一、n維空間n維空間：表示為：一般地，設n為一個取定的正整數，n元有序實數組的全體所構成的集合.12:56:2417.2多元函數的基本概念n維空間中的點：n元有序數組其中，數稱為該點的第i個坐標.n維空間中兩點間的距離：

注：當n=1,2,3時，上式即是數軸、平面及空間

兩點間的距離

.其中，點為和12:56:242一、n維空間

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密碼：123456jx47.2多元函數的基本概念12:56:24曲面平面二次曲面一般方程空間直角坐標系空間解析幾何復習12:56:24球面柱面橢球面旋轉拋物面圓錐面雙曲拋物面67.2多元函數的基本概念12:56:24

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7.2多元函數的基本概念12:56:247

一、多元函數的基本概念

二、多元函數的極限

三、多元函數的連續性目的要求

1.了解平面區域、點的鄰域、開區域與閉區域等概念

2.理解多元函數的概念，會求二元函數的定義域重點1.二元函數的概念2.二元函數的連續性的概念

3.了解二元函數的極限與連續性的概念以及有界閉區域上連續函數的性質7.2多元函數的基本概念12:56:248

在一元函數的微積分中，所討論的對象都是一元函數y=f(x)，即函數只依賴于一個自變量。

在數學上，這種由多個因素才能確定的變量，就是多元函數。

但在很多實際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數學上，就是一個變量依賴于多個變量的情形。12:56:2497.2多元函數的基本概念

一元函數的定義域是在數軸上討論，一般是一個區間（開區間、閉區間、半開半閉區間）。平面上進行討論，二元函數z=f(x,y)的定義域在幾何上表示一個平面區域。量多了一個，它的定義域很自然地要擴充到但是對于二元函數而言，由于自變二、平面區域12:56:24107.2多元函數的基本概念(不包含圓周)，為半徑的圓的內部d為一正數，d1、鄰域（一）平面區域二、平面區域去心鄰域,稱為點鄰域,(neighborhood)12:56:2411E的邊界。2、區域(region)(boundary)12:56:2412例:2、區域(region)12:56:2413

如果點集E內任意兩點都能用全屬于E的折線或曲線連接起來，則稱E為連通的.

連通的開集稱為開區域，簡稱區域.(5)連通：(6)區域：例如，例如，區域及其它的邊界所成的集合稱為閉區域.2、區域(region)12:56:2414例例為無界開區域.區域區域(7)有界與無界區域：否則稱E為無界區域.為有界閉區域.2、區域(region)12:56:2415注：n維空間中鄰域、區域等概念內點、邊界點、區域等概念也可定義．鄰域：2、區域(region)12:56:2416

導言：多元函數是多元函數微積分學研究的對象.同一元函數類似對于多元函數也有極限、連續等基本概念.三、多元函數的概念在多元函數中的推廣，它與一元函數相關內容類似且密切相關，在這部分內容的學習中應注意與一元函數的對比.在研究方法上把握一般與特殊之間辯證關系.這些內容作為一元函數12:56:24177.2

多元函數的基本概念矩形面積S與長x，寬y之間關系為其中長x和寬y是兩個獨立的變量,

例2著名的生產函數為，這里為常數，S=xy(x>0,y>0)例1矩形面積S

有惟一確定值對應.當x,y

的值取定后,內,在它們變化范圍Q就

有惟一確定的值相對應.值取定后,當K,L的Q是一個依賴于K和L的變化而變化的量．Q表示產量，分別表示投入的勞動力數量和資本數量，在西方經濟學中，三、多元函數的概念12:56:24187.2多元函數的基本概念其中稱為自變量，設D為中的一個非空點集，zDyxzf記為實數z的取值范圍稱為值域，記為的變化范圍D稱為函數的定義域，量，z稱為因變又記為記為f：D→R，二元函數，則稱映射f為定義在D上的一確定的實數z與之對應，都有惟使得對于D中每一個有序實數對射f，若有一個映1.定義三.多元函數的概念12:56:2419類似地可定義三元及三元以上函數．定義域D(f)、對應法則f函數的表示法：（1）二元顯函數z=f(x,y)（2）二元隱函數F(x,y,z)=0確定函數的兩要素：多元函數．三.多元函數的概念12:56:2420

2.二元函數的定義域

當用某個解析式表達二元函數時，凡是使解析式有意義的自變量所組成的平面點集為該二元函數的定義域，例1解所以函數的定義域為xy二元函數的定義域通常為平面區域.要使函數有意義須滿足有界閉區域三.多元函數的概念(自然定義域)12:56:2421例2解函數的定義域為要使函數有意義須滿足無界開集

2.二元函數的定義域12:56:2422例3解要使函數有意義,必須故所求定義域為有界閉區域

2.二元函數的定義域12:56:2423Solution.Solution.例4例5換元法12:56:2424

3.二元函數的幾何圖形

設函數z=f(x,y)的定義域為D.平面上的投影.而定義域D正是這曲面在Oxy該幾何圖形通常是一張曲面.這個點集稱為二元函數的圖形.得到空間點集D上的一切點時,當(x,y)

取遍確定空間一點這樣,就對應的函數值為點對于任意取定的D一元函數表示

x

y平面上的一條曲線y=f(x)12:56:2425例2例1

3.二元函數的幾何圖形12:56:2426例4圖形如右圖.例3如右圖，為球面.單值分支:

3.二元函數的幾何圖形12:56:24274.多元函數的定義一個自變量.兩個自變量.三個自變量.n個自變量.n元函數在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面.三.多元函數的概念12:56:2428注意

(1)

多元函數也有單值函數和多值函數，如在討論過程中通常將其拆成幾個單值函數后再分別加以討論.(2)

多元函數也有分段函數，如(3)點函數u=f(P)能表示所有的函數.(4)函數有加減乘除數乘及復合運算(略)三.多元函數的概念12:56:2429

(5)一元函數的單調性、奇偶性、周期性等性質的定義在多元函數中不再適用，但有界性的定義仍然適用.三.多元函數的概念12:56:2430(2)

多元函數也有分段函數，如(3)點函數u=f(P)能表示所有的函數.(4)函數有加減乘除數乘及復合運算(略)四.多元函數的極限

設函數z=f(x,y)在點的某一去心方式趨于定點

時,或記作的極限，則稱A為函數z=f(x,y)常數

A,

函數值f(x,y)

趨于一個確定如果動點

P(x,y)

在該鄰域內以任意鄰域內有定義,1.定義（一）二元函數的極限(二重極限)12:56:2431指當P(x,y)以任意方式與方向趨于定點P0(x0,y0),二元函數極限的說明：

(2)對于二元函數極限的不存在,以不同路徑趨于點時,

在某一路徑上點P(x,y)

趨于點的極限不存在,則可以斷定函數在點的極限不存在.特征.即極限趨近方式具有任意性于A.

函數都無限接近（1）對于二元函數極限的存在是或函數趨于不同的值;則有若當點P(x,y)（兩種路徑）四.多元函數的極限12:56:2432

例1考察函數在處的極限是否存在.

xy

-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00做出函數在點附近的函數值表，如下函數在處的極限不存在.四.多元函數的極限

12:56:2433

例1證明函數在處的極限不存在.讓沿直線而趨于，它將隨k的不同而具有不同的值.極限不存在.證則有因此，四.多元函數的極限12:56:2434例2討論函數解

當P(x,y)沿x

軸趨于(0,0)時,

當P(x,y)沿y軸趨于(0,0)時,當(x,y)→(0,0)時的極限。三.多元函數的極限12:56:2435當P(x,y)沿

y=kx()趨于(0,0)時,.當k取不同值時,取不同值，三.多元函數的極限12:56:2436確定極限不存在的方法：

（2）找兩種不同趨近方式，此時也可斷言),(yxf在點若極限存在,但兩者不相等，例3證明不存在．處極限不存在．12:56:2437例3證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法：12:56:2438不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：12:56:24392.二元函數極限的計算

對于未定型，不再有L`Hospital法則，須化成確定型.

二元函數極限與一元函數極限具有類似的性質與運算法則.

計算二元函數的極限時，常把二元函數極限轉化為一元函數極限問題，再利用四則運算法則、夾逼定理、作變量代換、兩個重要極限、無窮小替換、對函數作恒等變換約去零因子、還可利用多元初等函數的連續性.

三.多元函數的極限12:56:2440解:例4

求2.二元