案例5.4將學生分配到各個學校Springfield–casedemonstration1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration指導老師

宋丹老師組長阮偉豪1601210579金服組員胡妍佳1501220020管信陳中樑1601210440創投陳雪君1601210473金服鐘宥芯1601210490金服蘇大達1601210702金服王翔宇1601210751創投1of34案例概述及基本模型建立Springfield

CaseDemonstration目錄延伸問題的分析與解決實際考量對假設深入分析遇到的問題與解決方法案例概述及基本模型建立1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration01案例背景Springfield–casedemonstration2of斯普林菲爾德學校董事會打算將六個居住區的學生分配到三個學校，學校決定為距離超過一英里的所有學生提供上下課的接送服務。因此為了節省校車費用，學校對學生進行分配。每個學生一年的校車費用如下表所示（表中還給出了下一年的其他一些基本數據），其中，0表示不需要校車服務，而“—”表示這種分配不可能。Springfield

CaseDemonstration34案例背景Springfield–casedemonstration3of董事會規定，每個學校每一年級的學生人數須在總人數的30%-36%間，表中顯示第二年每個地去學校中各年級的學生比例。可以劃出學生上學的地區界限，以便在多所學校之間分配學生。但不管如何分配，上表所要求的，每所學校學校各年級的比例必須得到滿足。Springfield

CaseDemonstration地區學生數量6年級比例7年級比例8年級比例145032%38%30%260037%28%35%355030%32%38%435028%40%32%550039%34%27%645034%28%38%地區學校1學校2學校3130007002-40050036003002004200500-50-40065003000容納人數9001100100034建模分析Springfield–casedemonstration4of基于案例3.3，對于案例5.4的問題a，在Excel上建模并求得的最優解如下所示：按照原本題目的建模及規劃求解，最優解為555555.6Springfield

CaseDemonstration34建模分析Springfield–casedemonstration5ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性報告-可變單元格

終遞減目標式允許的允許的單元格名稱值成本系數增量減量$C$21地區1學校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地區1學校245000177.77777781E+30$E$21地區1學校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地區2學校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地區2學校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地區3學校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地區3學校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地區3學校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地區4學66666671E+30$D$24地區4學校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地區5學校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地區5學校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地區6學校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地區6學校202003001E+30200$E$26地區6學校3366.666666700166.666666733.3333333334建模分析Springfield–casedemonstration6ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性報告-限制式

終陰影約束允許的允許的單元格名稱值價格限制值增量減量$E$16學校1六年級學生人數269.3333333001E+3018.66666667$E$17學校2六年級368.5555556001E+3027.44444444$E$18學校3六年級339.1111111001E+3020.88888889$E$16學校1六年級學生人數269.33333330029.333333331E+30$E$17學校2六年級368.55555560038.555555561E+30$E$18學校3六年級339.11111110039.111111111E+30$F$16學校1七年級288-2777.77777800.2580645162.909090909$F$17學校2七年級362.1111111001E+3033.88888889$F$18學校3七年級300.8888889001E+3059.11111111$F$16學校1七年級28800481E+30$F$17學校2七年級362.11111110032.111111111E+30$F$18學校3七年級300.8888889000.8888888891E+30$G$16學校1八年級242.6666667001E+3045.33333333$G$17學校2八年級369.3333333001E+3026.66666667$G$18學校3八年級360-6666.66666705.3333333330.666666667$G$16學校1八年級242.6666667002.6666666671E+30$G$17學校2八年級369.33333330039.333333331E+30$G$18學校3八年級36000601E+30$H$22地區1地區分配數450177.77777784503.77358490636.36363636$H$23地區2地區分配數600577.77777786003.77358490636.36363636$H$24地區3地區分配數550477.77777785503.77358490636.36363636$H$25地區4地區分配數350311.111111135072.727272736.451612903$H$26地區5地區分配數500-55.5555555650012.90322581145.4545455$H$27地區6地區分配數450277.77777784503.22580645236.36363636$E$28學校1總人數80009001E+30100$F$28學校2總人數1100-177.7777778110036.363636363.773584906$G$28學校3總人數1000-144.4444444100042.105263163.88349514634延伸問題的分析與解決1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration02案例背景Springfield–casedemonstration7of問題c：設其他地區的校車成本不變，運用敏感性報告，檢驗在最優解不變的情況下，6區到學校1的校車可能增加的成本。如果求成可以增加的成本不超過10%，用solver求出一個允許增加10%的最優解.問題d：將c中的學校1改成學校2.Springfield

CaseDemonstration34建模分析

Springfield–casedemonstration8ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性報告依照敏感性報告，在最優解不變的情況下，地區六到學校一的校車成本可以增加33.33美元，如果可以增加的成本不超過10%，最優解為559318。地區六到學校二的校車成本可無限增加，最優解也不會改變，因為規劃求解后的最優解中，沒有地區六到學校二的學生。

終遞減目標式允許的允許的單元格名稱值成本系數增量減量$C$21地區1學校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地區1學校245000177.77777781E+30$E$21地區1學校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地區2學校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地區2學校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地區3學校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地區3學校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地區3學校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地區4學66666671E+30$D$24地區4學校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地區5學校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地區5學校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地區6學校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地區6學校202003001E+30200$E$26地區6學校3366.666666700166.666666733.33333333問題c

&

d34結論：假設其他成本不變，根據敏感性報告，在最優解不變的情況下，地區6到學校1的校車成本允許增量為33.33美元。允許增加10%成本的新最優解如上表所示，559318美元。建模分析Springfield–casedemonstration9ofSpringfield

CaseDemonstration問題c34結論：假設其他成本不變，根據敏感性報告，在最優解不變的情況下，地區6到學校2的校車成本允許增量為無限大，因為最優解下地區6分配到學校2的學生數為0，并不影響總成本。建模分析Springfield–casedemonstration10ofSpringfield

CaseDemonstration問題d34建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題e：將問題c中的學校1同時改為學校1,2,31134建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題e：將問題c中的學校1同時改為學校1,2,3當校車成本增加10%的情況下，最優解的變化如下（忽略地區6到學校3，不影響答案）

5593183003033063093123153183213243273305005555565555565555565555565555565555565555565555565555565555565555565055559725559725559725559725559725559725559725559725559725559725559725105563895563895563895563895563895563895563895563895563895563895563895155568065568065568065568065568065568065568065568065568065568065568065205572225572225572225572225572225572225572225572225572225572225572225255576395576395576395576395576395576395576395576395576395576395576395305580565580565580565580565580565580565580565580565580565580565580565355584325584325584325584325584325584325584325584325584325584325584325405587275587275587275587275587275587275587275587275587275587275587275455590235590235590235590235590235590235590235590235590235590235590235505593185593185593185593185593185593185593185593185593185593185593181234建模分析

Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration

終遞減目標式允許的允許的單元格名稱值成本系數增量減量$C$21地區1學校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地區1學校245000177.77777781E+30$E$21地區1學校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地區2學校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地區2學校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地區3學校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地區3學校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地區3學校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地區4學66666671E+30$D$24地區4學校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地區5學校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地區5學校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地區6學校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地區6學校202003001E+30200$E$26地區6學校3366.666666700166.666666733.33333333百分比總和為15%，依照百分之百法則，1/15=6.67%，變動百分比之合不超過100%，最優解就不會改變假設地區6到各校區的成本增加1%學校1：(505-500)/33.33=15%學校2：(303-300)/∞=0%學校3：(0-0)/166.67=0%問題e1334建模分析

Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題f：根據影子價格，判斷是否可以租一些簡易教室來增加學校的容量，降低運輸成本。敏感性報告

終影子限制式允許的允許的單元格名稱值價格右手邊增量減量$C$27學校人數學校180009001E+30100$D$27學校人數學校21100-177.7777778110036.363636363.773584906$E$27學校人數學校31000-144.4444444100042.105263163.8834951461434案例背景Springfield–casedemonstration15of學校1影子價格為0，成本不會因為增加學生而受到影響，但若減少100以上則可能發生改變。學校2影子價格為-177.77，學生數量增加1位的時候，總成本便會降低177.78，故若增加20位學生降低的成本會超過增加教室的成本(20*177.78>2500)Springfield

CaseDemonstration學校3影子價格為-144.44，學生數量每增加1位，總成本便會降低144.44，故若增加20位學生降低的成本會超過增加教室的成本(20*144.44>2500)問題f：根據影子價格，判斷是否可以租一些簡易教室來增加學校的容量，降低運輸成本。由敏感性報告可知34案例背景Springfield–casedemonstration16of學校2的影子價格是-177，允許變動范圍是[-3.77，36.36]學校3的影子價格是-144，允許變動范圍是[-3.88，42.11]Springfield

CaseDemonstration問題g:對于租用建議教室的學校，運用敏感性報告分析影子價格的有效范圍由敏感性報告可知34建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題h：學校1、2、3租用教室的可能性組合與由solver求出的最優解（考慮教室租費）如下：結論：可見，僅由學校2租用一間簡易教室，能使得校車和教室租費的總成本最小。若影子價格有效，租用教室可行數目組合為(0,1,0)、(0,1,1)、(0,1,2)、(0,0,1)、(0,0,2)

1734學校二學校三百分百法則計算

人數成本減量教室成本增量

10(20/36)+(0/42)=55.6%→符合177.77*20=3,555.425001055.411(20/36)+(20/42)=103.2%

12(20/36)+(40/42)=150.8%

01(0/36)+(20/42)=47.6%→符合144.44*20=2,888.82500388.802(0/36)+(40/42)=95.2%→符合144.44*40=5,777.65000777.6基于實際考量對假設深入分析1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration03深入分析Springfield–casedemonstrationof通過對該案例背景分析可得該類案例屬于：使總成本最小的分配問題。具體來說是需要將分布在六個不同的地區的學生，分配到3個學校去上學（這些地區到不同學校的距離和路況不同，所以校車成本不同），這個問題要求我們給出一個最優分配方案，使得產生的校車成本最小。Springfield

CaseDemonstration案例性質分析1834深入分析Springfield–casedemonstrationof六個地區的學生總人數已確定Springfield

CaseDemonstration給定的數據條件六個地區各年級學生的人數比例已確定。三所學校的學生容量已確定不同地區的學生，被送往不同學校，校車成本已給定1934深入分析Springfield–casedemonstrationof1.一個地區的學生可以被分往不同的學校Springfield

CaseDemonstration建立模型時的假設2.學校各個年級的人數保持在該學校總人數的30%-36%之間3.六個地區去往新學校的學生中，要保持該地區的年級人數比例。2034深入分析Springfield–casedemonstration21ofSpringfield

CaseDemonstration同時突破建模假設1、2的進一步分析六個地區各年級學生在分往不同學校時比例不變將一個地區的學生分配到同一所學校，并且不受到各校各年級人數的比例限制34建模分析Springfield–casedemonstration22ofSpringfield

CaseDemonstration在上述放寬假設條件下通過在Excel上建模并求得的最優解34深入分析Springfield–casedemonstration23ofSpringfield

CaseDemonstration突破建模假設3的進一步分析六個地區各年級學生在分往不同學校時比例不變六個地區各年級學生在分往不同學校時不限制人數比例這樣放寬假設的是基于對現實問題的考量：現實情況中很少出現某一地區的學生去往某一學校的各年級人數的比例是固定的。34建模分析Springfield–casedemonstration24ofSpringfield

CaseDemonstration在上述放寬假設條件下通過在Excel上建模并求得的最優解。34深入分析Springfield–casedemonstration25ofSpringfield

CaseDemonstration每一個地區與每個學校的組合都會有一個相對應的校車成本除了無法實現的地區向學校派送分配學生外，即使某些地區可向某學校分配學生，實際中也應排除這種選擇。這樣放寬假設的是基于對現實問題的考量：學生上學，劃分學區、就近入學。《義務教育法》中規定就近入學，也是教育局劃分學區時遵循的原則之一。目的在于遏制擇校，為每個學生提供相對平等的受教育權，確保教育公平。按照老百姓的樸素理解，“就近入學”的“就近”，是指離家最近，但實際上，“就近”是相對的。34深入分析Springfield–casedemonstration26ofSpringfield

CaseDemonstration按照相對“就近”的原則將學生分往三所學校，學校1、2、3可接收六個地區中相對成本較低的三個地區的學生。地區2離各所學校的地理位置都相對不近，因此地區2的學生們被特別安排都去到交通成本相對最低的學校2。重新規劃求解，得出最優成本。34結論Springfield–casedemonstration27of根據進一步分析，我們建議把一個地區的學生分配到相同學校，或者打破各地區原來的年級比例限制，且允許把一個地區的學生分配到不同學校，因為這兩個方案都能使總成本達到更低水平，420000美元。Springfield

CaseDemonstration34遇到的問題與解決方法1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration04遇到的問題與解決方法Springfield–casedemonstration28of在建立模型時，一開始不了解題意的意思，因而列出了過多的限制式，造成模塊的易讀性不高，規劃求解的最優解答案也不正確，在小組討論后，重新了解題目要求的限制內容及學生比例的應用方式，并利用定義名稱的功能，將模塊易讀性提高，也成功規劃求解，求出最優解答。Springfield

CaseDemonstration34阮偉豪-金服遇到的問題與解決方法Springfield–casedemonstration29of做題的過程中，試圖在不同的表單中相互引用單元格，但是在規劃求解的時候就行不通。而且一開始對于不同區分到各學校各年級的要按固定比例，不理解，繞了很多彎。Springfield

CaseDemonstration34胡妍佳-管信遇到的問題與解決方法Springfield–casedemonstration30of最初建模時，首先須搞懂題意，厘清所有條件才能設好限制式，最初