2023年江西省贛州市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

A.1B.0C.-1D.-2

2.設y=2^x，則dy等于()．

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

3.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)

4.設lnx是f(x)的一個原函數(shù)，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

5.平衡物體發(fā)生自鎖現(xiàn)象的條件為()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

6.

7.

8.

9.函數(shù)y=x2-x+1在區(qū)間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=A.A.-3/4B.0C.3/4D.1

10.微分方程y''-7y'+12y=0的通解為（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

11.

12.

13.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

14.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

15.

16.設y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx17.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

18.

19.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π20.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

二、填空題(20題)21.

22.

23.24.

25.

26.

27.28.過原點（0，0，0）且垂直于向量（1，1，1）的平面方程為________。29.

30.

31.

32.

33.34.35.36.微分方程xy'=1的通解是_________。37.設區(qū)域D為y=x2，x=y2圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域，則=______．38.

39.

40.二元函數(shù)z=xy2+arcsiny2，則=______．三、計算題(20題)41.求微分方程的通解．42.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

43.求曲線在點(1，3)處的切線方程．44.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．45.46.證明：47.

48.

49.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．50.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．51.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

52.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

53.54.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則55.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．56.57.

58.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.

四、解答題(10題)61.求∫sin(x+2)dx。

62.63.64.證明：在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一實根．65.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當圓柱的高等于底面直徑時，所使用的鐵皮面積最小。

66.

67.

68.69.

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.求∫x3。lnxdx。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

本題考查的知識點為導數(shù)公式．

可知應選A．

2.D南微分的基本公式可知，因此選D．

3.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數(shù)，故選D。

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程為r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解為：y=C1e3x+C2e4x

11.B

12.C解析：

13.B本題考查的知識點為二階常系數(shù)齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

14.C

15.D

16.A

17.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

18.D

19.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結(jié)論．

由于y=sinx在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上滿足羅爾定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，從而應有．

故知應選C．

20.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

21.

解析：

22.(-∞2)23.本題考查的知識點為重要極限公式．

24.1/z本題考查了二元函數(shù)的二階偏導數(shù)的知識點。

25.x=-3

26.

27.9028.x+y+z=0

29.

30.2/3

31.-ln｜x-1｜+C

32.33.e；本題考查的知識點為極限的運算．

注意：可以變形，化為形式的極限．但所給極限通常可以先變形：

34.

35.36.y=lnx+C37.1/3；本題考查的知識點為二重積分的計算．

38.3xln3

39.2m40.y2

；本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導數(shù)．

只需將y，arcsiny2認作為常數(shù)，則

41.

42.

43.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.函數(shù)的定義域為

注意

45.

46.

47.

則

48.

49.

50.

列表：

說明

51.

52.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

53.

54.由等價無窮小量的定義可知

55.

56.

57.由一階線性微分方程通解公式有

58.由二重積分物理意義知

59.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

60.

61.∫sin(x+2)dx=∫sin(x+2)d(x+2)=-cos(x+2)+C。62.解法1原式(兩次利用洛必達法則)解法2原式(利用等價無窮小代換)本題考查的知識點為用洛必達法則求極限．

由于問題為“∞-∞”型極限問題，應先將求極限的函數(shù)通分，使所求極限化為“”型問題．

如果將上式右端直接利用洛必達法則求之，則運算復雜．注意到使用洛必達法則求極限時，如果能與等價無窮小代換相結(jié)合，則問題常能得到簡化，由于當x→0時，sinx～x，因此

從而能簡化運算．

本題考生中常見的錯誤為：由于當x→0時，sinx～x，因此

將等價無窮小代換在加減法運算中使用，這是不允許的．

63.

64.本題考查的知識點為閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理；利用導數(shù)符號判定函數(shù)的單調(diào)性．

證明方程f(x)=0在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一實根，往往分兩步考慮：(1)根的存