多元函數微分學第一頁，共七十頁，2022年，8月28日本章重點為二元函數的概念、二元函數的極限與連續、偏導數的概念與計算，全微分的概念，多元復合函數的求導公式與計算，隱函數的求導公式，曲線的切線和法平面方程及曲面的切平面和法線方程，多元函數極值的必要條件和充分條件，條件極值的概念與拉格朗日乘數法。多元函數的微分法一個是難點，要求讀者一定要分清自變量與中間變量，以及它們之間的關系.搞清楚函數的各變量間的復合關系，由于多元函數的復合關系可以說是無窮無盡的，不可能列出所有的公式.因此，要記住最基本的公式，這就是鏈式規則——通過一切有關的中間變量到自變量.自變量有幾個，鏈式規則中就會含有幾個公式；中間變量有幾個，鏈式規則中的每個公式里就有幾項。同時，讀者還應做較多的練習，才能熟練、靈活地掌握鏈式規則，確保求導的正確性。求解最大、最小值問題是多元函數微分學的重要應用，求解這類問題的關鍵在于建立函數關系和約束條件，讀者應通過一些習題鍛煉自己建立函數關系的能力。學法指導：多元函數的微分學與一元函數的有關內容是相對應的.在學習這一章時，應與一元函數進行對比，弄清它們之間的區別與聯系，對理解和掌握本章的相應內容是會有幫助的。為了學習方便，我們用MATLAB程序作出了一些二元函數的圖形，幫助同學理解比較困難的問題如極限和連續的概念等。第二頁，共七十頁，2022年，8月28日第一節多元函數的概念多元函數的定義先看幾個例子例題1直圓柱體的側面積S和底面半徑R和高H之間的依賴關系可用公式S=2πRH,｛(R，H)︱R＞0，H＞0｝表示。當（R，H）的值在一定范圍內取定一對數值時，S的對應值就隨之確定了。例題2氣缸內理想氣體的容積V與壓強p，絕對溫度T之間的關系為V=RT/p,其中R是常數，｛(T，p)︱T＞0，p＞0｝,V是隨T、p變化而變化的。當（T，p）在一定范圍內取定一對數值時，V的對應值就隨之確定了。例題3一氧化氮的氧化過程為2NO+O2→2NO2，由實驗可知，在此過程中，其氧化速度V與一氧化氮的克分子濃度x、氧氣的克分子濃度y之間的關系為V=Kx2y,｛(x，y)︱0≤x≤1,0≤y≤1｝，其中K為反應速度常數。當(x,y)在一定范圍內取定一對數值時，V的對應值就隨之確定了。第三頁，共七十頁，2022年，8月28日定義1給定一個數對集合D和一個實數集合M,若按照某一確定的對應法則f，D內每一數對（x，y）有惟一的一個實數z∈M與之對應，則稱f是定義在D上的二元函數，記作f：D→M，其中數對集合D稱為函數f的定義域，D中任一點（x，y）根據對應法則f所對應的實數z，稱為f在點（x，y）的函數值，記作z=f(x，y)。若把定義域中的點（x，y）的兩個坐標x與y作為變量看待，則稱這兩個變量為函數f的自變量，z稱為函數f的因變量。類似地，可以定義三元函數、四元函數，…，n元函數。多于一個自變量的函數統稱為多元函數。第四頁，共七十頁，2022年，8月28日二元函數的定義域一般是平面上的一個區域，通常用D來表示。平面上的區域指的是由一條或幾條曲線所圍成的平面的一部分，圍成區域的曲線稱為該區域的邊界。連同邊界在內的區域稱為閉區域，不包括邊界在內的區域稱為開區域。如果區域延伸到無限遠處，稱這個區域是無界的；否則就稱區域是有界的。在例題1中，函數S=2πRH的定義域是｛(R,H)︱R＞0,H＞0｝；例題2的定義域是｛(T,p)︱T＞0,p＞0｝；例題3的定義域是｛(x，y)︱0≤x≤1,0≤y≤1｝。其中前兩個區域是無界的，后一個是有界的，且是閉的。第五頁，共七十頁，2022年，8月28日RxHyxyxy32-3-2oooo圖1圖3圖2圖4例題4函數定義域是閉單位圓：｛(x，y)︱0≤x2+y2≤1｝例題5函數定義域是閉矩形：｛(x，y)︱-2≤x≤2,-3≤y≤3｝第六頁，共七十頁，2022年，8月28日所謂一點的鄰域，是指以該點為中心的一個圓形開區域。例如，適合不等式的一切點（x，y）組成以P0（x0，y0）為圓心，δ為半徑的鄰域，簡稱為點P0的δ鄰域，記為∪（P0，δ）或∪（P0）。區域D內部的點簡稱為內點，區域D的邊界上的點稱為邊界點。內點與邊界點的區別如下：若點P為內點，則必存在點P的一個鄰域完全包含在D內，若點P為邊界點，則不論點P的鄰域多么小，必定同時含有D內的點和D外的點。第七頁，共七十頁，2022年，8月28日二元函數的幾何表示設二元函數z=f(x，y)的定義域為D，對于D內任意一點P（x，y）,我們把x，y以及和它們對應的值z=f(x，y)三者看成空間直角坐標系中點的坐標。這樣對于D中的任意一點P（x，y），按照對應法則z=f(x，y)，就有空間中的一點M（x，y，z）與之對應，當點P在D內變動時，點M就在空間變動，點M的軌跡就是函數z=f(x，y)的圖形。一般說來，它是一個曲面，二元函數z=f(x，y)定義域D就是此曲面在xoy坐標面上的投影區域，這就是二元函數的幾何表示。第八頁，共七十頁，2022年，8月28日例如z=x2+y2,其定義域D是全平面，由空間解析幾何知道，函數的圖形是位于xoy平面上方的旋轉拋物面。ezsurf('x^2+y^2','circ');shadingflat;view([-18,28])第九頁，共七十頁，2022年，8月28日又如函數而函數它們的定義域為｛(x，y)︱x2+y2≤a2｝。的圖形是以坐標原點為球心，a為半徑的上半球面，的圖形則是同一個球的下半球面，當自變量的個數多于兩個時，函數就不可以用幾何圖形直觀地表示出來。第十頁，共七十頁，2022年，8月28日x='cos(s)*cos(t)';y='cos(s)*sin(t)';z='sin(s)';subplot(1,2,2)ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,2*pi])%view(45,45);shadinginterp;colormap(spring)x='cos(s)*cos(t)';y='cos(s)*sin(t)';z='-sin(s)';subplot(1,2,3)ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,2*pi])%view(45,45);shadinginterp;colormap(spring)畫函數的圖形

第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日二元函數的極限與連續性多元函數的極限及連續性

要求：1、理解掌握二元函數極限的定義，掌握二元函數連續的概念2、會求簡單的二元函數的極限，能判斷比較簡單的二元函數的連續性3、掌握連續函數的兩個基本性質——最值定理，介值定理重點：二元函數極限和連續的定義難點：判斷二元函數是否存在極限第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日1.二元函數的極限

第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日注意：點趨向于點的方式是任意的。如果點P只是沿著某一特殊途徑趨向于點P0，即使這時函數趨向于某一確定值，也不能斷定函數的極限存在。第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日例題1考察函數在點（0，0）的極限。（MATLAB圖形命令ezsurf(‘x*y/(x^2+y^2)’,‘circ’)；view([1,1,1]);shadingflat）圖形如右）第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日解：因為在x軸上，故當點P（x，y）沿x軸趨向于（0，0）時同樣,在y軸上，故當點P（x，y）沿x軸趨向于（0，0）時雖然沿上面兩條特殊路徑函數都趨向于0，是不存在的。

但第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日因為當點P沿著路徑趨向于點（0，0）時，有它的值隨著k的變化而變化，故極限不存在。第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日例題2設函數證明

（MATLAB作圖命令，從不同方向觀察圖形）ezsurf('x*y/sqrt(x^2+y^2)','circ');view([1,1,1]);shadingflatezsurf('x*y/sqrt(x^2+y^2)','circ');view([0,1,0]);shadingflat第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日證明：設其中于是任給正數取則當時，有所以第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日下列說法正確嗎?當動點沿著任意一條直線(k為任意常數)趨向于點（0,0）時,有答：不能.等于A,則存在.當動點（x,y）沿著任意一條直線趨向于點(0，0)時,函數的極限存在且例如第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日但當沿拋物線趨向于（0,0）時，有故不存在。第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日注:根據二重極限的定義,在點的鄰域內,動點趨向于的方式是任意的.于是常常用動點取不同的的方法來判定函數極限不存在.路徑趨向于使其有不同極限第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日例題3設試證明在原點處連續。即可取當證明：給定任意小正數第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日時就有（MATLAB作圖命令)ezsurf('x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)','circ');view([1,1,1]);shadingflat），所以在原點連續。第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日函數的不連續點稱為間斷點。如函數在點（0，0）的極限不存在，所以該點是函數的一個間斷點。二元函數的間斷點有可能還可以形成一條或幾條曲線。第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日若函數在區域D的每一點都連續，則稱函數一個無孔隙、無裂縫的曲面。在區域D上連續。二元連續函數的圖形是的圖形是球心在原點、半徑等于1的上半球面。例如連續函數第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日與閉區間上的一元連續函數的性質類似，在有界閉區域上多元連續函數也有如下性質：為最大值，為最小值。（點P在D上）性質1（最值定理）在有界閉區域D上的多元函數，在該區域上有界，且取得最大至于最小值。就是說，在D上至少存在一點P1及P2，使得第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日性質2（介值定理）在有界閉區域D上的多元函數，若取得兩個不同的函數值，則它在該區域上取得介于這兩個值之間的任何值。特殊地，若a是函數介于最小值m與最大值M之間的一個數，則在D上至少存在一點Q，使得第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日注意：根據極限運算法則，可以證明多元連續函數的和差積均為連續函數；在分母不為零處，連續函數的商也是連續函數；多元連續函數的復合函數也是連續函數。有了二元連續函數的運算法則和復合函數的連續性定理以及已知的一元函數的連續性，就能判斷許多常見的二元函數的連續性，并且注意把看作是二元連續函數的特殊情況。第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日例題4函數都是x，y的連續函數，從而是x，y的連續函數。x=-1:0.1:1;y=x';[X,Y]=meshgrid(x,y);z=exp(X+Y)*sqrt((X.^2+Y.^2))+cos(X+Y);surf(X,Y,z)）（MATLAB作圖命令：在整個xoy平面上是連續的。因為x和y是x，y的連續函數，所以x2和y2，也是x，y的連續函數，于是x+y，x2+y2，第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日同樣可以判斷函數當（即）時連續（MATLAB作圖命令：ezsurf('x+y^2*sin(x)/sin(x^2+y^2)','circ');shadingflat）第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日根據多元函數的連續性，若點P0在此函數的定義域內，則函數在點P0的極限值就是函數在該點的函數值，即例如第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日下列問題是否正確？答：不正確.因為二元函數的連續性定義是建立在二重極限的基礎之上的,因此,當一個變量固定時，二元函數對另一個變量連續相當于一種特定方式（即點(x,y)沿平行于坐標軸的方式趨于點時）的極限存在,并不能保證以任何方式趨向于的極限存在且等于就是說不能保證的連續性.

在處連續,在處連續,那末,二元函數在點如果一元函數處是連續的.第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日例如函數一元函數在y=0連續,在x=0連續,它的值隨著k的變化而變化，所以極限不存在,從而不連續.趨向于點(0,0)時,有事實上,當動點(x,y)沿著任意一條直線在(0,0)處不連續.但第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日習題1、求時函數的值。，試求2、已知函數3、試證明滿足如下關系式：第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日4、求下列函數的定義域：（1）（2）（3）（4）第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日5、求下列各極限：（1）（作圖命令ezsurf('x*y/(sqrt(x*y+1)-1)','circ');shadingflat）第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日（2）（3）（4）第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日一、多元函數的極值二、條件極值、拉格朗日乘數法多元函數的極值與最值要求：1、了解多元函數極值和最值概念，掌握二元函數取得極值的充分條件和必要條件，掌握求函數極值的一般步驟2、理解掌握求條件極值的方法—拉格朗日乘數法及其解題步驟3、能解簡單的條件極值應用題重點：1、二元函數取得極值的條件，判斷二元函數極值的方法2、拉格朗日乘數法第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日

一、多元函數的極值極大值、極小值統稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點.1二元函數極值的定義

設函數在點的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于的點若滿足不等式，則稱函數在有極大值；若滿足不等式，則稱函數在有極小值；第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日(1)(2)(3)例1函數處有極小值．在例２函數處有極大值．在處有極大值．在例３處無極值．在函數如圖1如圖2如圖3第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日2多元函數取得極值的條件定理1（二元函數取得極值的必要條件）設函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：，.證不妨設在點處有極大值,則對于的某鄰域內任意都有,第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日故當時，有說明一元函數在處有極大值，必有;類似地可證.推廣

如果三元函數在點具有偏導數，則它在有極值的必要條件為

，.;第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日

仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點.問題：如何判定一個駐點是否為極值點？

駐點極值點注意：定理2（二元函數取得極值的充分條件）

設函數在點的某鄰域內連續，有一階及二階連續偏導數，

.例如點是函數的駐點，但不是極值點第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日又

，

令，，，則在點處是否取得極值的條件如下：（1）時具有極值，當時有極大值，

當時有極小值；（3）時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．（2）時沒有極值；第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日求函數),(yxfz=極值的一般步驟：第一步

解方程組

求出實數解，得駐點.第二步

對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導數的值A、B、C.第三步

定出2BAC-的符號，再判定是否是極值.第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日例4求函數的極值．解求得駐點，在點處第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日所以，在處函數沒有極值．在點處又所以，在處函數有極大值．且第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日求最值的一般方法：

1）將函數在D內的所有駐點處的函數值2）求D的邊界上的最大值和最小值3）相互比較函數值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值.3多元函數的最值第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日解先求函數在D內的駐點，如圖,例5

求二元函數

在直線，軸和軸所圍成的閉區域上的最大值與最小值.第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日解方程組再求在邊界上的最值，得區域內唯一駐點,且

在邊界和上,第五十四頁，共七十頁，2022年，8月28日在邊界上，即于是,由

得

比較后可知為最大值,為最小值.第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日解由例6

求的最大值和最小值.得駐點和,第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日即邊界上的值為零.無條件極值：對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件.因為所以最大值為，最小值為第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日例7

某廠要用鐵板做成一個體積為2的有蓋長方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省？此水箱的用料面積解：設水箱的長為x,寬為y,則其高為第五十八頁，共七十頁，2022年，8月28日時，A取得最小值，根據題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區域D(x>0,y>0)內取得。又函數在D內只有唯一的駐點，因此可斷定當就是說，當水箱的長、寬、高均為時，水箱所用的材料最省。第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買張磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為設每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實質：求