第十一章立體幾何初步空間中的垂直關(guān)系直線與平面垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為() 解析因?yàn)?BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故選A.答案A2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則點(diǎn)P到BC的距離是()A.5 5 5 5解析由題PB=PC=82+52=89,則P到BC的距離d=PB2答案D3.下列命題中,正確的有()①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直.②過直線l外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與l垂直.③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直,那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面.⑤過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi).個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)解析②③④⑤正確,①中當(dāng)這兩條直線平行時(shí),可能直線平行平面或在平面內(nèi).答案C4.一條直線和平面所成角為θ,那么θ的取值范圍是()A.(0°,90°) B.[0°,90°]C.(0°,90°] D.[0°,180°]解析由線面角的定義知B正確.答案B5.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與AA1垂直的面的個(gè)數(shù)是() 解析僅有平面ABCD和平面A1B1C1D1與直線AA1垂直.答案B6.直線a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,則直線b與平面α所成的角等于()° ° ° °解析根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等,知b與α所成的角也是50°.答案B7.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論正確的是()∥平面CB1D1⊥BD⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°解析∵BD∥B1D1,A正確;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥面ACC1,得BD⊥AC1,知B正確;由AC1⊥BD,∴AC1⊥B1D1.又B1C⊥BC1,B1C⊥AB,得B1C⊥平面ABC,∴B1C⊥AC1,得AC⊥平面CB1D1,故C正確;D中顯然異面直線AD與CB1所成的角為45°.故選ABC.答案ABC8.空間四邊形ABCD的四條邊相等,則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系為.

解析取AC中點(diǎn)E,連BE,DE.由AB=BC,得AC⊥BE.同理AC⊥DE,所以AC⊥面BED.因此,AC⊥BD.答案垂直9.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD一定是.

解析由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.答案菱形10.如圖所示,M,N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中點(diǎn).(1)則MN與CD1所成的角為.

(2)則MN與AD所成的角為.

解析(1)由圖易知MN∥AD1,∵△ACD1構(gòu)成正三角形.∴AD1與CD1成60°角,∴MN與CD1成60°角.(2)AD1與AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN與AD成45°角.答案(1)60°(2)45°11.線段AB在平面α的同側(cè),A,B到α的距離分別為3和5,則AB的中點(diǎn)到α的距離為.

解析如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過A,M,B向α作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,則由線面垂直的性質(zhì)可知,AA1∥MM1∥BB1,四邊形AA1B1B為直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1為其中位線,∴MM1=4.答案412.如圖,在三棱錐A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD,點(diǎn)E為垂足,作AH⊥BE于點(diǎn)H.求證:AH⊥平面BCD.證明取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF.∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.能力提升1.如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,則下列結(jié)論不正確的是()∥平面PAF⊥平面PAF∥平面PAB⊥平面PAD解析由CD∥AF得CD∥平面PAF,A正確;由DF⊥AF,DF⊥PA得B正確;由CF∥AB得C正確;∵CF與AD不垂直,∴CF與平面PAD不垂直,得D不正確.答案D2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=12,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(⊥BE∥平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等解析由AC⊥平面DBB1D1,BE?平面DBB1D1知A正確;由EF?平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正確;由△BEF面積S=12×1×12=14.VA-BEF=13×22×14=224知答案D3.將圖(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD[如圖(2)],則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直解析在圖(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如圖(2),AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段均與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC,選C.答案C4.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別為棱A1D1,A1A,A1B1的中點(diǎn),下列命題中正確的是()⊥B1C∥平面EFG⊥平面EPGD.異面直線FG,B1C所成角的大小為π解析如圖,連接AD1,則EF∥AD1∥BC1,而BC1⊥B1C,則EF⊥B1C,故A正確;∵BC1∥EF,EF?平面EFG,BC1?平面EFG,∴BC1∥平面EFG,故B正確;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正確;FG∥AB1,∴∠AB1C為異面直線FG,B1C所成角,連接AC,可得△AB1C為等邊三角形,則∠AB1C=π3,即異面直線FG,B1C所成角的大小為π3,故D錯(cuò)誤.故選答案ABC5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長(zhǎng)相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()° ° ° °解析如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,則AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角.設(shè)各棱長(zhǎng)為a,則AE=32a,DE=12∴tan∠ADE=3.∴∠ADE=60°.答案C6.如圖,三條相交于點(diǎn)P的線段PA,PB,PC兩兩垂直,點(diǎn)P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于點(diǎn)H,則垂足H是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心C.垂心 D.重心解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又∵AB?平面PAB,∴AB⊥PC.又∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.又∵CH?平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H為△ABC的垂心.答案C7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對(duì)角線(面對(duì)角線是指正方體各個(gè)面上的對(duì)角線)共有條.

解析與AD1異面的面對(duì)角線分別為A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角為90°.答案18.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),若AC與α所成的角為30°,則斜邊上的中線CM與α所成的角為.

解析如圖,設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為O點(diǎn),連結(jié)AO,MO,則∠CAO=30°,∠CMO就是CM與α所成的角.設(shè)AC=BC=1,則AB=2,∴CM=22,CO=1∴sin∠CMO=COCM∴∠CMO=45°.答案45°9.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C到平面α的距離分別為2cm,3cm,4cm,且它們?cè)讦恋耐瑐?cè),則△ABC的重心到平面α的距離為.

解析如圖,設(shè)A,B,C在平面α上的射影分別為A',B',C',△ABC的重心為G,連接CG并延長(zhǎng)交AB于中點(diǎn)E,又設(shè)E,G在平面α上的射影分別為E',G',則E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=12(A'A+B'B)=52,CC'=4,CG∶GE=2在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'中點(diǎn)H,H',設(shè)GG'=x1,HH'=x2,則x1=x2+522,答案3cm10.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M為AC的中點(diǎn).(1)求證:PM⊥平面ABC;(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值.(1)證明∵PA=PC,M為AC的中點(diǎn),∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AM=MC=MB=12AC=5在△PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB為BP在平面ABC內(nèi)的射影,∴∠PBM為BP與底面ABC所成的角.在Rt△PMB中tan∠PBM=PMMB11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G為線段PC上的點(diǎn).(1)證明:BD⊥平面APC;(2)若G為PC的中點(diǎn),求DG與平面APC所成角的正切值;(3)若G滿足PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)證明設(shè)點(diǎn)O為AC,BD的交點(diǎn).由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O(shè)為AC的中點(diǎn),BD⊥AC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.(2)解連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG,所以