡稱相位，其單位為弧度（rad）。當t=0時正弦電量的相位角稱為初相位，簡稱初相。規定初相角絕對值都小于等于，即。

如圖3-4所示，由縱軸左邊的零值點確定的初相角為i，由縱軸右邊的零值點確定的初相角為?i′，根據初相角絕對值的規定，可判斷該正弦電流的初相角應為i，而不是?i′。圖3-4正弦電量的初相角

例3-2判斷圖3-5中正弦電量波形圖的初相角，并寫出對應的瞬時值表達式。解：在圖3-5（a）中，正弦電量的零點與計時起點重合，其初相角i=0。其對應的表達式為i=Imsint。在圖3-5（b）中，正弦電量的零點在計時起點之前，其初相角為。其對應的表達式為在圖3-5（c）中，正弦電量的零點在計時起點之后，其初相角為其對應的表達式為3.1.2同頻率正弦交流電的相位關系兩個同頻率正弦交流電的相位之差稱為相位差，用字母表示

u、i的相位差為兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差。兩個同頻率正弦電量相位關系的幾種情況圖3-6兩同頻率正弦電量相位關系例3-3已知某元件的電流及其兩端的電壓是同頻率的正弦量，角頻率電壓的最大值電流的最大值電壓比電流超前60°。試寫出該正弦電壓、電流的瞬時值表達式，并畫出電壓、電流的波形圖。解：設以電流為參考正弦量，則由已知條件知：電壓、電流的瞬時值表達式如下：電壓、電流的波形圖如圖3-7所示。3.1.3正弦交流電的有效值1．有效值熱效應相同的直流電數值稱為正弦交流電的有效值。正弦交流電的有效值等效圖如圖3-8所示。設在相同的時間t內，兩個完全相同的電阻R消耗的能量相同，則圖3-8（b）中的直流電流I是圖3-8（a）中交流電流i的有效值。熱效應相同的直流電流I稱為交流電流i的有效值。同理，交流電壓、交流電動勢的有效值分別用U、E表示。有效值可以確切地反映交流電的做功能力２．有效值與最大值的關系

例3-4一個耐壓為220V的電容器是否可以接在220V交流電壓的電路中使用呢？解：220V交流電壓是交流電的有效值，其最大值是因為電容器承受的最大電壓已經超過了它的耐壓值，故該電容器不能在220V的交流電路中使用。例3-5已知，，，

求電壓的有效值U和t=0.125s時的瞬時值。解：t=0.125s時的瞬時值為3.2正弦交流電的相量表示法用復數表示正弦量的方法稱為相量表示法，簡稱相量法，又稱符號法。在正弦交流電路中，所有的電流和電壓都是同頻率的正弦量，故正弦量的角頻率不用考慮。復數正好能反映同頻率正弦量的兩個要素，故同頻率正弦量的運算可以轉化為復數運算。3.2.1復數及復數運算1．復數的表示形式及其相互轉換（1）代數式復數A一般由實部和虛部組成。其代數形式（直角坐標形式）為A=a+jb稱為虛數單位（數學中用i表示）表示）復數A

=

a

+

jb可用復平面上的一個點A（a，b）表示，用有向線段連接O和A，線段的末端帶有箭頭，成為一個矢量，則該矢量與復數A相對應，稱為復數矢量，如圖3-9所示。復數的模（即復數矢量的長度）為復數的幅角（即復數矢量與實軸的夾角）為矢量在實軸和縱軸上的投影分別是復數的實部和復數的虛部：

（2）復數的三角函數形式（3）復數的指數形式（代數式轉為三角函數式）（三角函數式轉為指數式）根據尤拉公式得出（4）復數的極坐標形式（指數式轉為極坐標式）（代數式轉為極坐標式）（極坐標式轉為代數式）2．復數的運算（1）復數的加減運算設兩個復數分別為A1

=

a1

+

jb1，A2

=

a2

+

jb2，則（2）復數的乘、除運算①復數的乘法運算：兩復數的模相乘，幅角相加②復數的除法運算：兩復數的模相除，幅角相減。3．復數相等兩個復數相等的條件是：實部和實部相等，虛部和虛部相等，或者復數的模相等，復數的幅角相等。3.2.2正弦量的相量表示法１．用相量表示正弦量能表示正弦量特征的復數稱為相量。為了與一般的復數相區別，相量用一個上面加黑點的大寫英文字母表示，加黑點表示該相量是時間的函數。例如，表示正弦電流的相量，表示正弦電壓的相量，表示正弦電動勢的相量。相量的模表示正弦量的有效值，相量的幅角表示正弦量的初相角。其中，模為最大值的相量稱為最大值相量。２．相量圖表示正弦量的相量也可以在復平面上用矢量來表示，相量在復平面上的幾何表示（矢量圖）稱為相量圖。例3-7已知正弦電量的瞬時值表達式分別為要求：（1）寫出各正弦量對應的最大值相量和有效值相量。（2）畫出各正弦量對應相量的相量圖。解：（1）寫出各正弦量對應的最大值相量和有效值相量。最大值相量：有效值相量：，（2）畫出各正弦量對應相量的相量圖。①最大值相量圖：取相量的長度分別為正弦電量的最大值，在復平面上畫出各正弦量對應的最大值相量圖，如圖3-10（a）所示。②有效值相量圖：取相量的長度分別為正弦電量的有效值，在復平面上畫出各正弦量對應的有效值相量圖，如圖3-10（b）所示。③省略復平面的有效值相量圖：作相量圖時復平面通常省略不畫，只畫出實軸所表示的參考方向，如圖3-10（c）所示。今后遇到的相量圖若不加特殊說明，均指省略復平面的有效值相量圖。注意：單位相同的正弦電量對應相量的長度應成比例。圖中各正弦量的頻率必須一致，不同頻率的正弦量不能畫在同一個相量圖上。３．相量計算例3-8已知正弦電流求方法1：用復數符號法（相量法）求總電流i。①

根據電流i1、i2的瞬時值表達式，寫出其對應的相量的表達式。②用復數符號法求和，得到電流i對應的相量表達式③寫出電流i的瞬時值表達式。方法2：用圖解法求總電流i①

根據電流i1、i2的瞬時值表達式，寫出對應的相量表達式。

②

畫出，用矢量求和法作出電流的相量圖，如圖（b）所示。由相量圖確定正弦電流的有效值和初相位

③寫出電流對應的相量表達式④由電流的相量表達式寫出電流的瞬時值表達式。正弦交流電的4種表示形式正弦量和它的相量之間具有一一對應的關系，但不是相等的關系3.3單一參數的正弦交流電路3.3.1電阻元件的正弦交流電路1．電阻元件電壓與電流的關系在分析計算正弦交流電路時，必須把電路元件的參數R、L、C都考慮進去。在一定條件下，某一電特性為影響電路的主要因素時，其余電特性可以忽略，即構成單一參數的正弦交流電路模型。線性電阻元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-12（a）所示。設電阻兩端的電壓則電流為

電阻元件的電流及其兩端的電壓都是同頻率的正弦量，它們的數量及相位關系介紹如下（1）數量關系②有效值之間符合歐姆定律：③瞬時值之間符合歐姆定律：①最大值之間符合歐姆定律：（2）相位關系圖3-13電阻元件電壓、電流的相位關系①表達式

②波形圖③相量圖（3）相量關系若，則

（4）相量模型將正弦交流電路中的電壓、電流用相量表示，電路元件的參數用復數表示，得到的電路模型稱為相量模型。用相量模型表示的單一電阻參數電路如圖3-12（b）所示。相量模型中電壓相量與電流相量之比，稱為復數阻抗，用Z表示，單位是歐姆。電阻元件的復阻抗這個復數阻抗Z只有實部，沒有虛部。其大小相量形式的歐姆定律2．功率因為交流電路中的電壓、電流都是交變的，電阻吸收的功率也必定隨時間變化。電阻在每一瞬時吸收的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示。結論：p隨時間變化；，電阻R為耗能元件。交流電的瞬時功率在一個周期內的平均值稱為平均功率，用P表示。（2）平均功率（有功功率）（1）瞬時功率例3-9某電阻元件的參數為8歐，接在的交流電源上。試求：（1）通過電阻元件上的電流相量及電流i。（2）如果用電流表測量該電路中的電流，其讀數為多少？電路消耗的功率是多少瓦？若電源的頻率增大1倍，電壓有效值及電路中消耗的功率又如何？（3）畫出電壓和電流的相量圖。解：（1）（2）電流表測量的是交流電流的有效值，故

（3）相量圖如圖3-15所示。當頻率增大1倍時，電壓有效值不變，電路中消耗的功率也不變。圖3-15例3-9的圖3.3.2電感元件的正弦交流電路線性電感元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-16（a）所示。１．電感元件電壓與電流的關系電感元件的伏安關系為設（1）數量關系，是電壓與電流有效值（或最大值）的比值，稱為電感元件的感抗，單位也是歐姆（2）相位關系波形圖、相量圖如圖所示表達式圖3-17電感元件電壓、電流的相位關系（3）相量關系，

相量關系式（4）相量模型用相量模型表示的單一電感參數電路如圖3-16（b）所示。

表示了電感元件對交流電的阻礙作用的強弱，稱為感抗，單位也是歐姆。2．功率①瞬時功率電感所儲存的磁場能量的最大值為②平均功率（有功功率）③無功功率（瞬時功率的最大值）無功功率的單位為乏爾（var），反映了電感元件與電源之間能量交換的規模。例3-10某線圈的電感量為0.1H，電阻可忽略不計，接在的交流電源上。試求：（1）電路中電流的有效值及無功功率；（2）電流相量并寫出其瞬時值表達式，畫出電流、電壓的相量圖；（3）若電源頻率變為原來的兩倍，電壓有效值不變，電路中的電流的有效值及無功功率又如何？解：（1），

（2）相量圖如圖3-19所示。（3）當電源頻率增加1倍時，電路感抗增大1倍，即，

3.3.3電容元件的正弦交流電路線性電容元件的交流電路模型及電壓、電流的正方向如圖3-20（a）所示。１．電容元件電壓與電流的關系電容元件的伏安關系為（1）數量關系是電壓與電流有效值（或最大值）的比值，稱為電容的容抗，具有阻止電流通過的性質，它相當于電阻元件電路中的電阻，其單位也是歐姆。（2）相位關系波形圖相量圖如圖所示圖3-21電容元件電壓、電流的相位關系（3）相量關系相量關系式（4）相量模型用相量模型表示的單一電容參數電路如圖3-20（b）所示。

表示了電容元件對交流電的阻礙作用的大小，稱為容抗，單位也是歐姆。復阻抗2．功率（1）瞬時功率電容元件瞬時功率的波形圖電容所儲存的電場能量的最大值為（2）平均功率（有功功率）（3）無功功率無功功率的單位為乏爾（var），反映了電容元件與電源之間能量交換的規模。例3-11把一個的電容器接在的電源上。試求：（1）電流相量，并寫出其瞬時值表達式；（2）無功功率；（3）畫出電壓和電流的相量圖。解：（1）電流相量為：（2）（3）相量圖如圖3-23所示。3.4RLC串聯電路3.4.1RLC串聯電路的相量分析用相量分析法求解正弦交流電路的步驟如下：（1）由電路模型畫出正弦交流電路的相量模型，即把原交流電路中的電壓和電流用相量表示，原電路參數用復數阻抗表示；（2）按照KCL、KVL列出相量方程式進行相量計算，得出待求量的相量形式；（3）再將相量轉換為待求量的瞬時值表達式。電阻R、電感L、電容C串聯的正弦交流電路簡稱RLC串聯電路，電路模型如圖3-24（a）所示。1．RLC串聯交流電路的相量模型，，

RLC串聯電路基爾霍夫電壓定律的相量形式Z稱為電路的復阻抗，簡稱阻抗，其單位是歐姆。實部R稱為電阻，虛部系數稱為電抗。電抗X是感抗與容抗之差。2．RLC串聯電路中電流與總電壓的相量關系3．RLC串聯電路的復阻抗（1）RLC串聯電路中復阻抗Z的兩種表示形式復阻抗的模，表示了總電壓與電流的數量關系（有效值關系）。復阻抗的輻角，表示了總電壓與電流的相位關系（電壓超前電流的角度）（2）RLC串聯電路中復阻抗兩種表示形式的相互轉換阻抗三角形①

已知復阻抗的極坐標形式，可求出其代數形式：②

已知復阻抗的代數形式，可求出其極坐標形式4．RLC串聯電路的相量圖總電壓與各分電壓的數量關系為總電壓與總電流的數量關系為總電壓與總電流的相位關系(電壓超前電流的角度)3.4.2RLC串聯電路的功率（1）瞬時功率p（2）平均功率（有功功率）（3）無功功率（2）平均功率（有功功率）（4）視在功率視在功率表示用電設備的總容量，單位為伏安（V·A）。3.4.3阻抗三角形、電壓三角形及功率三角形、、

3.4.4RLC串聯電路的性質例3-12已知RLC串聯電路中，電源電壓若由電路參數L和C求出，

求：（1）電路中復阻抗Z的模及幅角；（2）電流的有效值I及其瞬時值表達式；（3）求電路中的功率P\Q\S，畫出電流及各電壓的相量圖。解：該正弦交流電路的電路模型及相量模型如圖3-24所示。（1）復阻抗（2）由已知條件可知總電壓與電流的相位差等于復阻抗的幅角：

（3）由阻抗三角形得出：（4），；

先以電流為參考相量畫出相量圖，如圖3-27（a）所示，再將圖3-27（a）按順時針旋轉可得到所需的相量圖，如圖3-27（b）所示。畫出相量圖3.4.5

串聯諧振由電阻、電感、電容元件組成的電路，在正弦電源作用下，當電壓與電流同相時，電路呈電阻性，電路的這種工作狀態稱為諧振。發生在串聯電路中的諧振稱為串聯諧振，發生在并聯電路中的諧振稱為并聯諧振。1．串聯諧振RLC串聯電路的總阻抗為2．串聯諧振的條件電路中總電壓與電流同相，電路呈電阻性，即電路發生串聯諧振。諧振頻率為3．串聯諧振的主要特征（1）串聯諧振時阻抗最小，且為純阻性，即（2）串聯諧振時電路中的電流最大，且與外加電源電壓同相。當電源電壓一定時，串聯諧振電流（3）諧振時電路的電抗為零，感抗和容抗的值相等。（4）串聯諧振時電感和電容上的電壓相等，相位相反，且大小為電源電壓U的Q倍，Q稱為電路的品質因數。即電感和電容上的電壓遠