《棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》同步作業一、選擇題1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6)B．64C．16 D．96[答案]B2．已知正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的表面積為()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144A解析：由題意，知側面積為6×6×4＝144，兩底面積之和為2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以表面積S＝48(3＋eq\r(3))．3．如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)C[∵VC-A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC-A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC-AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]4．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側面分成兩部分的面積之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3B[兩個錐體的側面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側面積之比為1∶8，故選B.]5．某幾何體的直觀圖及其相應的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．20＋4eq\r(2)B．24C．24＋4eq\r(2)D．28A解析：由直觀圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長為2，正四棱錐的底面為正方形，其邊長為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝20＋4eq\r(2).二、填空題6．如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．1∶47解析：設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.7．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為．eq\r(6)[設長方體從一點出發的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).]8．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成,如圖所示,其中長方體的長寬高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側棱長為3,則此幾何體的體積是,表面積是.

9013解析：該幾何體的體積V=4×6×3+×4×3×3=90,表面積S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.三、解答題9．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體，如圖．設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD-ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長方體，同理，VC-ABF＝VD-ACG＝VD-BCH＝eq\f(1,6)V長方體，∴V四面體ABCD＝V長方體－4×eq\f(1,6)V長方體＝eq\f(1,3)V長方體．而V長方體＝2×3×4＝24，∴V四面體ABCD＝8.10．如圖，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解]如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[等級過關練]1.正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()π B. C.π B解析：如圖所示,由圖可知,該幾何體由兩個四棱錐構成,并且這兩個四棱錐體積相等.四棱錐的底面為正方形,且邊長為2,故底面積為(2)2=2;四棱錐的高為1,故四棱錐的體積為×2×1=則幾何體的體積為2×.2．若正四棱錐的底面邊長為2eq\r(2)cm，體積為8cm3，則它的側面面積為________．4eq\r(22)cm2解析：∵該正四棱錐底面邊長為2eq\r(2)cm，體積為8cm3，∴該四棱錐的高為3cm，∴側面等腰三角形的高為eq\r(32＋\r(2)2)＝eq\r(11)(cm)，S側＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)＝4eq\r(22)(cm2)．3.如圖①,一個正三棱柱容器,底面邊長為a,高為2a,內裝水若干,將容器放倒,把一個側面作為底面,如圖②,這時水面恰好為中截面,則圖①中容器內水面的高度是.

解析：設題圖①中容器內水面的高度為h,水的體積為V,則V=S△ABCh.又題圖②中水組成了一個直四棱柱,其底面積為S△ABC,高度為2a,則V=S△ABC·2a,∴h=a.4．用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是．8[如圖①為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②所示，由圖知正方形的邊長為2eq\r(2)，其面積為8.圖①圖②]5．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[解]如圖，連接EB，EC.四棱錐E-ABCD的體積V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝