課時數:課時數:學科教師輔導講義輔導科目：數學角平分線定理教學目的1.掌握角平分線的性質定理及其逆定理；教學目的能運用角的平分線的性質定理及其逆定理解決簡單的幾何問題教學內容【復習與回顧】題目一：直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數是（ ）A.45°B.135°C.45°或135°D,都不對題目二：如圖所示，。為△ABC的三條角平分線的交點，/ BOC=120,則/A=題目三：如圖，已知在△ABC中，BD平分/ABCCD平分△ABC的外角/ACEBQCD相交于D,試說明題目四：如圖，已知OEO防別平分/AOBF口/BOC若ZAO=90,/EOD70,求/BOC勺度數.EGBC于G,且/E/3.EGBC于G,且/E/3.A'1}由13題目五：已知：在圖13中，ADBC于D求證：AD平分/BAC.【知識梳理】角的平分線的概念：從角的頂點出發，等分這個角的射線，叫做這個角的平分線。角是軸對稱圖形，它的對稱軸是這個平分線所在的直線。角的平分線性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角的平分線性質的逆定理：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。5、角的平分線可以看作這個角的內部（包括頂點）道教的兩邊距離相等的點的集合?！镜湫屠}分析】題型一：角平分線性質定理【例1】在/AOBW平分線OC上任取一點P,然后，作點求證：PD=PEAB于點E,F在AC上，BE=CF【例2】如圖所示，已知，△ABC中，/C=90AB于點E,F在AC上，BE=CF求證：BD=DF【借題發揮】1.如圖，下列推理中正確的個數是（①因為OC平分/AOB點P、DE分別在OCOAOB上，所以①因為OC平分/AOB點P、DE分別在OCOAOB上，所以PD=PE;②因為P在OC上,PD±OAPE±OB所以PD=PE;③因為P在OC上,PD±OAPE±OB且OC平分/AOB所以PD=PEA、0個C、2個.如圖，P是/AOB的平分線上的一點，PCIAO于C,PD）±OB于D,寫出圖中一組相等的線段（只需寫出一組即可）.如圖，OP平分/AOBPdOAPDLOB垂足分別是C,D,下列結論中錯誤的（？）A.PC=PDB.OC=ODC./CPO=DPOD.OC=PC.如圖，已知， 。計分/ AOB在OAOB邊上取 OA=OB點P在OD上，且 PM/LBD, PN^AR 求證：PM=PN題型二：角平分線逆定理【例3】如右圖，已知B紅AC于E,CHAB于F,BECF相交于點D,若B?CD求證：AD平分/BAC【例4】已知：如圖所示，PA,PC分別是△ABC外角/MAC/NCA的平分線，它們交于P,PDLBM于D,PHBN于F,則BP是/MBN的平分線嗎？說明理由.

【借題發揮】1.如圖，已知點P到BE、BDAC的距離恰好相等，則點P的位置：①在/B的平分線上；②在/DAC勺平分線上;③在/ECA的平分線上；④恰是/B,/DAC③在/ECA的平分線上；④恰是/B,/DAC/EC—條角平分線的交點，上述結論中,A.1個B.2個C.3個2.如圖，AOBO分別是/A、/B的平分線,

求證：點O在/C的平分線上.D.4個ODLBCOELAB,垂足分別為DE.3.如圖，已知△ABC中，PE//AB交BC于E,PF//AC交BC于F,P是AD上一點，且D點到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分/BAG并說明理由.題型三“平行”和“角平分線”通常能夠構造等腰三角形題型三“平行”和“角平分線”通常能夠構造等腰三角形其中正確的有（）A.①②③其中正確的有（）A.①②③B,①②③④ C.①②D.①【例5】如圖，△ABC中，/AB*/ ACB的平分線交于點 F,過點F作DE// BC交AB于點D,交AC于點E,那么下列結論：BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE?③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CE【例6】如圖所示，4ABC中，/C=90°,A葉分/A交BC于D,【借題發揮】1.已知：如圖4,△ABC的外角/FAC的平分線為AE,AD=AG求證：DCAE題型四：【例7】如圖，在題型四：【例7】如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,BC=ACAD砰分/BAC交BC于D,求證：AB=AC+CD［例8］如圖，在^ABC中，/C=90°,AC=BCA葉分/CAB交BC于點D,DE!AB于點E,若△BDE的周長是4cmi求AB的長.【借題發揮】.如圖，CE!AB于E,BDLAC于D,BQCE交于O,AO平分/BAC,求證：OB=OC..如圖，AD平分/BAGDUAB于E,DF，AC于F,BD=DC求證：BE=CF.23.如圖，23.如圖，BD是/ABC的角平分線，DE!AB于點E,DF±BC于點F,&ABc=36cm,?AB=18cmBC=12cm求DE的長.300米.在300米.在【例9】例：一個工廠，在公路西側，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為卜圖中標出工廠的位置，并說明理由.【借題發揮】1.如圖所示，某鐵路MN＜公路PQ相交于點Q且夾角為90。，其倉庫G在A區，到公路和鐵路距離相等，且到鐵路圖上距離為1cm(1)在圖上標出倉庫G的位置.(比例尺為1：10000,用尺規作圖)(2)求出倉庫G到鐵路的實際距離.【當堂檢測】

填空題：.如圖1,在△ABC中，/C=900,BC=40,AD是/BAC的平分線交BC于D,且DC：DB=3：5,則點D到AB的距離是 。.如圖2所3m8△ ABC^, / A=90° , B葉分/ ABC AD=2cm,則點D到BC的距離為cm..如圖3,已知BD是/ABC的內角平分線，CD是/ACB的外角平分線，由D出發，作點D到BGAC和AB的垂線DEDF和DG垂足分別為E、F、G,則DEDF、DG的關系是B 、mnvbB 、mnvbD 、無法確定.如圖4,已知AB//CQ。為/A、/C的角平分線的交點，。aAC于E,且OE=Z則兩平行線間ABCD的距離等.已知：△ABC中，/A=80°,/B和/C的角平分線交于。點，則/BOC=。選擇題：TOC\o"1-5"\h\z.如圖5,在^ABC中，AD是/A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設 PB= m, PC=n , AB= c, AC=\o"CurrentDocument"b,則（mn）與（bc）的大小關系是（ ）A、mn>bcC、mn=bc.已知Rt哆ABC芾，吧C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=32,且BDCD=97,貝UD至UAB邊的距離為A.18B.16C.14 D .12.如圖6,AE±BC于E,CA為/BAE的角平分線，AD=AE連結CD，則下列結論不正確的是（）A.CD=CEB./ACD叱ACEC./CDA=90°D,/BCDhACD.在△ABC中，/B=ZACBCD是/ACB的角平分線，已知/ADC=105,則/A的度數為（）A.40°B,36°C.70°D,60°.在以下結論中，不正確的是（）A.平面內到角的兩邊的距離相等的點一定在角平分線上B.角平分線上任一點到角的兩邊的距離一定相等

C.一個角只有一條角平分線D.角的平分線有時是直線，有時是線段解答題.如圖，/B=ZC=90,M是BC的中點，DM平分/ADC求證：AMFF分/DA.如圖7所示，AE是/BAC的角平分線，EBJ±AB于B,EC±AC于C,D是AE上一點，求證：BD=CD.如圖8,BD=CDBF,AC于F,CE±AB于E。求證：點.如圖9,/AOPWBOPAD±OB于D,BdOA于C,AD與BC交于點P。求證：AP=BP15.已知：如下圖在^ABC^,離./C=90,AD平分/BAC交15.已知：如下圖在^ABC^,離./C=90,AD平分/BAC交BC于D,若BG=32,且BD：CD=9:7,求：D到AB邊的距16.如圖，要在A區建一個商場，使它到兩條公路的距離相等，且距離兩條公路的交叉口 200米處，這個商場于圖中的哪一個位置上？請在圖上標出來，（比例尺為【總結】【課后作業】填空題:1:5000).如圖10,已知相交直線AB和C口及另一直線EF。如果要在EF上找出與ABCD距離相等的點，方法是這樣的點至少有個，最多有個。圖10這樣的點至少有個，最多有個。圖10.已知△DE^^△ABCAB=AC且△AB31周長為23cm,BC=4cm,則△D生的邊中必有一條邊等于。.在△ABC4\ZC=90°,BG4CM/BACW平分線交BC于D,且BD：DG5：3,則D到AB的距離為./B=/C=90°,E是BC的中點，DE￥分/ADC/CED350,如圖11,則/EAB的度數是.△ABC^,AB=AC/日/C的角平分線的交點為O,連結AO若$△Ao=6cnf,則Saao=選擇題：.如圖所示，已知△ABC4\/C=90°,AGBCAD平分/CAB交BC于點D,DELAB于點E,且A&6cm,則△DEE；

的周長為（）A.9cm B.5cm C.6cm D.不能確定.如圖，/AOBF口一條定長線段A,在/AO訥找一點的垂線NH使NH=A,H為垂足.（2）過N作NM/OB求.其中（3）的依據是（ ）A.平行線之間的距離處處相等.到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上C.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等D.到線段的兩個端點距離相等的點在線段垂直平分線上P,使P到OAOB的距離都等于A,做法如下：（1）作OB（3）作/AOB勺平分線OP與NP,使P到OAOB的距離都等于A,做法如下：（1）作OB（3）作/AOB勺平分線OP與N幟于P.（4）點P即為所A.DE=DF B.AE=AF三、解答題C.△ADIE^△ADF D.AD=DE+DF

三、解答題.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現準備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭到三條馬路的距離相等,試確定小亭的中心位置（不寫作法，保留作圖痕跡）。300300米.在下圖中標.一個工廠，在公路西側，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為出工廠的位置，并說明理由.13.畫一個任意三角形并作出兩個角13.畫一個任意三角形并作出兩個角拓展探究1.如圖， 4ABC的邊BC的中垂線BE—AC=AE口5交4BAC的外角平分線ADTD,F1.如圖， 4ABC的邊BC的中垂線BE—AC=AE2.如圖，已知BC2.如圖，已知BC于C,求證A Df\ IADBC,ADAB,ADBCAB/DAB和/ABC的平分線交于E,過E的直線交AD于D,交:DE=EC.3.如圖，已知3.如圖，已知AC//BQEAEB分別平分/CA*口△DBACD過點E,貝UAB與AC+BD相等嗎？請說明理由.