初二數(shù)學(xué)寒假專(zhuān)題——四邊形折疊問(wèn)題華東師大版同步教育信息】.本周教學(xué)內(nèi)容：寒假專(zhuān)題——四邊形折疊問(wèn)題（一）四邊形折疊問(wèn)題折疊問(wèn)題是近年出現(xiàn)的一種新題型，它以軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)為依托。有利于考查同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。【典型例題】例1.如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=72,平移腰AB到DE,再將△DCE沿DE翻折，得到△DC'E，則ZEDC'二。分析：由于△DCE沿DE翻折后得厶DC'E，因此△DEC與厶DEC'關(guān)于DE成軸對(duì)稱(chēng),由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及等腰梯形性質(zhì)可知ZC'=ZC=72°DC'二DC二DE/.ZC'DE二180°-72°-72°二36°答：ZEDC'=36°例2.矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果ZBAF=60則ZDAE等于°。分析：由對(duì)稱(chēng)性可知：Z1=Z2=2ZFADZFAD二90°-ZBAF二30°.?.ZDAE二15°答：ZDAE=15例3.把一張長(zhǎng)方形ABCD的紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點(diǎn)為G,點(diǎn)D、C分別落在D'C'的位置上，若ZEFG=55°，求Z1、Z2的度數(shù)。分析：此題特點(diǎn)是沿著一組較長(zhǎng)對(duì)邊上的兩點(diǎn)（非矩形頂點(diǎn)）的直線(xiàn)折疊，且使重疊部分為三角形，則折痕平分關(guān)于折痕對(duì)稱(chēng)的兩邊所構(gòu)成的角，而且重疊部分為等腰三角形解：由已知條件可知：四邊形EDCF與四邊形ED'C'F關(guān)于EF成軸對(duì)稱(chēng)。/.ZDEF=ZDEF???矩形ABCD/AD//BC/.ZDEF=ZEFG,Z2=ZGEDZEFG=55°???ZDEF=55°???ZD'EF=55°???ZGED=ZD'EF+ZFED=110°?Z1=70°Z2=ZGED=110°例4.將一長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊。BC、BD為折痕，則ZCBD的度數(shù)為分析：由對(duì)稱(chēng)性知：ZCBA=ZCBA'，ZDBE'=ZDBE又由于ZCBA+ZCBA+ZABD+ZDBE=180°所以ZCBA+ZABD=-x180°=90°2答：ZCBD=90°例5.把一張正方形紙片ABCD從中間對(duì)折后仍然攤平得折痕為EF,如圖（1）所示，接著，使點(diǎn)C不動(dòng)。把B點(diǎn)處的紙向右上方折起來(lái)使B點(diǎn)落在EF上，得落點(diǎn)為B'，折痕為GC如圖（2）所示，連AB'，問(wèn)圖中ZGAB的度數(shù)。

分析：由對(duì)稱(chēng)性可得△ABB'是等腰三角形且ZABB'=30°可得ZGAB'=75°解：連結(jié)BB'由已知條件可知ACBG與ACB'G關(guān)于CG成軸對(duì)稱(chēng)CB=CB又???四邊形ABFE與四邊形DCFE關(guān)于EF成軸對(duì)稱(chēng)??.EF垂直平分BC???BB'=B'C???CB=CB'=BB'?AB'BC為等邊三角形?ZB'BC=60°又???正方形ABCD:,ZABC=90°ABB'=30°正方形ABCD,AB=BC:.BB'=ABBAB'=ZBB'A2答：ZGAB'=75°0??.ZBAB'=18°2答：ZGAB'=75°0(二)代數(shù)幾何綜合題例6.梯形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t。當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形。當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PDCQ是等腰梯形。

分析：本題是一道幾何運(yùn)動(dòng)題，在解題時(shí)，只要抓住平行四邊形及等腰梯形的性質(zhì)將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程去解即可。解：（1）TAD//BC??.當(dāng)DP=CQ時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形。DP二18—t,CQ二2t18—t—2t答：當(dāng)t—6秒時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形。（2）設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)到如圖所示位置，梯形PDCQ為等腰梯形。分別過(guò)PQ作高PNDM,此時(shí)NQ=MC=BC—AD=3,QN=BN—BQ=AP—BQ=t—（21—2t）=3t—21即3t—21—3t—8答：當(dāng)t—8秒時(shí)，四邊形PDCQ是等腰梯形。例7.如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為CD中點(diǎn)，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿ATBTCTE運(yùn)動(dòng)到E,若P經(jīng)過(guò)的路程為x，△APE的面積為1y,則當(dāng)y—3時(shí)，x的值為。分析：P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可分三種情況討論。（1）P在AB上;（2）P在BC上;（3）P在CE上。（1）當(dāng)P在AB上時(shí)，y—1AP-BC—1x12把y=3代入，x=3（2）當(dāng)P在BC上時(shí)，S—SKAPEAAP'E

???PP'//AE?x111(3)當(dāng)P在CE上時(shí)，S最大為CE-AD=丁＜三AAPE2431故P在CE上時(shí)，面積達(dá)不到3,因此也不存在符合條件的點(diǎn)。答：x的值為3或5。模擬試題】2.點(diǎn)M、N為矩形ABCD一組對(duì)邊的中點(diǎn)，將矩形的一角向內(nèi)折疊，使點(diǎn)B落在直線(xiàn)MN上，得到點(diǎn)B'和折痕AE,延長(zhǎng)EB'交AD于F,判斷AAEF是什么三角形，并說(shuō)明理由。四個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛞酝瑯拥乃俣仍谡叫蜛BCD的邊上移動(dòng)。運(yùn)動(dòng)中的四邊形PQEF是何種特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；PE和QF按怎樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)呢？如果正方形ABCD邊長(zhǎng)為10，求四邊形PQEF面積的變化范圍。已知如圖所示，正△AMN與菱形ABCD有一公共點(diǎn)A,且邊長(zhǎng)相等，M、N在BC、

CD上，求BAD的度數(shù)。5.（競(jìng)賽題）一張矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為9cm和3cm,把頂點(diǎn)A和C疊合在起，得到折痕EF。證明四邊形AECF是菱形。6.有一矩形紙片ABCD，AB=1