第三章點、直線、平面的投影

第一節點的投影第二節直線的投影第四節平面的投影第三節兩直線的相對位置第一節點的投影點在投影面體系中的投影HB2B1Aba構成：立體→面→邊→點講解順序：點→線→面→體點的單面投影：

不能唯一確定空間點

[一]兩面投影體系OXHVⅠⅡⅣⅢH與V相交→OX投影軸水平投影面H

正立投影面

V垂直相交3一、點的兩面投影[二]點的兩面投影VVHOAaaX正面投影水平投影aXaoxaxa點的投影特性：1.

aa的連線OX軸

2.

aaX=AaaaX=Aa4點的兩面投影規律：（1）點的兩投影連線垂直于投影軸，即

aa'⊥ox；（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點到相鄰投影面的距離，即：

a'ax=Aaaax=Aa'用兩面投影是否均能唯一確定空間形體？不能OXHVXO5VVHOAa,aX正面投影水平投影[一]三面投影體系WYZa側面投影二、點的三面投影水平投影面H

正立投影面

V側立投影面W垂直相交H與V

相交→OX投影軸H與W相交→OY投影軸V與W相交→OZ投影軸67aaa[二]點的三面投影oxzyHyW45

垂直關系,a

aOXa,,a,OZ

相等關系axazaaxa,,azayay投影特性：1.aaz=aay=xaaz=aax=yaax=aay=z

三投影面體系中點的投影規律2.aaoxaaozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazay點在三投影面體系中的投影XYHYWZOa'a"a規定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。aVHWXYHYW

Za'a"O例題已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。XZYWYHOa

a

aVOAaaXYZa9三、點的投影與直角坐標的關系投影面→坐標面投影軸→坐標軸軸的交點O→坐標原點xzy

Aa=XaAa=YaAa=Za距離的關系：投影坐標立體圖yWyHzxoa10已知A（35，10，25），作出其三面投影圖。10mm351025aa注:一個投影點反映兩個坐標。兩個投影點確定一個空間點。例題特殊點的投影HVOXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

aYVZOX13四、兩點相對位置VWHA左右上下前后[一]兩點的相對位置關系XOZY

兩點的相對位置兩點中X值大的點

——在左兩點中Y值大的點——在前兩點中Z值大的點——在上a

a

ab

b

bXZYWYHOaa

ab

bb

BA14[二]重影點的概念A與B對H面重影由V投影判斷高低不可見投影點的標記加括號HVAB

a(b)baXO

a(b)XOaba'b'a(b)c'(d')dca''c''b''d''重影點的可見性判斷左遮右3、若兩點的側面投影重合，可從正投影或水平投影判別，x坐標值大的點為可見。前遮后2、若兩點的正面投影重合，可從水平投影判別其可見性，y坐標值大的點為可見（點C在前）。上遮下1、若兩點的水平投影重合，可從正面投影判別其可見性，z坐標值大的點為可見（點A在上）。例題已知點的坐標值為：A（20，10，15）和

B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解：（1）量取坐標值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作點的投影。bb"c'c"xyHywoa'a"z例題

已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點對投影面的相對位置。點A的三個坐標值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標為0，故點B為H面上的點。點C的x、y坐標為0，故點C為z軸上的點。ab'c例題已知點D的三面投影，點C在點D的正前方15mm，

求作點C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm因為點C、D在V面上的投影重影。cc'c"又因為YC>YD所以C的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。d'YWYHOXZdd"()例題已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985直線的投影直線上的點各種位置直線的投影特性線段的實長及傾角第二節直線的投影2

一、直線的投影直線的投影特性顯實積聚類似1.直線平行于投影面，其投影反映實長。2.直線垂直于投影面，其投影積聚成點。3.直線傾斜于投影面，其投影長度縮短。

3直線的投影圖b,,a,,abb,a,xzOyWyH作圖：1.作出直線上兩點的投影2.用直線分別連接其各同面投影。直線上的點具有兩個特性：

1從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。

2定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。例題2例題3例題4

二、直線上的點ABbbaaXOccCc10b,aefbf,e,a,例E點在AB直線上F點不在AB直線上判斷E、F點是不是在直線AB上。試判斷K點是否在直線EF上。feefkkXOYZVfefeefEFKkkk例XO直接判斷例K點不在直線上1,k,2,1,1k22,k,k判斷K點是否在直線上。OXbXaabcc例題已知線段AB的投影圖，試將AB分成2：1兩段，求分點C的投影。例題已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV4三、直線與投影面的相對位置1.特殊位置直線投影面的平行線：平行于一個投影面的直線投影面的垂直線：垂直于一個投影面的直線2.一般位置直線

一般位置直線與各個投影面均傾斜：其投影均小于實長。‖H

：水平線‖V

：正平線‖W：側平線H:鉛垂線V:正垂線W:側垂線三、各種位置直線的投影特性

投影面平行線

正平線//Ｖ面水平線//Ｈ面側平線//Ｗ面

平行于一個投影面傾斜于另外兩個投影面。平行線分三種：

水平線（//Ｈ面、傾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1、正面和側面投影比實長短，abOX;abOYW2、ab=AB反映實長，傾斜于OX軸，反映、

角。XZYO正平線（//Ｖ面、傾斜Ｈ和Ｗ面）aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和側面投影比實長短，abOX;abOZ2、ab=AB反映實長,傾斜于OX軸，反映、角XZYOＨ面側平線（//Ｗ面、傾斜Ｖ和）XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1、正面和水平投影比實長短，abOZ;abOYH2、ab

=AB反映實長,傾斜于OZ軸，反映、角投影面垂直線側垂線⊥Ｗ面

正垂線⊥Ｖ面鉛垂線⊥Ｈ面垂直于一個投影面平行于另外兩個投影面。垂直線分三種：OXZYb

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影ab

積聚成一點

2、ab//OZ;ab//

OZ；

abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB反映實長鉛垂線（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB正垂線（Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYb(a)baba投影特性：1、正面投影ab積聚成一點。

2、ab//OY;ab//OY；

ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。ABzX(a)b

baOYHYWab側垂線（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、側面投影ab

積聚成一點

2、

ab//

OX

;ab//

OX；ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映實長。baa(b)abZXa(b)baOYHYWab一般位置直線傾斜于三個投影面的直線。直線與它的水平投影、正面投影、側面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的傾角，用、、表示。OXZY一般位置直線的投影特性ABbbabaa投影特性：1、ab、

ab、ab均小于實長

2、ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。ZXaaaOYYbbb

直角三角形法求解實長、傾角。1求直線的實長及對水平投影面的夾角角2求直線的實長及對正面投影面的夾角角3求直線的實長及對側面投影面的夾角角

四、一般位置線段的實長及其與投影面的夾角|zB-zA

|ABABbbaaboXO1、求直線的實長及對水平投影面的夾角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab|Z直角三角形法：距離差實長投影:H投影,Z，實長:V投影,Y，實長:W投影,X，實長基本作圖：傾角XOababABb0ABbbaaCXO2、求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3、求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|試用直角三角形法確定直線AB的實長及對投影面V的傾角。例題ababXOAB投影長度a'b'Y實長投影長度a'b'實長例題

已知線段AB＝30毫米及其投影ab和a，試求出ab。baab例題已知線段的實長AB，求它的水平投影。a|zB-zA|abab|yA-yB|ABABab|zB-zA|bXabABa第三節兩直線的相對位置

一、兩直線平行二、兩直線相交三、兩直線交叉四、兩直線垂直兩直線的相對位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行兩直線相交兩直線交叉兩直線XOV一、兩直線平行5

規則：若空間兩直線平行，則它們的各同名投影平行。abcdbacdABDCbadcbacdabcd同向、同比例6不平行判斷空間兩直線是否平行。badcbacdXO平行cdcdghhgXOYZVfefeefCDdccddc7EF

基本作圖8過已知點A作直線AB平行于已知直線CD。bacdcdabbXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二、相交兩直線

交點K的三面投影符合點的投影規律。10dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影圖利用投影判兩斷直線是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'

基本作圖過已知點作直線與已知直線相交。11答案有多少個？關鍵問題是什么？交點。無數個。c'd'cd1220mmb'k'a'答案有多少個？無數個。abk舉例

如圖所示，作一條與V面相距20mm并與已知直線CD相交的直線AB。xdd'kk'aa'bb'cc'??例：過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影三、交叉兩直線空間既不平行又不相交的二直線為交叉直線。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規律。aa'bb'cc'dd'cdcdghhgXOYZVfefeefCDdccddc7EF判斷交叉兩直線重影點的可見性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后aa'bb'cc'dd'

交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應點投影的重影點。

11'22'33'44'()()基本作圖過已知點作直線與已知直線交叉。cdc'd'a'abb'15能否過A點隨意作線呢？答案有多少個？無數個。例題判斷兩直線的相對位置dacboYWYHzXaacddcbb例題判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1例：判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線。∵ab與cd在一直線上，而a'b'∥c'd'，∴兩直線平行。∵CD為側平線，利用點分割線段成比例進行判斷。為交叉兩直線。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk

例：已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MN∥CD并與直線AB相交于N點。nn'm'作圖：過m作mn∥cd，并與ab交于n；由n求出n'；過n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX例題判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)

直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。一、垂直相交的兩直線的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有abac二、交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有abac17

兩垂直直線的判斷

關鍵是：兩垂直直線中必須有一條直線是投影面的平行直線。acbc'b'a'd'e'def'g'fg18

基本作圖

過已知點，作直線垂直于已知直線。a'b'abk'kl'l答案有多少個？ox例題過點作線段的垂線。bbaaOfeefXffcXcddee垂直相交f例題過點E作線段AB、CD的公垂線EF。fOcbaabXcddee19ZZ距離注意：距離直線只有平行于投影面時才能反映實長。舉例求作點到直線的距離。

兩平行直線的距離8投影面垂直線badca(b)c(d)ef距離efabcda(b)c(d)ef9eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距離投影面平行線

兩平行直線的距離實距

例：已知：直線EF平行CD并與直線AB相交，F點在H面上。.求所缺的投影aa'bb'cc'dd'OXeeffKKABab|yA-yB|bc=BCb例題作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcnmaaXmnc

掌握點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。

點與直線及兩直線相對位置的判斷方法及投影特性。點分割直線成定比——定比定理。

小結：第四節平面的投影

平面的表示法

各種位置平面的投影特性

屬于平面的點和直線

平面的投影一、平面的表示法用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直線和線外一點。c'ca'ab'b相交兩直線。b'ba'ac'cdd'平行兩直線。b'ba'ac'c任意平面形。平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHVHQHQVQQW4二、平面的投影特性顯實性積聚性類似性1.平面平行于投影面，其投影反映實形。2.平面垂直于投影面，其投影積聚成直線。3.平面傾斜于投影面，其投影為其類似形。

5[四]平面與投影面的相對位置1.特殊位置平面投影面的平行面：平行于一個投影面的平面投影面的垂直面：垂直于一個投影面的平面2.一般位置平面

一般位置平面與各個投影面均傾斜：其投影均小于實形，為平面的類似形。‖H

：水平面‖V

：正平面‖W：側平面H:鉛垂面V:正垂面W:側垂面投影面垂直面

垂直于一個投影面，與另兩個投影面傾斜的平面。投影面垂直面可分為三種：

垂直于Ｖ面的平面叫正垂面

垂直于Ｈ面的平面叫鉛垂面

垂直于Ｗ面的平面叫側垂面VXHYOZWPppp立體圖投影圖傾角和投影特性（1）水平投影積聚成直線，并反映傾角β和γ（2）正面投影和側面投影不反映實形,縮小的類似形.βγZXOpppwYγβ鉛垂面（⊥Ｈ面，傾斜Ｖ、Ｗ面）VWHPPH

鉛垂面.

ABCacbababbacccVWH鉛垂面跡線表示法PHPPH投影特性立體圖投影圖（1）正面投影積聚成直線，并反映傾角α和γ。（2）水平和側面投影不反映實形，是縮小了的類似形。XVZWYHOPppppXOZHYwYpp正垂面（⊥Ｖ面，傾斜Ｈ、Ｗ面）VWHQQV

正垂面.

αababbacccAcCabBVWH正垂面的跡線表示法QQVαγQVVWHSWS側垂面（⊥Ｗ面，傾斜Ｈ、Ｖ面）.CabABcabbbaaαβccc投影特性（1）側面透影積聚成直線，并反映傾角α和β。（2）水平和正面投影不反映實形，是縮小了的類似形。側垂面的跡線表示法VWHSHSZXOYSwYαβ投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；其余兩投影面的投影為原形的類似形，但比實形小；

平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別反映平面與相應投影面的傾角。投影面的平行面

平行于一個投影面，與另兩個投影面垂直的平面。投影面平行面可分為三種：平行于Ｖ面的平面叫正平面

平行于Ｈ面的平面叫水平面平行于Ｗ面的平面叫側平面XVZWOPHpYppZXpHYOppwY立體圖投影圖（1）水平投影反映實形（2）正面投影積聚為直線，且//ＯＸ軸；側面投影積聚為直線，且//OYw軸。投影特性水平面（//Ｈ面⊥VW面）VWH水平面CABabcbacabccabbbaaccVWH水平面的跡線表示法Pv正平面（//Ｖ面⊥HW面）VWH.cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性（1）正面投影反映真形。（2）水平投影//OX，側面投影//OZ，分別積聚成直線。VWHpHp側平面（//Ｗ面⊥VH面）VWHabbbacccabcbacabcCABa（1）側平面投影反映真形。（2）正面投影//OZ，水平投影//OYH，分別積聚成直線。VWHRRHRV投影面平行面的投影特性：

平面在所平行的投影面上的投影反映

實形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應的投影軸。一般位置平面的投影特性：平面在三個投影面上的投影均不反映實形，但為類似形。面積均比實形小。HXVabcYbacABCOWacbZ直觀圖aaXcHYbbcOabZYwc投影圖一般位置平面aaXcbbcOwbacbcaabbaccabbbaaαβccc一框兩線平行面，線框顯實形,直線豎或橫。兩框一線垂直面，兩框類似形,斜線積聚成。三框無線一般面，位置最分明。特點記憶三、平面上的點和直線幾何條件2：若直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。幾何條件3：若一直線過平面內的一點，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平面內。

幾何條件1：若點在平面內，它必在平面內的一條直線上。平面上的點和直線若點在平面的一直線上，則此點必在該平面上。若直線通過平面上兩個已知點，則此直線必在該平面上；或者直線通過平面上一個已知點，且平行于平面上的一直線，則此直線也必在該平面上。

取屬于平面的點

取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線ABCDE