2022年湖南省張家界市成考專升本高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.當a→0時，2x2+3x是x的()．A.A.高階無窮小B.等價無窮小C.同階無窮小，但不是等價無窮小D.低階無窮小

2.

3.A.A.2B.1C.0D.-14.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

5.設等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

6.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

7.

8.構件承載能力不包括()。

A.強度B.剛度C.穩定性D.平衡性

9.

10.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關11.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

12.

13.A.A.

B.

C.

D.

14.

15.設y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

16.

17.

18.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

19.A.1

B.0

C.2

D.

20.

21.

22.

23.

24.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

25.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，426.（）。A.

B.

C.

D.

27.

28.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，Fn沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

29.下列關系式正確的是()A.A.

B.

C.

D.

30.

31.

32.

33.

34.

35.（）。A.

B.

C.

D.

36.函數f(x)在點x=x0處連續是f(x)在x0處可導的A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件37.設有直線

當直線l1與l2平行時，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

38.

39.設f'(x0)=1,則等于()．A.A.3B.2C.1D.1/2

40.單位長度扭轉角θ與下列哪項無關()。

A.桿的長度B.扭矩C.材料性質D.截面幾何性質

41.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

42.設z=ysinx，則等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

43.

44.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

45.A.2B.2xC.2yD.2x+2y

46.

47.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)48.冪級數的收斂半徑為()A.1B.2C.3D.449.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

50.()A.A.2xy＋y2

B.x2＋2xy

C.4xy

D.x2＋y2

二、填空題(20題)51.

52.

53.設=3，則a=________。54.

55.

56.設f(x)=sinx/2，則f'(0)=_________。

57.

58.

59.曲線y=x3+2x+3的拐點坐標是_______。

60.設f(x)=x(x-1)，則f'(1)=__________。61.

62.

63.

64.

65.微分方程y"+y=0的通解為______．

66.67.

68.

69.

70.

三、計算題(20題)71.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

72.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

73.74.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

75.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

76.

77.證明：78.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．79.求曲線在點(1，3)處的切線方程．80.

81.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則82.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

83.

84.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．85.

86.

87.88.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

89.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．90.求微分方程的通解．四、解答題(10題)91.

92.

93.

94.求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A及該圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積Vy。

95.設y=sinx/x，求y'。

96.設y=y(x)由確定，求dy．97.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

98.

99.100.

確定a，b使得f(x)在x=0可導。五、高等數學(0題)101.x=f(x，y)由x2+y2+z2=1確定，求zx，zy。

六、解答題(0題)102.

參考答案

1.C本題考查的知識點為無窮小階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，2x3+3x是x的同階無窮小，但不是等價無窮小，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小盧與無窮小α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

2.A

3.C

4.C

5.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

6.C本題考查的知識點為不定積分基本公式．

7.D

8.D

9.C

10.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

11.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

12.A

13.B

14.C

15.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

16.C

17.C

18.B

19.C

20.A解析：

21.B

22.B解析：

23.C解析：

24.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

25.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

26.A

27.B

28.C

29.C

30.D

31.C

32.C解析：

33.C

34.A

35.C由不定積分基本公式可知

36.B由可導與連續的關系：“可導必定連續，連續不一定可導”可知，應選B。

37.C本題考查的知識點為直線間的關系．

38.B

39.B本題考查的知識點為導數的定義．

由題設知f'(x0)=1，又由題設條件知

可知應選B．

40.A

41.A為初等函數，定義區間為，點x=1在該定義區間內，因此

故選A．

42.C本題考查的知識點為高階偏導數．

由于z=ysinx，因此

可知應選C．

43.C

44.D本題考查的知識點為二階常系數線性非齊次微分方程特解y*的取法：

若自由項f(x)=Pn(x)eαx，當α不為特征根時，可設特解為

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)為x的待定n次多項式．

當α為單特征根時，可設特解為

y*=xQn(x)eαx，

當α為二重特征根時，可設特解為

y*=x2Qn(x)eαx．

所給方程對應齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0．

特征根為r1=1，r2=2．

自由項f(x)=xe2x，相當于α=2為單特征根．又因為Pn(x)為一次式，因此應選D．

45.A

46.A

47.C

48.A由于可知收斂半徑R==1．故選A。

49.C

50.A

51.y=1

52.ln|x-1|+c

53.

54.

55.極大值為8極大值為8

56.1/2

57.

58.

59.(03)

60.

61.3本題考查了冪級數的收斂半徑的知識點.

所以收斂半徑R=3.

62.

63.

64.65.y=C1cosx+C2sinx本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

特征方程為r2+1=0，特征根為r=±i，因此所給微分方程的通解為y=C1cosx+C2sinx．

66.0

67.

68.

69.eyey

解析：

70.1

71.

72.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

73.

74.

75.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％76.由一階線性微分方程通解公式有

77.

78.由二重積分物理意義知

79.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

80.

則

81.由等價無窮小量的定義可知82.函數的定義域為

注意

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

列表：

說明

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

；本題考查的知識點為可變上限積分求導和隱函數的求導．

求解的關鍵是將所給方程認作y為x的隱函數，在對可變上限積分求導數時，將其上限y認作為x的函數．97.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

98.

99.

100.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可導一定連續∴a+b=1②

∵可導f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=