八年級上冊13.4

課題學習最短路徑問題引言：前面我們研究過一些關于

1、“兩點的所有連線中，線段最短”（兩點之間，線段最短．

）2、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題我們稱它們為最短路徑問題，現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題.最短路徑問題①垂線段最短。②兩點之間，線段最短。LABABLC如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？①②③

兩點之間,線段最短(Ⅰ)兩點在一條直線異側已知：如圖，A，B在直線L的側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

A..BP思考:為什么這樣就能得到最短距離呢？根據：兩點之間線段最短.問題1

如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABCLABl

B′P

點P的位置即為所求.M

作法：①作點B關于直線l的對稱點B′.

②

連接AB′,交直線l于點P.(Ⅱ)兩點在一條直線同側已知：如圖,A、B在直線L的同一側，在L上求一點，使得PA+PB最小.

為什么這樣做就能得到最短距離呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意兩邊之和大于第三邊由一個平面圖形得到它的軸對稱的圖形叫做軸對稱變換。軸對稱變換軸對稱變換不會改變圖形的

和

，只會改變圖形

。大小位置形狀如圖，直線

同側有兩點A、B，在直線上求一點C，使它到Ａ、Ｂ之和最小？ABBCD證明：在直線L上任意另取一點D,連接AD,BD,B′D．∵直線Ｌ是點Ｂ，Ｂ′的對稱軸，點Ｃ，D在Ｌ上∴ＣB=CB′,DB=DB′∴AC+CB=AC+CB′=AB′∵AB′<AD+DB′∴AC+CB<AD+DB即AC+CB最小。(Ⅲ)一點在兩相交直線內部已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現在一條直線上時，三角形的周長最小

八年級某班同學做游戲，在活動區域邊放了一些球，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A處。P路線：小明——P——ABB′如果另一側放著一些小木棍，小明先去撿球，還要跑到另一側去取木棍，則小明又應按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A處。DEC路線：小明——D——E——A如果我們把臺球桌做成等邊三角形的形狀，那么從AC中點D處發出的球，能否依次經BC、AB兩條邊反射回到D處？如果你認為不能，請說明理由；如果你認為能，請作出球運動的路線。ABCD運用新知練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋思考：運動路徑中，哪一段路徑是恒定不變的？？？問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

解決問題2①作圖②證明ABMNabA′ABMNabA′M′N′1.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點C關于直線

OA

的對稱點點D,2.作點C關于直線

OB

的對稱點點E,3.連接DE分別交直線OA.OB于點M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH2.如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。作法：1.作點C關于直線

OA

的對稱點點F,2.作點D關于直線

OB

的對稱點點E,

3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H，則CG+GH+DH最短FAOBD

··CEGHABA/B/PQ最短路線：APQBlMN本節課同學們學到了什么：1、利用軸對稱的有關知