2010年江蘇高考數學試題一、填空題1、設集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實數a=______▲________簡析：由集合中元素的互異性有a+2=3或a2+4=3，a=1或a2=－1(舍)a=12、設復數z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數單位），則z的模為______▲________簡析：由題意z====2i|z|=23、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__簡析：4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。簡析：觀察頻率分布直方圖，知有0.06×5×100=30根長度小于20mm5、設函數f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函數，則實數a=_______▲_________簡析：由偶函數f(－x)=f(x)x(ex+ae-x)=－x(e-x+aex)x(ex+e-x)(1+a)=0a=－16、在平面直角坐標系xOy中，雙曲線距離是___▲_______－=1上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的簡析：法一——直接運用焦半徑公式求。因焦半徑知識課本中未作介紹，此不重點說明；法二——基本量法求解。由題意知右焦點坐標為F(4,0)，M點坐標為(3,±7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______)MF=4簡析：讀圖知這是計算S=1+21+22+…+2n的一個算法，由S=2n－133且n為正整數知n=5時跳出循環，此時，輸出S=1+21+22+…+25=638、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____簡析：對原函數求導得y=2x(x>0)，據題意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=219、在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4四個點到直線12x－5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是______▲_____簡析：若使圓上有且僅有四點到直線12x－5y+c=0距離為1，則圓心到該直線之距應小于1，即<1，解得c(－13,13)10、定義在區間(0,)上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_______▲_____簡析：由題意知線段P1P2長即為垂線PP1與y=sinx圖像交點的縱坐標。由6cosx=5tanx6cos2x=5sinx6sin2x+5sinx－6=0sinx=P1P2=11、已知函數f(x)=,則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍是____▲____簡析：設t=1－x2，當x<－1時，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1f(1－x2)=f(2x)；當x>1時，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，顯然不滿足f(1－x2)>f(2x)當－1x<0時，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x)(x－1)；當0x1時，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x)(1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<－1綜上，x(－1,－1)12、設實數x,y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則簡析：由題意知x,y均為非0的正實數。的最大值是_____▲____由3xy28，又49·3，即34×·9×32713、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=__▲簡析：據正、余弦定理，由已知等式，角化邊得3c2=2a2+2b2①，邊化角得=6cosC②因為+=tanC(+)=tanC·=③至此，③式還有多種變形，此不贅舉，僅以下法解本題。據②式，③式==，又據①式，③式===414、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_______▲_______簡析：如圖，△ABC是邊長為1的正△，EF∥BC，四邊形BCFE為梯形；設AE=x(0<x<1)，則梯形BCFE周長=3－x，梯形BCFE面積=(1－x2)，所以據題意知：S==(0<x<1)對S(x)求導，令S(x)=0，聯系0<x<1得x=又0<x<，S(x)<0，<x<1，S(x)>0，所以x=時S(x)有最小值S()=二、解答題15、（14分）在平面直角坐標系xOy中，點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長=0=0，求t的值(2)設實數t滿足(－t·)·簡析：⑴據題意，本小問解法不唯一，如利用平行四邊形性質求出第四點D，然后運用兩點間距離公式求兩對角線；又如，亦可利用向量知識，求向量與和、差的模；兩對角線長為2,4⑵因為=(3,5),=(－2,－1)，所以由(－t)·=0知t=－16、（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求證：PC⊥BC(2)求點A到平面PBC的距離簡析：⑴證：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC；又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延長線于E，則E在平面PDC上；在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，結合⑴推知EF⊥平面PBC，所以垂線段EF長就是點A到平面PBC的距離。在△PEC中，利用面積的等積性有EC·PD＝PC·EF所以EF==，所以點A到平面PBC之距為此法求解，主要依據線面平行時，直線上每一點到平面的距離都相等；另外，本題也可以通過構造三棱錐，利用等積法來求點面距；如三棱錐A－PBC與三棱錐P－ABC實為同一個錐，而三棱錐P－ABC的底面積=AB·BC=1，高=PD=1；三棱錐A－PBC的底面積=PC·BC=，所以可求得三棱錐A－PBC的高為，亦即點A到平面PBC的距離為17、（14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值(2)該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，α－β最大解析：⑴⑵18.（16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點為A,B，右焦點為F，設過點T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.⑴設動點P滿足PF2－PB2=4,求點P的軌跡⑵設x1=2,x2=，求點T的坐標⑶設t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)19．（16分）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數列{數列.}是公差為d的等差⑴求數列的通項公式（用表示）⑵設c為實數，對滿足m+n=3k且mn的任意正整數m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求證：c的最大值為20.（16分）設f(x)使定義在區間(1,+)上的函數，其導函數為f(x).如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x(1,+)都有h(x)>0，使得f(x)]=h(x)(x2－ax+1)，則稱函數f(x)具有性質P(a).⑴設函數f(x)=h(x)+(x>1)，其中b為實數①求證：函數f(x)具有性質P(b)②求函數f(x)的單調區間⑵已知函數g(x)具有性質P(2)，給定x1,x2(1,+)，x1<x2，設m為實數，=mx1+(1－m)x2，=(1m)x1+mx2，且>1，>1，若|g()－g()|<|g(x1)－g(x2)|,求m的取值范圍【理科附加題】21（從以下四個題中任選兩個作答，每題10分）⑴幾何證明選講AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證AB=2BC⑵矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設k≠0，k∈R，M=,N=,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實數k的值⑶參數方程與極坐標在極坐標系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值⑷不等式證明選講已知實數a,b≥0，求證：a3+b3(a2+b2)22、（10分）某廠生產甲、乙兩種產品，生產甲產品一等品80%，二等品20%；生產乙產品，一等品