四川省成都市第四十六中學2022年高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某班進行班干部選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出3人分別擔任班長、副班長、團支書，則上屆任職的甲、乙、丙三人沒有連任原職的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.在△ABC中，cos2=，（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：B【考點】解三角形．【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，進而利用余弦定理化簡整理求得a2+b2=c2，根據勾股定理判斷出三角形為直角三角形．【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形．故選B3.已知函數f（x）=﹣5，若對任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，則a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]參考答案：B【考點】利用導數研究函數的單調性；抽象函數及其應用．【分析】根據不等式恒成立，利用參數分類法進行轉化為a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，構造函數h（x）=x﹣x2lnx，求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系求出函數的最值即可．【解答】解：函數g（x）的導數g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函數g（x）在[，]上遞減，則[，2]上遞增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若對任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即當≤x≤2時，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，當在≤x≤2時，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上單調遞減，由于h′（1）=0，∴當≤x≤1時，h′（x）＞0，當1≤x≤2時，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故選：B．4.已知的導函數，若滿足，且，則的解析式可能是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為，所以舍去B;因為導數為，，舍A;因為導數為，，滿足題意;因為導數為，，舍D;綜上選C.

5.在股票買賣過程中，經常用到兩種曲線，一種是即時價格曲線y=f(x)，另一種是平均價格曲線y=g(x)(如f(2)=3是指開始買賣后二個小時的即時價格為3元；g(2)=3表示二個小時內的平均價格為3元)，下圖給出的四個圖像，其中實線表示y=f(x)，虛線表示y=g(x)，其中可能正確的是

（）參考答案：C略6.已知lga+lgb=0，函數f（x）=ax與函數g（x）=﹣logbx的圖象可能是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】對數函數的圖像與性質；指數函數的圖像與性質．【專題】數形結合．【分析】先求出a、b的關系，將函數g（x）進行化簡，得到函數f（x）與函數g（x）的單調性是在定義域內同增同減，再進行判定．解：∵lga+lgb=0∴ab=1則b=從而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax與∴函數f（x）與函數g（x）的單調性是在定義域內同增同減結合選項可知選B，故答案為B【點評】本題主要考查了對數函數的圖象，以及指數函數的圖象和對數運算等有關知識，屬于基礎題．7.如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE+BF是定值．其中正確說法是（） A．①②③ B． ①③ C． ①②③④ D． ①③④參考答案：D略8.若曲線與曲線在交點處有公切線，則A. B.0 C.1 D.2參考答案：C略9.已知函數f（x）=x+ex﹣a，g（x）=ln（x+2）﹣4ea﹣x，其中e為自然對數的底數，若存在實數x0，使f（x0）﹣g（x0）=3成立，則實數a的值為（）A．﹣ln2﹣1 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．ln2參考答案：A【考點】函數與方程的綜合運用．【分析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，運用導數求出y=x﹣ln（x+2）的最小值；運用基本不等式可得ex﹣a+4ea﹣x≥4，從而可證明f（x）﹣g（x）≥3，由等號成立的條件，從而解得a．【解答】解：令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是減函數，（﹣1，+∞）上是增函數，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當等號同時成立時，等號成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故選：A．10.各項互不相等的有限正項數列,集合,集合,則集合中的元素至多有(

)個. A． B． C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，，，，則

．參考答案：∵，可得，①∴兩邊平方可得，，解得：，∵，可得：，②∴由①②解得：，又∵，可得：，兩邊平方，可得：，，∴．故答案為．12.已知球與棱長均為3的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為。參考答案： 13.設實數滿足不等式組,則的取值范圍是__________.參考答案：[-1,1]14.已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點F是橢圓(a＞b＞0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經過焦點F，則該橢圓的離心率為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】由題意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入橢圓方程，可得=1，由此即可求出橢圓的離心率．【解答】解：由題意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入橢圓方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案為．15.已知向量，滿足||=2，||=1，|﹣2|=2，則與的夾角為

．參考答案：120°．【分析】利用向量的運算律將已知等式展開，利用向量的數量積公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夾角的余弦，求出夾角．【解答】解：設與的夾角為θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||?||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案為：120°．16.已知函數，對任意的，總存在，使，則實數a的取值范圍是_________.參考答案：略17.若不等式組表示的平面區域是一個銳角三角形，則實數的取值范是

.[參考答案：(-1,0)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線和的焦點分別為F1，F2，點且為坐標原點）．（1）求拋物線C2的方程；（2）過點O的直線交C1的下半部分于點M，交C2的左半部分于點N，求面積的最小值．參考答案：（1）；（2）8.【分析】（1）根據為坐標原點），利用坐標運算即可求出，寫出拋物線方程；（2）聯立直線與拋物線方程求出的坐標，寫出弦長，求出到直線的距離，寫出面積，利用換元法求其最值即可.【詳解】（1）F1（1，0），，∴，，∴p=2，∴拋物線C2的方程為x2=4y；（2）設過點O的直線為y=kx，聯立得（kx）2=4x，求得M（，），聯立得N（4k，4k2）（k＜0），從而，點P到直線MN的距離，進而=，令，有S△PMN=2（t-2）（t+1），當t=-2時k=-1，取得最小值．即當過原點直線為y=-x，△PMN面積的面積取得最小值8．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質，考查直線方程和拋物線的方程聯立，求交點，考查二次函數的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．19.已知函數（為常數）.(1)當時,求的極值；(2)設函數，若時,恒成立,求的取值范圍.參考答案：(1)

（）當時,，顯然是減函數；當時,,，時,。綜上，分別在，是減函數，在增函數，。（2）時,恒成立，先有，求得：，所求的取值在此范圍上討論即可。當時，恒成立，顯然；k*s@5%u當時，只須，即恒成立。設在是增函數，……………（1）當時，同理化得只須恒成立，，，在是增函數。得，此時，……………（2）綜上，時,恒成立，的取值范圍是。20.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍．參考答案：（1）可等價為.由可得：①當時顯然不滿足題意；②當時，，解得；③當時，恒成立.綜上，的解集為.（2）不等式等價為，令，則解集非空只需要.而.①當時，；②當時，；③當時，.綜上，，故.21.某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇．方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束，若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續進行第二次抽獎，規定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得1000元；若未中獎，則所獲得獎金為0元．方案乙：員工連續三次抽獎，每次中獎率均為，每次中獎均可獲得獎金400元．（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（I）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．（II）利用數學期望計算公式、二項分布列的性質即可得出．【解答】解：（Ⅰ），，，所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列為X05001000P（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，選擇方案甲進行抽獎所獲得獎金X的均值，若選擇方案乙進行抽獎中獎次數ξ～B，則，抽獎所獲獎金X的均值E（X）=E=400E（ξ）=480，故選擇方案甲較劃算．22.宜昌市教育主管部門到夷陵中學調查學生的體質健康情況．從全體學生中，隨機抽取12名進行體質健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如下：根據學生體質健康標準，成績不低于76的為優良．（Ⅰ）寫出這組數據的眾數和中位數；（