2023年山東省聊城市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-1

3.

4.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

5.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

6.

7.A.A.僅為x=+1B.僅為x=0C.僅為x=-1D.為x=0，±1

8.

9.設D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在極坐標下二重積分(x2+y2)dxdy可以表示為()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3dr

C.D.

10.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

11.A.A.0B.1C.2D.不存在

12.鋼筋混凝土軸心受拉構件正截面承載力計算時，用以考慮縱向彎曲彎曲影響的系數是()。

A.偏心距增大系數B.可靠度調整系數C.結構重要性系數D.穩定系數

13.

14.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

15.

16.

17.過曲線y=xlnx上M0點的切線平行于直線y=2x，則切點M0的坐標是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)

18.

19.

20.級數(k為非零正常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.設f(x)=1+cos2x，則f'(1)=__________。

25.

26.

27.

28.

29.級數的收斂區間為______．

30.

31.

32.

33.

34.

35.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

44.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

45.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

47.

48.求微分方程的通解．

49.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

50.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

51.

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.

54.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

55.

56.

57.證明：

58.

59.

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.設ex-ey=siny，求y'。

65.

66.設z=z(x，y)是由F(x＋mz，y＋nz)=0確定的，其中F是可微函數，m、n是

67.計算

68.求曲線y=e-x、x=1，y軸與x軸所圍成圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積Vx。

69.

70.

五、高等數學(0題)71.要造一個容積為4dm2的無蓋長方體箱子，問長、寬、高各多少dm時用料最省?

六、解答題(0題)72.(本題滿分8分)

參考答案

1.D

2.D本題考查了函數的極值的知識點。

3.D

4.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

5.C

6.C

7.C

8.B

9.B因為D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令則有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故選B。

10.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

11.C本題考查的知識點為左極限、右極限與極限的關系．

12.D

13.D

14.D本題考查了函數的極限的知識點。

15.A

16.A解析：

17.D本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由導數的幾何意義可知，若y=f(x)在點x0處可導，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且切線的斜率為f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切線與已知直線y=2x平行，直線的斜率k1=2，可知切線的斜率k=k1=2，從而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，從而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切點M0的坐標為(e，e)，可知應選D．

18.D解析：

19.C

20.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性．

由于收斂，可知所給級數絕對收斂．

21.

22.0

23.

24.-2sin2

25.1

26.1/(1-x)2

27.2x-4y+8z-7=0

28.-2sin2-2sin2解析：

29.(-1，1)本題考查的知識點為求冪級數的收斂區間．

所給級數為不缺項情形．

可知收斂半徑，因此收斂區間為

(-1，1)．

注：《綱》中指出，收斂區間為(-R，R)，不包括端點．

本題一些考生填1，這是誤將收斂區間看作收斂半徑，多數是由于考試時過于緊張而導致的錯誤．

30.

31.

32.3/2本題考查了函數極限的四則運算的知識點。

33.0

本題考查的知識點為無窮小量的性質．

34.-2/π本題考查了對由參數方程確定的函數求導的知識點.

35.

36.3x2+4y

37.1/61/6解析：

38.

39.

40.

41.

42.由二重積分物理意義知

43.函數的定義域為

注意

44.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

45.

46.由等價無窮小量的定義可知

47.

48.

49.

50.

51.由一階線性微分方程通解公式有

52.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.

54.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

55.

56.

57.

58.

則

59.

60.

列表：

說明

61.

62.

63.

64.

65.

66.解

67.令u=lnx，v'=1，則本題考查的知識點為定積分的分部積分法．

68.

69.

70.

71.設長、寬、高分別xdmydmzdm；表面積為S=xy+2xz+2yz；又

∴x=y=2；z=1；∵實際問題有最小值∴唯一的駐點必取最小值答：長、寬、高分別為2dm2dm1dm時用料最省