云南省曲靖市富源縣古敢水族鄉中學2023年高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數為奇函數，則a的值為A．1

B．0

C．2

D．a為任意實數參考答案：B2.已知f（x）=ax﹣2，g（x）=loga|x|（a＞0且a≠1），若f（4）?g（﹣4）＜0，則y=f（x），y=g（x）在同一坐標系內的大致圖象是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】對數函數的圖像與性質；指數函數的圖像與性質．【專題】數形結合．【分析】觀察兩個函數的解析式，f（x）=ax﹣2是指數型的，g（x）=loga|x|是對數型的且是一個偶函數，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由這些特征對選項進行正確判斷即可【解答】解：由題意f（x）=ax﹣2是指數型的，g（x）=loga|x|是對數型的且是一個偶函數，由f（4）?g（﹣4）＜0，可得出g（﹣4）＜0，由此特征可以確定C、D兩選項不正確，A，B兩選項中，在（0，+∞）上，函數是減函數，故其底數a∈（0，1）由此知f（x）=ax﹣2，是一個減函數，由此知A不對，B選項是正確答案故選B【點評】本題考查識圖，判斷圖的能力，考查根據函數的圖象確定函數的性質及通過函數的解析式推測函數的圖象，綜合性較強，解決此類題關鍵是找準最明顯的特征作為切入點如本題選擇了從f（4）?g（﹣4）＜0，因為f（4）一定為正，這可以由函數是指數型的函數輕易得出．3.已知、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,給出下列命題:①若,則;②若,且則;③若,則;④若,,且,則.其中正確命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B4.若集合，則M∩N=（）A．{y|y≥1} B．{y|y＞1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}參考答案：C【考點】交集及其運算；指數函數的定義、解析式、定義域和值域．【專題】計算題．【分析】求出指數函數y=2x及函數y=的值域，分別確定出集合M和N，找出兩集合解集中的公共部分即可得到兩集合的交集．【解答】解：由集合M中的函數y=2x＞0，得到函數的值域為y＞0，∴集合M={y|y＞0}，由集合N中的函數y=≥0，得到函數的值域為y≥0，∴集合N={y|y≥0}，則M∩N={y|y＞0}．故選C【點評】此題屬于以函數的值域為平臺，考查了交集的運算，是高考中常考的基本題型．5.已知函數f（x）是定義在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函數，當x＞0時，f（x）的圖象如圖所示，那么f（x）的值域是（）A．（﹣4，4） B．[﹣6，6] C．（﹣4，4）∪（4，6] D．[﹣6，﹣4）∪（4，6]參考答案：D【考點】函數奇偶性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性的性質，確定函數的值域即可．【解答】解：∵當0＜x≤4時，函數單調遞增，由圖象知4＜f（x）≤6，當﹣4≤x＜0時，在0＜﹣x≤4，即此時函數也單調遞增，且4＜f（﹣x）≤6，∵函數是奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴4＜﹣f（x）≤6，即﹣6≤f（x）＜﹣4，∴f（x）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故選：D【點評】本題主要考查函數值域的求法，利用函數奇偶性的性質進行轉化是解決本題的關鍵．6.當時，在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象可能為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C當時，單調遞增，單調遞減故選.7.（4分）在直角坐標系中，直線x+y+1=0的傾斜角是（） A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°參考答案：D考點： 直線的傾斜角．專題： 直線與圓．分析： 利用直線的傾斜角與斜率的關系即可得出．解答： 設直線x+y+1=0的傾斜角為θ，θ∈[0°，180°）．直線化為，∴tanθ=﹣，∴θ=150°，故選：D．點評： 本題考查了直線的傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題．8.已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（

）A.重心 B.垂心 C.外心 D.內心參考答案：D∵、分別表示向量、方向上的單位向量，∴+的方向與∠BAC的角平分線重合，又∵可得到﹣==λ（+）∴向量的方向與∠BAC的角平分線重合，∴一定通過△ABC的內心故選：D．

9.下面四個命題：

①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；

②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；

③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.

其中真命題的個數為()A．1

B．2

C.3

D．4

參考答案：A10.下列函數中為偶函數且在(0,1)上單調遞減的函數是（）A．

B．

C.

D．參考答案：BA項，定義域為，不是偶函數，故錯誤；B項，定義域為，，是偶函數，由反比例函數性質可得，在(0,1)上單調遞減，故正確；C項，在遞增，故錯誤；D項，原函數是奇函數，故錯誤，故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數f（x）=，若函數y=f（x）﹣k有且只有兩個零點，則實數k的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點】分段函數的應用．【分析】畫出分段函數的圖象，由題意可得f（x）=k有兩個不等的實根，數形結合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k與y=f（x），作出函數y=k與y=f（x）的圖象如圖：由圖可知，函數y=f（x）﹣k有且只有兩個零點，則實數k的取值范圍是（，+∞）．故答案為：（，+∞）．12.在大小相同的6個球中，4個紅球，若從中任意選取2個，則所選的2個球至少有1個紅球的概率是．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】根據所有的取法共有C62種，而所選取的2個球中至少有1個紅球的取法有C21?C41+C42種，由此求得所選取的2個球中至少有1個紅球的概率．【解答】解：在大小相同的6個球中，4個紅球，若從中任意選取2個，所有的取法共有C62=15種，則選取的2個球中至少有1個紅球的取法有C21?C41+C42=14種，故所選的2個球至少有1個紅球的概率等于，故答案為：13.已知實數,函數，若，則實數的值為

▲

．參考答案：8或14.△ABC內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若C=2b,sin2A－sin2B=sinBsinC,則A＝.參考答案：30°略15.已知是定義域為的奇函數，當時，，則時，的解析式為

▲

.參考答案：16.已知a是正常數且a≠1，則方程ax+a–x+1=3cos2y的解是

。參考答案：17.已知集合M{4,7,8},則這樣的集合M共有

參考答案：7個略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數列{an}的通項公式為an=pn+q（n∈N*，P＞0）．數列{bn}定義如下：對于正整數m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若p=，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求數列{bm}的前2m項和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=4m+1（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如不存在，說明理由．參考答案：【考點】數列與不等式的綜合；數列的概念及簡單表示法；數列的求和．【分析】（Ⅰ）由題意，得，解，得n的范圍即可得出．（Ⅱ）由題意，得an=2n﹣1，對于正整數，由an≥m，得．根據bm的定義可知當m=2k﹣1時，；當m=2k時，．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m），分組利用等差數列的求和公式即可得出．（Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．由于，根據bm的定義可知，對于任意的正整數m都有，即﹣p﹣q≤（4p﹣1）m＜﹣q對任意的正整數m都成立．對4p﹣1分類討論即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由題意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小整數為8，即b3=8．

（Ⅱ）由題意，得an=2n﹣1，對于正整數，由an≥m，得．根據bm的定義可知當m=2k﹣1時，；當m=2k時，．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．（Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵，根據bm的定義可知，對于任意的正整數m都有，即﹣p﹣q≤（4p﹣1）m＜﹣q對任意的正整數m都成立．當4p﹣1＞0（或4p﹣1＜0）時，得（或），這與上述結論矛盾！當4p﹣1=0，即時，得，解得．∴存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，．19.（9分）設向量=（6cosx，﹣），=（cosx，sin2x），x∈（1）若||=2，求x的值；（2）設函數f（x）=?，求f（x）的最大、最小值．參考答案：考點： 平面向量數量積的運算；三角函數中的恒等變換應用．專題： 三角函數的圖像與性質．分析： （1）由于向量=（6cosx，﹣），||=2，利用向量的模的計算公式可得，化簡并利用x∈，即可解得x．（2）利用數量積、倍角公式和兩角和差的正弦公式可得：函數f（x）=?==+3．由于x∈，可得，可得，進而得出函數f（x）的最小值、最大值．解答： （1）∵向量=（6cosx，﹣），||=2，∴，化為，∴．∵x∈，∴，解得．（2）函數f（x）=?===+3=+3．∵x∈，∴，∴，∴．∴函數f（x）的最小值、最大值分別為，6．點評： 本題考查了向量的模的計算公式、數量積運算法則、倍角公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．20.若等差數列的前項和為，且滿足為常數，則稱該數列為數列．（1）判斷是否為數列？并說明理由；（2）若首項為且公差不為零的等差數列為數列，試求出該數列的通項公式；（3）若首項為，公差不為零且各項為正數的等差數列為數列，正整數滿足，求的最小值．參考答案：解：(1)由,得，所以它為數列；

(2)假設存在等差數列,公差為,則(常數)化簡得

①

由于①對任意正整數均成立,則

解得:

，故存在符合條件的等差數列.其通項公式為:,其中.（3）.

其最小值為，當且僅當取等號21.（本題滿分12分）已知等差數列的前項和為，且，．

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求數列中的最小的項.參考答案：（1），

（2）

當且僅當，即時，取得最小值.

∴數列中的最小的項為.

22.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點，AC與BD的交點為O。

求證：（1）直線OE∥平面PBC；

（2）平面ACE⊥平面PBD。

參考答案：證：（