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文檔簡介

2010年江蘇高考數學試題一、填空題1、設集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},則實數a=______▲________簡析:由集合中元素的互異性有a+2=3或a2+4=3,a=1或a2=-1(舍)a=12、設復數z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數單位),則z的模為______▲________簡析:由題意z====2i|z|=23、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若從中隨機地摸出兩只球,兩只球顏色不同的概率是_▲__簡析:4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量,從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標),所得數據都在區間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示,則其抽樣的100根中,有_▲___根在棉花纖維的長度小于20mm。簡析:觀察頻率分布直方圖,知有0.06×5×100=30根長度小于20mm5、設函數f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函數,則實數a=_______▲_________簡析:由偶函數f(-x)=f(x)x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex)x(ex+e-x)(1+a)=0a=-16、在平面直角坐標系xOy中,雙曲線距離是___▲_______-=1上一點M,點M的橫坐標是3,則M到雙曲線右焦點的簡析:法一——直接運用焦半徑公式求。因焦半徑知識課本中未作介紹,此不重點說明;法二——基本量法求解。由題意知右焦點坐標為F(4,0),M點坐標為(3,±7、右圖是一個算法的流程圖,則輸出S的值是______▲_______)MF=4簡析:讀圖知這是計算S=1+21+22+…+2n的一個算法,由S=2n-133且n為正整數知n=5時跳出循環,此時,輸出S=1+21+22+…+25=638、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數,a1=16,則a1+a3+a5=____▲_____簡析:對原函數求導得y=2x(x>0),據題意,由a1=16=24依次求得a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,所以a1+a3+a5=219、在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數c的取值范圍是______▲_____簡析:若使圓上有且僅有四點到直線12x-5y+c=0距離為1,則圓心到該直線之距應小于1,即<1,解得c(-13,13)10、定義在區間(0,)上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P,過點P作PP1⊥x軸于點P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為_______▲_____簡析:由題意知線段P1P2長即為垂線PP1與y=sinx圖像交點的縱坐標。由6cosx=5tanx6cos2x=5sinx6sin2x+5sinx-6=0sinx=P1P2=11、已知函數f(x)=,則滿足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的范圍是____▲____簡析:設t=1-x2,當x<-1時,t<0,2x<-2;f(1-x2)=1,f(2x)=1f(1-x2)=f(2x);當x>1時,t<0,2x>2,f(1-x2)=1,f(2x)=(2x)2+1>5,顯然不滿足f(1-x2)>f(2x)當-1x<0時,t0,2x<0,所以f(1-x2)=(1-x2)2+11,f(2x)=1,f(1-x2)>f(2x)(x-1);當0x1時,t0,2x0,所以f(1-x2)=(1-x2)2+11,f(2x)=(2x)2+1,由f(1-x2)>f(2x)(1-x2)2+1>(2x)2+1x4-6x2+1>00x<-1綜上,x(-1,-1)12、設實數x,y滿足3≤xy2≤8,4≤≤9,則簡析:由題意知x,y均為非0的正實數。的最大值是_____▲____由3xy28,又49·3,即34×·9×32713、在銳角三角形ABC,A、B、C的對邊分別為a、b、c,+=6cosC,則+=__▲簡析:據正、余弦定理,由已知等式,角化邊得3c2=2a2+2b2①,邊化角得=6cosC②因為+=tanC(+)=tanC·=③至此,③式還有多種變形,此不贅舉,僅以下法解本題。據②式,③式==,又據①式,③式===414、將邊長為1的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=,則S的最小值是_______▲_______簡析:如圖,△ABC是邊長為1的正△,EF∥BC,四邊形BCFE為梯形;設AE=x(0<x<1),則梯形BCFE周長=3-x,梯形BCFE面積=(1-x2),所以據題意知:S==(0<x<1)對S(x)求導,令S(x)=0,聯系0<x<1得x=又0<x<,S(x)<0,<x<1,S(x)>0,所以x=時S(x)有最小值S()=二、解答題15、(14分)在平面直角坐標系xOy中,點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長=0=0,求t的值(2)設實數t滿足(-t·)·簡析:⑴據題意,本小問解法不唯一,如利用平行四邊形性質求出第四點D,然后運用兩點間距離公式求兩對角線;又如,亦可利用向量知識,求向量與和、差的模;兩對角線長為2,4⑵因為=(3,5),=(-2,-1),所以由(-t)·=0知t=-16、(14分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900(1)求證:PC⊥BC(2)求點A到平面PBC的距離簡析:⑴證:因PD⊥底面ABCD,BC在底面上,所以PD⊥BC;又因∠BCD=900,所以BC⊥DC;又PD、DC相交于D,所以BC⊥平面PDC又PC在平面PDC上,所以BC⊥PC,即PC⊥BC⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延長線于E,則E在平面PDC上;在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F,結合⑴推知EF⊥平面PBC,所以垂線段EF長就是點A到平面PBC的距離。在△PEC中,利用面積的等積性有EC·PD=PC·EF所以EF==,所以點A到平面PBC之距為此法求解,主要依據線面平行時,直線上每一點到平面的距離都相等;另外,本題也可以通過構造三棱錐,利用等積法來求點面距;如三棱錐A-PBC與三棱錐P-ABC實為同一個錐,而三棱錐P-ABC的底面積=AB·BC=1,高=PD=1;三棱錐A-PBC的底面積=PC·BC=,所以可求得三棱錐A-PBC的高為,亦即點A到平面PBC的距離為17、(14分)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m),如示意圖,垂直放置的標桿BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β(1)該小組已經測得一組α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值(2)該小組分析若干測得的數據后,發現適當調整標桿到電視塔的距離d(單位m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為125m,問d為多少時,α-β最大解析:⑴⑵18.(16分)在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓+=1的左右頂點為A,B,右焦點為F,設過點T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.⑴設動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡⑵設x1=2,x2=,求點T的坐標⑶設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)19.(16分)設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,已知2a2=a1+a3,數列{數列.}是公差為d的等差⑴求數列的通項公式(用表示)⑵設c為實數,對滿足m+n=3k且mn的任意正整數m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立。求證:c的最大值為20.(16分)設f(x)使定義在區間(1,+)上的函數,其導函數為f(x).如果存在實數a和函數h(x),其中h(x)對任意的x(1,+)都有h(x)>0,使得f(x)]=h(x)(x2-ax+1),則稱函數f(x)具有性質P(a).⑴設函數f(x)=h(x)+(x>1),其中b為實數①求證:函數f(x)具有性質P(b)②求函數f(x)的單調區間⑵已知函數g(x)具有性質P(2),給定x1,x2(1,+),x1<x2,設m為實數,=mx1+(1-m)x2,=(1m)x1+mx2,且>1,>1,若|g()-g()|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍【理科附加題】21(從以下四個題中任選兩個作答,每題10分)⑴幾何證明選講AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點,過點D作⊙O的切線交AB延長線于C,若DA=DC,求證AB=2BC⑵矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設k≠0,k∈R,M=,N=,點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍,求實數k的值⑶參數方程與極坐標在極坐標系中,圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求實數a的值⑷不等式證明選講已知實數a,b≥0,求證:a3+b3(a2+b2)22、(10分)某廠生產甲、乙兩種產品,生產甲產品一等品80%,二等品20%;生產乙產品,一等品

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