2023年溫州市搖籃杯高一數學競賽試卷2011年4月10日本卷總分值為150分，考試時間為120分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分。1．某同學使用計算器求50個數據的平均數時，錯將其中的一個數據150輸入為15，那么由此求出的平均值與實際平均值的差是〔▲〕A．B．C．3D．2．設集合，，那么等于〔▲〕A．B．C．D．3．，那么與的關系是〔▲〕A．或B．C．D．4．以下函數中在區間上單調遞增的是〔▲〕A．B．C．D．5．假設那么〔▲〕A．B．C．D．6．函數的零點個數為〔▲〕A．B．C．D．7．記為坐標原點，向量，，又有點，滿足，那么的取值范圍為〔▲〕A．B．C．D．8．，，，，那么是直角三角形的概率是〔▲〕A．B．C．D．9．設，其中，那么的最小值為〔▲〕A．B．C．D．10．點在軸上，假設存在過的直線交函數的圖象于兩點，滿足，那么稱點為“Ω點〞，那么以下結論中正確的是〔▲〕A．軸上僅有有限個點是“Ω點〞；B．軸上所有的點都是“Ω點〞；C．軸上所有的點都不是“Ω點〞；D．軸上有無窮多個點〔但不是所有的點〕是“Ω點〞．開始否開始否是(12題圖)結束11．同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現兩個正面一個反面的概率是▲．12．如圖執行右面的程序框圖，那么輸出的值為▲．13．函數的值域是▲．〔其中表示不超過實數的最大整數〕14.定義域為的函數對任意都滿足條件與，那么對函數，以下結論中必定正確的是▲．〔填上所有正確結論的序號〕=1\*GB3①是奇函數；=2\*GB3②是偶函數；=3\*GB3③是周期函數；=4\*GB3④的圖象是軸對稱的．15．假設為整數，關于的方程有整數根，那么▲．16．是定義域為的函數，，假設函數有且僅有4個不同的零點，那么這4個零點之和為▲．17．求值：▲．2023年浙江省溫州市搖籃杯高一數學競賽答題卷2011年4月10日本卷總分值為150分，考試時間為120分鐘題號一二三總分181920得分得分評卷人一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．題號12345678910答案得分評卷人二、填空題：本大題共7小題，每題7分，共49分．11．12．13．14．15．16．17．得分評卷人三、解答題：本大題共3小題，共51分．18．〔此題總分值16分〕函數．⑴求的最小正周期和的值域；⑵假設為的一個零點，求的值．得分評卷人19．〔此題總分值17分〕設函數，對于給定的實數，在區間上有最大值和最小值，記．⑴求的解析式；⑵問為何值時，有最小值？并求出的最小值．得分評卷人20.〔此題總分值18分〕定義在正實數集上的函數滿足以下條件：①存在常數，使得；②對任意實數,當時，有．⑴求證：對于任意正數，；⑵證明：在正實數集上單調遞減；⑶假設不等式恒成立，求實數的取值范圍．2023年浙江省溫州市搖籃杯高一數學競賽試題解答一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．1．某同學使用計算器求50個數據的平均數時，錯將其中的一個數據150輸入為15，那么由此求出的平均值與實際平均值的差是〔▲〕A．B．C．3D．解:求出的平均值實際平均值,選B．2．設集合，，那么等于〔▲〕A．B．C．D．解：可得，，所以，選C．3．，那么與的關系是〔▲〕A．或B．C．D． 解:由于,與的終邊位置相同或關于軸對稱,所以或,合并得．選D．4．以下函數中在區間上單調遞增的是〔▲〕A．B．C．D．解：將選擇支中各函數用區間逐一檢驗知，只有C中函數滿足要求．選C．5．假設那么〔▲〕A．B．C．D．解：因為，，可知函數單調遞減，已知不等式即，所以，選A． 6．函數的零點個數為〔▲〕A．B．C．D． 解：，所以的零點個數即函數與函數的交點的個數，作圖可知有個交點，選D．7．記為坐標原點，向量，，又有點，滿足，那么的取值范圍為〔▲〕A．B．C．D． 解：，點在以點為圓心，為半徑的圓周上．可得，如圖可知，當直線與圓周相切時，有最大值為，當三點共線時有最小值為０，所以的取值范圍為．選A．8．，，，，那么是直角三角形的概率是〔▲〕A．B．C．D． 解：由與構成三角形及知，可得．與垂直，那么；假設與垂直，那么〔舍去〕；假設與垂直，或〔舍去〕；綜上知，滿足要求的有２個，所求概率為．應選D．9．設，其中，那么的最小值為〔▲〕A．B．C．D． 解1：，由得．當且僅當時，．選B． 解2：．當且僅當時，．選B．10．點在軸上，假設存在過的直線交函數的圖象于兩點，滿足，那么稱點為“Ω點〞，那么以下結論中正確的是〔▲〕A．軸上僅有有限個點是“Ω點〞；B．軸上所有的點都是“Ω點〞；C．軸上所有的點都不是“Ω點〞；D．軸上有無窮多個點〔但不是所有的點〕是“Ω點〞． 解1：設，，，因為，所以，，得．即對于軸上任意點，總有，滿足題設要求，應選B．開始否是(12題圖)結束 解2：〔動態想象〕：任取軸上點，將直線由軸位置開始繞點逆時針旋轉，與函數的圖象的位置關系必將經歷從不交到相切再到交于兩個點〔由下至上〕直到最后只交于一個點．當交于兩個點時，在由正到負的過程中必將經歷零點．當時，即有，所以軸上所有的點都是“Ω點〞．開始否是(12題圖)結束二、填空題：本大題共7小題，每題7分，共49分．11．同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現兩個正面一個反面的概率是▲．解：同時拋擲三枚均勻硬幣出現的等可能根本領件共有８種，其中兩個正面一個反面的情況有〔正，正，背〕，〔正，背，正〕與〔背，正，正〕三種，故所求概率為．12．如圖執行右面的程序框圖，那么輸出的值為▲．解：．13．函數的值域是▲．〔其中表示不超過實數的最大整數〕解：，所以的所有可能取值為，從而值域為．14．定義域為的函數對任意都滿足條件與，那么對函數，以下結論中必定正確的是▲．〔填上所有正確結論的序號〕=1\*GB3①是奇函數；=2\*GB3②是偶函數；=3\*GB3③是周期函數；=4\*GB3④的圖象是軸對稱的．解：由知有周期，于是，知為奇函數，填=1\*GB3①=3\*GB3③．15．假設為整數，關于的方程有整數根，那么▲．解：設為方程的整數根，那么，必有或得或．16．是定義域為的函數，，假設函數有且僅有4個不同的零點，那么這4個零點之和為▲．解：，有對稱軸，故4個零點和為8．17．求值：▲．解1：如圖，構造邊長為的正五邊形，使得，那么依次可得，，，，由于，所以，從而．解2：原式．三、解答題：本大題共3小題，共51分．18．〔此題總分值16分〕函數．⑴求的最小正周期和的值域；⑵假設為的一個零點，求的值．解：⑴．…………………..4分所以的最小正周期；……………..……….…..5分由，得的值域為．…..7分⑵，由題設知，….8分由，結合知，可得．…………………..10分，………...………..12分，……………..………..14分……….……..16分19．〔此題總分值17分〕設函數，對于給定的實數，在區間上有最大值和最小值，記．⑴求的解析式；⑵問為何值時，有最小值？并求出的最小值．解：⑴，拋物線開口向上，其對稱軸方程為，下面就對稱軸與區間端點的相對位置分段討論：……………….………..1分①當時，且，此時，．．…3分②當時，且，此時，．．…5分③當時，，在區間上遞增，此時，．．…7分④當時，，在區間上遞減，此時，．．…9分綜上所得………………10分⑵當時，；…………11分當時，遞減，；…………..….……13分當時，遞增，；…………....………15分當時，．……..………16分綜上所述，當時，．…………..…………………17分20.(此題總分值18分)定義在正實數集上的函數滿足以下條件：①存在常數，使得；②對任意實數,當時，有．⑴求證：對于任意正數，；⑵證明：在正實數集上單調遞減；⑶假設不等式恒成立，求實數的取值范圍．⑴證明：均為正數，且，根據指數函數性質可知，總有實數使得，于是，..…2分又，..5分⑵證明：任設，可令，．…………….7分那么由⑴知，