第=page1313頁，共=sectionpages1313頁圓錐曲線范圍、最值問題大題專練A卷已知點，，動點滿足條件，記點的軌跡為．

求軌跡的方程；

若直線過點且與軌跡交于、兩點．過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，求的取值范圍．2.已知橢圓的左、右焦點分別為和，橢圓上任意一點，滿足的最小值為，過作垂直于橢圓長軸的弦長為．求橢圓的方程；若過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍．3.設橢圓長軸的左，右頂點分別為，．

若、是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線，的斜率分別為，，求的最小值

已知過點的直線交橢圓于、兩個不同的點，直線，分別交軸于點、，記，為坐標原點，當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍．4.

設橢圓的左、右焦點分別為，已知的離心率為，過焦點的直線交于，兩點，當焦點到直線的距離最大時，恰有．求的方程；過點且斜率為的直線交于，兩點，在第一象限，點在上．若線段的中點為，線段的中點為，求的取值范圍．已知橢圓的長軸長為，右焦點為，且橢圓上的點到點的距離的最小值與最大值的積為，圓與軸交于，兩點．

求橢圓的方程；

動直線與橢圓交于，兩點，且直線與圓相切，求的面積與的面積乘積的取值范圍．已知橢圓：的短軸長為，橢圓上的動點到左焦點的距離的最大值為過點的直線與橢圓相交于，兩點，線段的中點為，且不與原點重合．

求橢圓的方程；

若軸上的一點滿足，求證：線段的中點在定直線上；

求的取值范圍．在平面直角坐標系中，已知橢圓：，且橢圓上一點到點的距離最大值為．

求橢圓的方程；

過點的直線交橢圓于點、設為橢圓上一點，且滿足

為坐標原點，當時，求實數的取值范圍．8.已知橢圓：的右頂點恰好為圓：的圓心，且圓上的點到直線：的距離的最大值為．求的方程；過點的直線與相交于，兩點，點在上，且，弦的長度不超過，求實數的取值范圍．

答案和解析1.【答案】解：由知，

點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，

由，，得，

故軌跡的方程為，．

當直線的斜率存在時，

設直線方程為，與雙曲線方程聯立消，

得，

設、，

，解得，

，

，，．

注意到直線的斜率不存在時，，此時．

綜上，的取值范圍是

2.【答案】解：由題可知，過作垂直于橢圓長軸的弦長為，

因為，所以把代入到中，得：，

所以，即，

因為為橢圓上一點，根據橢圓的定義得：，

設，則有，

化為：；

則；把式代入得，，

因為，所以當時，取得最小值，

即，化簡得：，

結合與，

解得：，，橢圓的方程為．點坐標為，點坐標為，當過的直線斜率不存在時，不妨設，，此時，當過的直線斜率存在時，設為，將其代入橢圓方程中，得：，設，則，，則，，

，

綜上所述，．

3.【答案】解：設點，由橢圓的對稱性知，不妨設，

由已知，，則，，顯然有，

則，

由，則，

因為，所以，

當且僅當時等號成立，即的最小值為．

當直線的傾斜角為銳角時，設直線，，，，

由得，

從而，又，得，

所以，，

又直線的方程是：，令，解得，所以點為

直線的方程是：，同理點為

所以，，，

因為，，所以，，

所以

，，

綜上，所以的范圍是．

4.【答案】解：設橢圓的半焦距為，

當焦點到直線的距離取最大值時，軸，

此時

又的離心率，所以，

解，得，

所以橢圓的方程為．依題意及，得直線的方程為，

即

由，為直線交橢圓的兩個交點，且點在第一象限，

解方程組得點，，

又因為線段的中點為，線段的中點為，

所以點的坐標為，點的坐標為

設點的坐標為，則，且

，，

所以

因為點在橢圓上，所以，

所以，

，

將代入，得

，

因為，

所以，當時，取得最小值；

當時，取得最大值

故所求的取值范圍為．

5.【答案】解：設橢圓的焦距為，

則由已知得，，

解得，，

所以橢圓的方程為；

由

得，

，

設，，

則，．

所以

，

因為直線與相切，

所以點到直線的距離為，即，

所以，由，得，

又，兩點到直線的距離分別為，．

所以的面積與的面積乘積為

．

因為，所以，當且僅當，即時取等號．

所以，即．

因此的面積與的面積乘積的取值范圍為．

6.【答案】解：由于橢圓的短軸長為，所以，因為橢圓上的動點到左焦點的距離的最大值為，所以，又因為，

所以，所以，．所以橢圓的方程為．證明：顯然直線的斜率存在且不為，設其方程為，代入，整理得，設，，，

則，所以，所以直線的方程為．令，得，則，

所以的中點在定直線軸上．

解：設，，，

由知，由，

得，即，又，，所以

，令，則，

由，得，即，解得且，

即的取值范圍為．

7.【答案】解：橢圓的離心率，，

則橢圓方程為，即．

設，則，

當時，有最大值為，即，

解得，，

橢圓方程為；

設，，，方程為，

由，整理得．

由，得，

，，

可得，

即有，

則，，

由點在橢圓上，得，化簡得，

又由，即，

將，代入得，

化簡得，

則，即，則，

由，得，聯立，可得，

解得或．

則實數的取值范圍是．

8.【答案】解：將圓的方程配方得，

故橢圓：的右頂點為，所以．

又圓上的點到直線的距離的最大值為，

所以，解得，

所以橢圓的方程為．

設，，，

由題意知直線的斜率存在，