試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省淄博市部分學校高三上學期12月教學質量摸底檢測數學試題一、單選題1．已知，i是虛數單位，且是純虛數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據復數的除法運算得到，再由純虛數的概念得到，結合復數的模的定義即可求解.【詳解】因為，是虛數單位，所以，又是純虛數，則，解得：，所以，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分清楚集合，然后再進行集合的運算即可.【詳解】對于集合：；對于集合：；故選：C3．已知數列是等比數列，且，，則公比（

）A． B．2或 C． D．或【答案】B【分析】根據等比數列的通項公式，代入解方程即可.【詳解】因為等比數列的通項公式所以,，又因為，即所以.故選：B4．已知角α的頂點與坐標原點O重合，角的始邊與x軸非負半軸重合，點P是α的終邊與單位圓的交點．若在x軸上的投影向量的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的坐標可得點P橫坐標，根據三角函數的定義，求得，二倍角公式求出.【詳解】若在x軸上的投影向量的坐標為，則點P橫坐標為，點P是α的終邊與單位圓的交點，有，∴.故選：B5．若命題p：“，”是真命題，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求實數a的取值范圍.【詳解】由題可知，，則有，因為，所以，因為，當且僅當即時等號成立，所以，故選:C.6．函數與函數的圖象交于不同的兩點，.若點滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據函數和函數的奇偶性得到和兩點關于原點對稱，再利用這個結論結合得到含有和這兩個未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為是一次函數，且函數圖象過原點，所以的圖象關于原點對稱，為奇函數，函數的定義域為，關于原點對稱，，所以函數為奇函數，函數的圖象關于原點對稱.又因為函數與函數的圖象交于不同的兩點和，所以和關于原點對稱，設，則，因為，所以，，所以，因為，所以，即，因為，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.7．已知定義在R上的函數和，導函數的定義域也為R．若為偶函數，，，則下列不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】容易分析知在軸兩側的一段區域內單調性相反，；再經過賦值法可以依次判斷ACD是否正確.【詳解】依題意：為偶函數，導函數的定義為R，，B對；令代入A對；又又，D對；又為偶函數，為奇函數；由又，也為周期為4的函數，C錯；故選：C8．已知，，，則下列關系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造新的函數，，，，求導判斷函數的單調性，即可比較大小.【詳解】設函數，則，當時，，所以在上單調遞增，當時，，即，所以.設函數，，則，所以在上單調遞減，當時，，所以當時，，即，所以.設，，則，當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，即，，所以，所以，故.故選：D二、多選題9．已知函數（，，）的部分圖象如圖，則（

）A．函數解析式B．將函數的圖象向左平移個單位長度可得函數的圖象C．直線是函數圖象的一條對稱軸D．函數在區間上的最大值為2【答案】BC【分析】根據圖像得到解析式，利用函數的性質進項判斷各選項即可.【詳解】由題圖知：，函數的最小正周期滿足，即，則，所以函數．將點代入解析式中可得，即，則，得，因為，所以，因此，故A錯誤；將函數的圖像向左平移個單位長度可得函數的圖像，故B正確；由，當時，，故C正確；當時，，所以，即，即最大值為，故D錯誤．故選：BC．10．甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲盒子中隨機取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（

）A．，，是兩兩互斥的事件 B．C．事件與事件相互獨立 D．【答案】AD【分析】根據的意義可求其概率，從而可判斷D的正誤，根據全概率公式可計算，故可判斷B的正誤，根據獨立事件的乘法公式和互斥事件的定義可判斷AC的正誤.【詳解】，又，故D正確.故，故B錯誤.，故，所以事件與事件不相互獨立，故C錯誤，根據互斥事件的定義可得兩兩互斥，故A正確.故選：AD11．下列命題是真命題的有（

）A．分層抽樣調查后的樣本中甲、乙、丙三種個體的比例為3：1：2，如果抽取的甲個體數為9，則樣本容量為30B．某一組樣本數據為125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數據落在區間[114.5，124.5]內的頻率為0.4C．甲、乙兩隊隊員體重的平均數分別為60，68，人數之比為1：3，則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數為67D．一組數6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數為5【答案】BD【分析】根據分層抽樣的性質判斷A選項；利用落在區間內的個數除以總數計算概率，即可判斷B選項；由甲、乙兩隊的人數比，計算出兩隊在所有隊員中的所占權重，然后利用平均數的計算公式，即可判斷C選項；由百分位數的性質，即可判斷D選項.【詳解】對于選項A：根據樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為，故選項A錯誤；對于選項B：樣本數據落在區間內的有120，122，116，120共4個，所以樣本數據落在區間內的頻率為，故選項B正確；對于選項C：甲、乙兩隊的人數之比為，則甲隊隊員在所有隊員中所占權重為，乙隊隊員在所有隊員中所占權重為，則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數為，故選項C錯誤；對于選項D：將該組數據從小到大排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，則該組數據的分位數是第9個數，該數為5，故選項D正確.12．小明和小童兩位同學玩構造數列小游戲,規則是:首先給出兩個數字1,10,然后小明把兩數之積插入這兩數之間得到第一個新數列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項的積插入此兩項之間,得到第二個新數列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數列．假設第n個新數列是:記:,則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據數列的新定義,寫出前4項,即可判斷選項AD的正誤,再根據新定義找到項數,,與第幾個數列之間的關系,利用數學歸納法即可判斷選項B的正誤,根據和之間的聯系即可得到選項C的正誤.【詳解】解:由題可知:第一個新數列為:1,10,10,項數為:3,,第二個新數列1,10,10,100,10,由于第二個新數列的得到是第一個數列的基礎上,相鄰兩項積插入,故項數為:,,第三個新數列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故項數為:,,第四個新數列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故項數為:,,故選項A正確;不妨記第個數列時，為,當時,即第一個數列時,滿足,不妨假設當時,即第個數列時滿足,且數列有項,則當時,即第個數列時,數列的項數有項,此時,滿足,故選項B正確;由于新數列是將兩數之積插入這兩數之間得到,且,故在中比多出來的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故選項C正確;由選項A中可知:,,故選項D錯誤.故選:ABC三、填空題13．已知函數是定義在上的周期為2的奇函數．當時，，則______．【答案】【分析】根據解決即可.【詳解】由題知，函數是定義在上的周期為2的奇函數，所以因為當時，，所以，，所以.故答案為：14．已知,且,則______.【答案】【分析】根據已知條件和同角三角函數基本關系式求出,的值,因為,利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】,,又,,則,.故答案為:.15．的展開式中，項的系數為35，則實數a的值為______．【答案】或3【分析】根據二項式定理的通項公式，分別求出含有項的系數，利用系數為35，列出方程即可求解.【詳解】解：由二項式定理的通項可得，，，，因為項的系數為35，所以，整理得，解得或，故答案為：或3.16．設，，若關于x的方程恰有三個不同的實數解，，，且，則的值為______．【答案】##【分析】設，，由得其為偶函數，則根據解的情況得，，，再對x分類討論去絕對值，求解，即可解出a，b，得出的值.【詳解】設，，則，∴為偶函數，則恰有三個不同的實數解，，，結合偶函數對稱性，顯然，，則，以下討論上性質確定：當，；當，單調遞增，由得：，則，聯立，解得，故.故答案為：四、解答題17．為了解患某種疾病A與某種生活習慣B是否有關．某社區所在地隨機調查了500位居民，結果如下：有疾病A病歷無疾病A病歷有生活習慣B40160無生活習慣B30270(1)估計該地區居民中，有疾病A病歷的比例；(2)根據小概率值的獨立性檢驗，分析有生活習慣B是否會增加患某種疾病A的風險．附：，α0.0500.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】對于（1），利用500人中有疾病A的比例，估計該地區居民中有疾病A病歷的比例；對于（2），由表中數據計算出，比較與6.635大小即可得答案.【詳解】（1）在500人中，有70人有疾病A病歷，則估計該地區居民中有疾病A病歷的比例為：.（2）由表中數據，.故在犯錯幾率不超過的前提下，可以認為有生活習慣B會增加患某種疾病A的風險．18．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結合誘導公式以及余弦和角公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，設，則，根據余弦定理，可得，化簡可得，根據正弦定理可得：，則.（2）由，根據余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據正弦定理，可得，即，故，.19．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，討論的單調性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先將代入得到，并求出的值，再利用導數的幾何意義求出切線方程的斜率，然后通過直線的點斜式方程即可寫出切線方程.（2）先求出的導函數并進行因式分解，可得到一個含參的二次式，然后對參數進行分類討論即可得到函數的單調性.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以切線方程的斜率為，又因為切線方程過點，所以切線方程為，即，故當時，曲線在點處的切線方程為.（2）因為的定義域為，，令，解得或，當時，即，，所以函數在區間上單調遞減；當，即時，令，解得或，所以函數在區間和上單調遞減，令，解得，所以函數在區間上單調遞增；當，即時，令，解得或，所以函數在區間和上單調遞減，令，解得，所以函數在區間上單調遞增.綜上所述，當時，函數在區間上單調遞減；當時，函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增；當時，函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增.20．已知數列,.(1)求證:數列為等差數列;(2)若,數列,記數列的前2n項和為,求.【答案】(1)見解析過程(2)【分析】(1)由已知結合等差中項的定義證明即可;(2)根據(1)得到,代入可得數列的通項公式,再根據裂項求和的方法和等比數列求和公式即可得到結果.【詳解】（1）由①,得②,②①得:,即,數列為等差數列.（2）設數列的公差為,當時,,又,且數列為等差數列,,,,則.21．世界杯期間，明星隊和火車頭隊相遇，雙方要打n（n為奇數）場比賽，某球隊至少有一半的場次贏球即為戰勝對方球隊，其中明星隊每場贏球的概率為，各場比賽間相互獨立．(1)若，，估計明星隊贏球多少場；(2)對任意的正整數k，找出p的范圍使得比對明星隊更合算．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二項分布可求估計明星隊贏球場；（2）令表示“明星隊在場比賽中贏球的場數”，表示場比賽中明星隊戰勝對方球隊，表示場比賽中明星隊戰勝對方球隊，則可由題設得到，再根據可求的范圍.【詳解】（1）設明星隊贏球場數為，由題設由，故，故估計明星隊贏球場.（2）令表示“明星隊在場比賽中贏球的場數”，表示場比賽中明星隊戰勝對方球隊的概率，表示場比賽中明星隊戰勝對方球隊的概率，其中，在場比賽中比賽中，明星隊戰勝對方球隊，由以下3個互斥事件構成：（ⅰ）；（ⅱ），且余下兩場比賽中，明星隊至少勝一場；（ⅲ），且余下兩場比賽中，明星隊全勝；故，所以，若，則.故當時，有對任意的正整數k，使得比對明星隊更合算．22．已知函數，．(1)若，函數恒成立，求a的取值范圍；(2)證明：對，．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）求出導函數，分類討論確定的正負得函數單調性，由函數在上的最小值不小于0即可得；（2）在（1）的討論中得出，時，，