一、等可能概型二、典型例題三、幾何概率四、小結第四節等可能概型(古典概型)1.定義一、等可能概型(古典概型)

設試驗E的樣本空間由n個樣本點構成，A為E的任意一個事件，且包含

nA

個樣本點，則事件A出現的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.

3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設袋中有4只白球和

2只黑球,現從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解基本事件總數為A所包含基本事件的個數為(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4只紅球和6只黑球,現從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數為A所包含基本事件的個數為課堂練習1o

電話號碼問題

在7位數的電話號碼中,第一位不能為0，求數字0出現3次的概率.

2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點數之和為4的概率.4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為2o

生日問題

某班有20個學生都是同一年出生的,求有10個學生生日是1月1日,另外10個學生生日是12月31日的概率.

課堂練習1o

分房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.解二、典型例題在N件產品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產品中抽取n件的所有可能取法共有例3

在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設A為事件“取到的數能被6整除”,B為事件“取到的數能被8整除”，則所求概率為解于是所求概率為例4將

15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優秀生的概率是多少?(2)3名優秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數:(1)每一個班級各分配到一名優秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為例5

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規定的.

假設接待站的接待時間沒有規定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內接待12次來訪共有小概率事件在實際中幾乎是不可能發生的,從而可知接待時間是有規定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為例6

假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為解說明我們利用軟件包進行數值計算.定義

當隨機試驗的樣本空間是某個區域，并且任意一點落在度量(長度、面積、體積)相同的子區域是等可能的，則事件A的概率可定義為說明當古典概型的試驗結果為連續無窮多個時,就歸結為幾何概型.三、幾何概型

那么

兩人會面的充要條件為例7

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有例8

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛車.求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的，且每人在

1時到2時的任何時刻到達車站是等可能的.見車就乘的概率為設x,y分別為甲、乙兩人到達的時刻,則有解最多等一輛車,甲、乙同乘一車的概率為蒲豐投針試驗例9

1777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現向此平面任意投擲一根長為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.解蒲豐資料由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.蒲豐投針試驗的應用及意義歷史上一些學者的計算結果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數投擲次數針長時間試驗者利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進行計算機模擬.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出最簡單的隨機現象古典概型

古典概率