高中數學寒假講義寒假精練6圓錐曲線與方程寒假精練6圓錐曲線與方程典題溫故1．如圖，把橢圓的長軸分成等分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于，七個點，F是橢圓的一個焦點，則．典題溫故【答案】35【解析】假設另一個焦點為，則由橢圓的中心對稱性知，，所以．2．（2019年全國一卷）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點．若，，則的離心率為．【答案】2【解析】如圖，，，則是直角三角形，所以，因此是等腰三角形，，即A直線的中點，∴，根據雙曲線的對稱性，可得，∴，∴，即，，即，，，故答案為2．經典集訓一、選擇題經典集訓1．已知O為坐標原點，F是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線與線段PF交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（）A． B． C． D．2．（2017全國二卷）若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2017全國三卷）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（）A． B． C． D．4．已知F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使得，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線的離心率（）A． B． C． D．5．設橢圓的焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．如圖，已知點及拋物線上的動點，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．8．（2019汕頭模擬）已知點O為雙曲線C的對稱中心，直線交于點O且相互垂直，與C交于點，與C交于點，若使得成立的直線有且只有一對，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題9．若雙曲線的一條漸近線經過點，則此雙曲線的離心率為．10．已知等腰梯形的頂點都在拋物線上，且，，，，則點到拋物線的焦點的距離是_________．三、簡答題11．已知，，是拋物線上的三個點，且它們到焦點的距離，，成等差數列，求證：．12．（2019年全國二卷）已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．求的方程，并說明是什么曲線．13．（2019年全國三卷）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．證明：直線過定點．

【答案與解析】一、選擇題1．【答案】A【解析】由題意設直線的方程為，分別令與，得，．設OE的中點為N，則，則，即，整理得，所以橢圓C的離心率，故選A．2．【答案】C【解析】由題意，因為，所以，則，故選C．3．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即，即，從而，則橢圓的離心率，故選A．4．【答案】B【解析】（1）由，由，得，即，得，故選B．5．【答案】A【解析】拋物線的焦點為，∴橢圓的焦點在軸上，∴，由離心率，可得，∴，故．故選A．6．【答案】D【解析】雙曲線的離心率，，，，故漸近線方程為，故答案為D．7．【答案】A【解析】作軸于A點，并與準線相交于B點．拋物線的焦點為，準線為，由拋物線的幾何意義可得，所以．故選A．8．【答案】D【解析】不妨設雙曲線的方程是，由及雙曲線的對稱性知關于軸對稱，如圖，又滿足條件的直線只有一對，當直線與軸夾角為時，雙曲線的漸近線與軸夾角大于，雙曲線與直線才能有交點，且滿足條件的直線只有一對，可得，即有，則雙曲線的離心率的范圍是．故選D．二、填空題9．【答案】【解析】雙曲線的漸近線過點，即，即，而，所以，即雙曲線的離心率．10．【答案】【解析】由題意可設，，因此，，因此點到拋物線的焦點的距離是．三、簡答題11．【答案】證明見解析．【解析】拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可知，，．因為，，成等差數列，所以，所以．又，所以，即．12．【答案】見解析．【解析】由題意得，整理得曲線的方程，曲線是