2022年黑龍江省黑河市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設函數f(x)=COS2x，則f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

2.

3.

4.

5.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.A.A.4B.-4C.2D.-28.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

9.設函數/(x)=cosx，則

A.1

B.0

C.

D.-1

10.

11.曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-1

12.

13.

14.A.A.

B.

C.

D.

15.

16.A.等價無窮小

B.f(x)是比g(x)高階無窮小

C.f(x)是比g(x)低階無窮小

D.f(x)與g(x)是同階但非等價無窮小

17.設有直線

當直線l1與l2平行時，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

18.

A.

B.

C.

D.

19.A.A.0B.1/2C.1D.∞20.A.1/2f(2x)+CB.f(2x)+CC.2f(2x)+CD.1/2f(x)+C二、填空題(20題)21.22.23.

24.

25.冪級數的收斂半徑為________。

26.

27.

28.設函數f(x)=x-1/x，則f'(x)=________.

29.30.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為______．31.

32.

33.34.直線的方向向量為________。

35.

36.曲線f(x)=x/x+2的鉛直漸近線方程為__________。

37.設，則y'=______。

38.設y=f(x)可導，點xo=2為f(x)的極小值點，且f(2)=3．則曲線y=f(x)在點(2，3)處的切線方程為__________．

39.40.三、計算題(20題)41.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

42.求微分方程的通解．43.

44.45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．47.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．48.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．51.52.證明：53.

54.

55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

59.

60.四、解答題(10題)61.求函數y=xex的極小值點與極小值。62.設z=z(x，y)由方程ez-xy2+x+z=0確定，求dz．63.求由曲線y=3-x2與y=2x，y軸所圍成的平面圖形的面積及該封閉圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積．64.設y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1確定，求y'．

65.

66.求z=x2+y2在條件x+y=1下的條件極值．67.68.69.求微分方程xy'-y=x2的通解．70.五、高等數學(0題)71.分析

在x=0處的可導性

六、解答題(0題)72.設z=z(x，y)由ez-z+xy=3所確定，求dz。

參考答案

1.B由復合函數求導法則，可得

故選B．

2.A

3.B

4.D

5.B

6.A本題考查的知識點為偏導數的計算．

可知應選A．

7.D

8.A由于

可知應選A．

9.D

10.A解析：

11.C

12.B

13.C

14.A

15.D

16.D

17.C本題考查的知識點為直線間的關系．

18.C

19.A

20.A本題考查了導數的原函數的知識點。

21.

22.

23.

24.25.因為級數為，所以用比值判別法有當＜1時收斂，即x2＜2。收斂區間為，故收斂半徑R=。

26.0

27.

28.1+1/x2

29.本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

30.-24本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續，常可以利用導數判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)內的駐點x1，…，xk．

(3)比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的點x為f(x)的最大(小)值點．

y=x3-27x+2,

則y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點x1=-3，x2=3，可知這兩個駐點都不在(1，2)內．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為-24．

本題考生中出現的錯誤多為求出駐點x1=-3，x2=3之后，直接比較

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為f(-3)=56．其錯誤的原因是沒有判定駐點x1=-3，x2=3是否在給定的區間(1，2)內，這是值得考生注意的問題．在模擬試題中兩次出現這類問題，目的就是希望能引起考生的重視．

本題還可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在區間[1，2]上有y'＜0，因此y為單調減少函數。可知

x=2為y的最小值點，最小值為y|x=2=-44．

x=1為y的最大值點，最大值為y|x=1=-24．

31.

本題考查的知識點為初等函數的求導運算．

本題需利用導數的四則運算法則求解．

本題中常見的錯誤有

這是由于誤將sin2認作sinx，事實上sin2為－個常數，而常數的導數為0，即

請考生注意，不論以什么函數形式出現，只要是常數，它的導數必定為0．

32.1/21/2解析：33.本題考查的知識點為冪級數的收斂區間。由于所給級數為不缺項情形，

34.直線l的方向向量為

35.3yx3y-13yx3y-1

解析：

36.x=-237.本題考查的知識點為導數的運算。

38.39.

40.

41.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

42.43.由一階線性微分方程通解公式有

44.

45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.

47.

48.由二重積分物理意義知

49.

50.

51.

52.

53.

則

54.

55.

列表：

說明

56.由等價無窮小量的定義可知

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.函數的定義域為

注意

59.

60.

61.

62.63.所給曲線圍成的平面圖形如圖1-3所示．

解法1利用定積分求平面圖形的面積．由于的解為x=1，y=2，可得

解法2利用二重積分求平面圖形面積．由于

的解為x=1，y=2，

求旋轉體體積與解法1同．本題考查的知識點有兩個：利用定積分求平面圖形的面積；用定積分求繞坐標軸旋轉所得旋轉體的體積．

本題也可以利用二重積分求平面圖形的面積．64.解法1將所給方程兩端關于x求導，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，則本題考查的知識點為隱函數求導法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0確定，求y'通常有兩種方法：

一是將F(x，y)=0兩端關于x求導，認定y為中間變量，得到含有y'的方程，從中解出y'．

二是利用隱函數求導公式其中F'x，F'y分別為F(x，y)=0中F(x，y)對第一個位置變元的偏導數與對第二個位置變元的偏導數．

對于一些特殊情形，可以從F(x，y)=0中較易地解出y=y(x)時，也可以先求出y=y(x)，再直接求導．

65.66.構造拉格朗日函數

可解得唯一組解x=1/2,y=1/2.所給問題可以解釋為在直線x+y=1上求到原點的距離平方最大或最小的點．由于實際上只能存在距離平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)為所給問題的極小值點．極小值為

本題考查的知識點為二元函數的條件極值．

通常的求解方法是引入拉格朗日函數，當求出可能極值點之后，往往利用所給問題的實際意義或幾何意義判定其是否為極值點．

67.68.本題考查的知識點為：描述函數幾何性態的綜合問題。