上海民辦蘭生復旦中學2022-2023學年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線與圓相交于不同的A,B兩點（其中是實數），且(O是坐標原點)，則點P與點距離的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.如圖，已知線段上有一動點（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數），則點的運動軌跡為（）A．圓的一部分

B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分

D．拋物線的一部分參考答案：B以線段AB所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設C(x,y)是運動軌跡上任一點，且，則，所以，，所以，即，即且，所以點C的運動軌跡為橢圓的一部分，故選B．點睛：本題考查軌跡方程的求解問題，對于求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立x,y之間的關系；(2)待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程．(3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程．(4)代入(相關點)法：動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x,y)的軌跡方程．

3.已知四邊形中，,，,是邊所在直線上的動點，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.某工件的三視圖如圖所示，現將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則新工件的棱長為（）A． B．1 C．2 D．參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】依題意知該工件為圓錐，底面半徑為，高為2，要使加工成的正方體新工件體積最大，則該正方體為圓錐的內接正方體．【解答】解：依題意知該工件為圓錐，底面半徑為，高為2，要使加工成的正方體新工件體積最大，則該正方體為圓錐的內接正方體，設棱長為2x，則有，解得，故2x=1，即新工件棱長為1．故選B．5.若x為實數，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B6.在△ABC中，，c=4，，則b=（）A. B.3 C. D.參考答案：B【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinC的值，根據正弦定理即可計算解得b的值．【詳解】∵，c=4，，∴，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故選：B．【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．7.若數列{an}滿足：對任意的n∈N*，只有有限個正整數m使得am＜n成立，記這樣的m的個數為（an）*，則得到一個新數列{（an）*}．例如，若數列{an}是1，2，3…，n，…，則數列{（an）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知對任意的n∈N*，an=n2，則（（an）*）*=(

)A．2n B．2n2 C．n D．n2參考答案：D【考點】數列的函數特性．【專題】轉化思想；數學模型法；等差數列與等比數列．【分析】對任意的n∈N*，an=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：對任意的n∈N*，an=n2，則=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（an）*）*=n2．故選：D．【點評】本題考查了遞推關系的應用、數列的通項公式，考查了猜想能力、計算能力，屬于中檔題．8.已知i為虛數單位，復數z滿足，則z=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】設z=a+bi，（a，b∈R），則，求出，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的充要條件即可求出a，b的值，則答案可求．【解答】解：設z=a+bi，（a，b∈R），則，∴，=，∴4a+2bi=2+2i，解得：a=，b=1．∴．故選：B．9.的三個內角A，B，C所對的邊分別為，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B根據正弦定理可知，即，所以，選B.10.已知正項等比數列滿足。若存在兩項使得，則的最小值為(

)（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設變量x，y滿足約束條件則z=3x﹣2y的最大值為．參考答案：4【考點】簡單線性規劃．【分析】先根據約束條件畫出可行域，設z=3x﹣2y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=3x﹣2y過可行域內的點A時，從而得到z=3x﹣2y的最大值即可．【解答】解：依題意，畫出可行域（如圖示），則對于目標函數z=3x﹣2y，當直線經過A（0，﹣2）時，z取到最大值，Zmax=4．故答案為：4．12.在中，若，則▲。參考答案：【知識點】解三角形

C8在三角形中，所以已知式子為，即，而，故答案為2.【思路點撥】利用三角形的內角可得，展開可得，而將所求式子正切化為弦，就可得結果.13.設常數a>0，若9x＋≥a＋1對一切正實數x成立，則a的取值范圍為________．參考答案：14.已知命題A是命題B的充分不必要條件，命題B是命題C的充要條件，則命題C是命題A的________條件

參考答案：必要不充分略15.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是

．參考答案：16.若把英語單詞“error”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有________種．參考答案：19

略17.已知△ABC的三邊長成公比為的等比數列，則△ABC最大的余弦值為

．參考答案：由題設三邊長分別為:a,,2a,且2a為最大邊,所對的角為,

由余弦定理得:

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}滿足a1=﹣1，a2=1，且an+2=an(n∈N*)．（1）求a5+a6的值；（2）設Sn為數列{an}的前n項的和，求Sn；（3）設bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整數i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的i，j，k；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）由題意，當n為奇數時，；當n為偶數時，．結合a1=﹣1，a2=1，進一步求得，則a5+a6可求；（2）①當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比數列前n項和公式求解；②當n=2k﹣1時，由Sn=S2k﹣a2k求解；（3）由（1）得（僅b1=0且{bn}遞增）．結合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2與k=j+1兩類分析可得滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3．【解答】解：（1）由題意，當n為奇數時，；當n為偶數時，．又a1=﹣1，a2=1，∴，即a5+a6=2；（2）①當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）===．②當n=2k﹣1時，Sn=S2k﹣a2k===．∴；（3）由（1），得（僅b1=0且{bn}遞增）．∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．①當k≥j+2時，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差數列，則=，此與bn≥0矛盾．故此時不存在這樣的等差數列．②當k=j+1時，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差數列，則=，又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．若i≤j﹣2，則bi≤bj﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．從而2bj=bj﹣1+bj+1，得，化簡，得3j﹣2=1，解得j=2．從而，滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3．19.（本小題滿分12分）已知函數，（1）若函數是奇函數，求的值；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：（1）先求，因是奇函數，根據定義有，代入上式可得的值；（2）由上恒成立上恒成立，只需求的最小值即可，由基本不等式可得的最小值，從而得實數的取值范圍．試題分析：（1）1；（2）．試題解析：（1），∵是奇函數

∴恒成立∴，即

∴（2）上恒成立上恒成立設，則只需

∵

∴

∴當且僅當故，∴的取值范圍是考點：1、函數的奇偶性；2、利用基本不等式求最值．20.某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85．（Ⅰ）計算甲班7位學生成績的方差s2；（Ⅱ）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．參考公式：方差，其中．參考答案：【考點】極差、方差與標準差；莖葉圖．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）利用平均數求出x的值，根據所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數，把7次成績和平均數代入方差的計算公式，求出這組數據的方差．（Ⅱ）設甲班至少有一名學生為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數，和沒有甲班一名學生的方法數目，先求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結合對立事件的概率性質求得答案【解答】解：（I）∵甲班學生的平均分是85，∴．…∴x=5．…則甲班7位學生成績的方差為s2==40．…（II）甲班成績在90（分）以上的學生有兩名，分別記為A，B，…乙班成績在90（分）以上的學生有三名，分別記為C，D，E．…從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．…其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…記“甲班至少有一名學生”為事件M，則，即從成績在90（分）以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為．…【點評】本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識．21.（本題滿分14分）已知函數（Ⅰ）當時，求函數的極值；（Ⅱ）若函數在定義域內為增函數，求實數m的取值范圍;(Ⅲ)若，的三個頂點在函數的圖象上，且，、、分別為的內角A、B、C所對的邊。求證：參考答案：（Ⅰ）)的定義域為，，..........1分時，=,得.............2分隨的變化情況如下表：

+

+

...................4分

,

.........5分（Ⅱ）函數在定義域內為增函數，恒成立，恒成立。............7分（當且僅當時取等號）,........9分.........10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知,時,在為增函數,的三個頂點在函數的圖象上，且,...........11分.....13分.即...............14分22.統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙兩地相距100千米．（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？參考答案：考點：利用導數研究函數的極值；函數模型的選擇與應用．專題：計算題；應用題．分析：（I）把用的時間求出，在乘以每小時的耗油量y即可．（II）求出耗油量為h（x）與速度為x的關系式，再利用導函數求出h（x）的極小值判斷出就是最小值即可．解答： 解：（I）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗油（升）．答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到