第二章知識結構圖

隨機變量分布律

分布函數函數的分布概率密度

離散型隨機變量分布函數函數的分布

連續型隨機變量定義

常用分布定義常用分布1.事件及其關系2.概率的定義3.簡單的概率模型4.基本運算法則第一章中討論的問題本章將給出隨機變量和分布函數(重點和難點)的概念第二章隨機變量及其分布

隨機變量概念的產生

在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數量來表示，由此就產生了隨機變量的概念.1.有些試驗結果本身與數值有關（本身就是一個數)

例如

擲一顆骰子面上出現的點數◆每天從北京站下火車的人數◆昆蟲的產卵數◆

七月份上海的最高溫度◆2.在有些試驗中，試驗結果看來與數值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數值化.

正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，兩者建立了一種對應關系.

稱:

這種定義在樣本空間S上的實值函數為隨量機變這種對應關系在數學上理解為定義了一種實值函數.它與在高等數學中的函數一樣嗎？

它隨試驗結果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.★

由于試驗結果的出現具有一定的概率，于是這種實值函數取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率.★

有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.

引入隨機變量的意義單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用X表示，它是一個隨機變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}事件{沒有收到呼叫}{X=0}例如：

隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內.也可以說，隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象，而隨機變量則是一種動態的觀點，就如高等數學中常量與變量的區別.隨機變量概念的產生是概率論發展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現象統計規律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規律的研究。★★隨機變量隨機事件的數量化，且由數量化可達到從量的角度來研究隨機現象統計規律性.分布函數

在隨機變量基礎上進一步解決（第一章中無法解決的）求區間上的概率問題以及把各類隨機變量的特征分布用統一的形式將其表達出來.(重點,難點)事件及事件概率隨機變量及其取值規律

投擲硬幣的隨機試驗有兩個可能的結果：正面取“1”，反面取“0”若把樣本空間S記成：第一節隨機變量則可以引入一個變量X：而因為變量的取值是隨機的，故稱其為：引例.隨機變量一.隨機變量的定義定義：設隨機試驗E的樣本空間,如果對于每一個,都有一個實數與之對應,這樣得到了一個定義在S上的單值函數,稱為隨機變量.注:隨機變量示意圖e.X(e)

是X(e)的值域，即所有可能取值的全體▲

一般對任意實數集合L有:定義在實數軸上;由定義域可預知它取什么值.隨機變量與普通函數的區別:▲(出現“正面”)X的取值隨著試驗的結果而定,而試驗的各個結果的出現有一定的概率.比如引例中:

隨機變量X=X(e)的各個數值有一定的概率▲普通函數:

定義在樣本空間上(樣本空間的元素不一定是實數);由試驗只能預知其取值范圍而不能預知它取什么值;它取各個值有一定的概率.

用隨機變量表示事件之間仍存在包含相等,

并,交,對立,相容,獨立的關系,并可進行概率運算.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示

而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母

x,y,z

等.隨機變量:▲(1)一個射手對目標進行射擊，擊中目標記為1分，未中目標記為0分.分析:設X：射手在一次射擊中的得分，則X=X(e)是一個隨機變量,它取值是0和1.(2).某段時間內候車室的旅客數目為X,則它也是一個隨機變量,它可以取0及一切自然數。X是定義在樣本空間:例.{人數人數}(3)單位面積上某農作物的產量記為X,則它也是一個隨機變量.它可以取一個區間內的一切實數值,即二.隨機變量的兩種重要類型隨機變量離散型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉

例如“取到次品的個數”，“收到的呼叫數”等等.連續型隨機變量全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區間.例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等等.重復說明

若隨機變量X的所有可能取的值是有限個的或可列個的,則稱X

為離散型隨機變量.若隨機變量X的所有可能取的值可以是整個數軸或至少有一部份取值是某些區間,則稱X是連續型隨機變量.離散型隨機變量:連續型隨機變量:一.離散型隨機變量的分布律引例如圖中所示，從中任取3個球取到的白球數X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為：第二節離散型隨機變量的概率分布（分布律）且：設離散型隨機變量X所有可能取的值為的概率為:則稱為離散型隨機變量X的概率分布或分布律.注:

分布律可以列表給出1.定義:其各個可能取值即事件2.性質用這兩條性質判斷一個函數是否是概率函數注

一般：求分布律時需驗證這兩條性質。若成立則稱得上是分布律，否則說明分布律求錯.▲

具有離散型隨機變量才具有分布律▲X的可能取值:0,1,2.X的各種可能取值的概率如下:解:設在15只同類型的零件中有兩只次品，現從中抽取3只，以X表示取出3只中所含次品的個數.求:X的分布律.例1.圖形:亦稱概率分布圖

所以其分布律為：(顯然每個從中抽取3只，求次品數不大于1只的概率有多大？思考題：答案：

某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求：他兩次獨立投籃投中次數X的概率分布.

X可能取值為0、1、2

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例2.解：則：故得其分布律為：

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數，求：X的概率分布.

依題意,X可取值0,1,2,3例3.解:Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口3路口2路口1

則：P(X=0)=P(A1)=1/2Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口3路口1路口2P(X=1)=P()=1/4X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數路口2路口3路口1

P(X=2)=P=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設路口1路口2路口3=1/8P(X=3)=P于是得其分布律為：顯然，

某加油站替公共汽車站代營出租汽車業務，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營業務，每天加油站要多付給職工服務費60元.設每天出租汽車數X是一個隨機變量，它的概率分布如下：求:因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.例4.加油站代營每出租一輛車，可得3元.若設每天出租汽車數為X，則因代營業務得到的收入為3X元.

每天加油站要多付給職工服務費60元，即當天的額外支出費用.

因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：P{3X>60}即:P{X>20}分析：注意到:

也就是說，加油站因代營業務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為0.6.

故其經營決策者應該考慮是否繼續代營此項業務或應該考慮是否調整當天的額外支出費用.P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6所以得：二.幾種常見的離散型隨機變量的分布1.(01)分布若隨機變量X只能取0與1兩個值,它的分布律為:則稱X服從(0--1)分布，記為：列表:

它只發一彈，要么打中，要么打不中，分別記為1與0分布律為：(0—1)分布的應用很廣，比如:檢查產品的質量(正品與次品)有獎儲蓄券是否中獎(中與不中)對嬰兒性別進行登記(男與女)高射炮射擊敵機是否擊中等等.某次射擊,已知某射手的命中率為0.8.求:射擊一次命中目標次數X的分布律.例4.解:注:2.二項分布(1).貝努利概型

重復進行n次試驗,若各次試驗的結果互不影響，即每次試驗結果出現的概率都不受其它各次試驗結果的影響.則稱這n次試驗是相互獨立的.

把在相同的條件下重復進行n次獨立試驗的概率模型,稱為

n次獨立試驗模型.n次相互獨立試驗:說明:設隨機試驗E只有兩種可能的結果

則稱這樣的n次重復獨立試驗概型為：n重貝努利概型.

設生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令

X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數.求：X的概率分布.貝努利概型:且在每次試驗中出現的概率為：例5.X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數，生男孩的概率為p.男女X=0X=1X=2X=3X=4X的概率函數是：X可取值0,1,2,3,4.將一枚均勻骰子拋擲3次，令:X表示3次中出現“4”點的次數求:X的概率函數X的概率函數是：例6.解:顯然，

設一次試驗中事件A發生的概率為則在n次貝努利試驗中事件A恰發生k次概率為:按獨立事件的概率計算公式可知，n次試驗中事件A在某k次

(例如前k次)發生而其余n-k次不發生的概率應為:

定理證明:而且它們是相互獨立的，故在n次試驗中A發生k次的概率(依概率的加法定理)為:概率就等于二項式的展開式中的系數，這也是二項分布的名稱的由來.由于現在只考慮事件A在n次試驗中發生k次而不論在哪k次發生,所以它應有種不同的發生方式.注顯然它滿足：▲

(2).二項分布若用X表示n重貝努利概型中事件A發生的次數，它的分布律為：則稱

X服從參數為n,p(0<p<1)的二項分布，記為:列表:

對于固定n及p，當k增加時，概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值，隨后單調減少.n=10,p=0.7nPk注特別當n=1時，二項分布即為(0---1)分布▲二項分布的圖形特點：X~B(n,p)▲n=13,p=0.5Pkn0當(n+1)p為整數時

概率P(X=k)

在k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1處達到最大值.當

(n+1)p不為整數時，概率

P(X=k)

在

k=[(n+1)p]達到最大值其中：[x]

表示不超過

x

的最大整數設某炮手射擊的命中率為0.8，為炸毀某個目標，經預測只要命中兩發就夠炸毀.問:希望發射5發炮彈就能炸毀目標的可能性有多大?A:

發射5發炮彈就炸毀了目標例7.解:（恰好中兩發）=（至少中兩發）（恰好中三發）+（恰好中四發）+（恰好中五發）+

已知100個產品中有5個次品，現從中

有放回地取3次，每次任取1個求:在所取的3個中恰有2個次品的概率.因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)例8解:若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，就不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.古典概型與貝努里概型有何區別？注貝努里概型對試驗結果沒有等可能的要求，但要求：（1）每次試驗條件相同，各次試驗相互獨立（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果A或

且若一年中參加人壽保險者里面每個人死亡的概率為0.005,現有10000個這類人參加人壽保險.試求：在未來一年中在這些保險者里面:(1).有10人死亡的概率(2).死亡人數不超過10人的概率.設X:在未來一年中這些保險者中的死亡人數.(1).有10人死亡的概率為：例9.解:這是貝努利概型.則：(2).死亡人數不超過10人的概率是:這些計算是非常麻煩的，現給出一個當n很大，p很小時的近似計算公式，即二項分布的Possion逼近.泊松(Possion)

定理設是一常數則對任一固定的非負整數k有：且證明:泊松定理中的值有表可查例10.

用泊松定理中的近似公式計算例9解：注:一般的用去近似二項分布的當：時近似效果頗佳時近似效果更好見本教材第二版的P372的附表31萬人參加保險，每人的死亡率為0.005.求:10人死亡小于10人死亡的概率這里附表3沒有列入，n確實很大時更進一步的計算將在第五章介紹中心極限定理之后再來解決比較方便.若現將“每個人死亡的概率改為0.0005”，則注：3.泊松分布若隨機變量X的所有可能取值為：而它的分布律(它所取值的各個概率)為：則稱

X服從參數為的泊松分布,記為定理：注泊松分布滿足分布律的兩個條件：▲▲泊松分布的圖形特點：在實際中，許多隨機現象服從或近似服從泊松分布。若把在每次試驗中出現概率很小的事件稱作稀有事件。二項分布與泊松分布的關系▲由泊松分布的定義及泊松定理可知：當泊松分布是二項分布的近似。（這是1837年由法國數學家泊松引入的）比如：由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現的次數近似地服從泊松分布.地震、火山爆發、特大洪水、意外事故等等

比如：

在自然界和人們的現實生活中,經常要遇到在隨機時刻出現的某種事件.我們把在隨機時刻相繼出現的事件所形成的序列,叫做隨機事件流.若事件流具有平穩性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松事件流（泊松流）泊松分布產生的一般條件▲平穩性:在任意時間區間內，事件發生k次(k≥0)的概率只依賴于區間長度而與區間端點無關.無后效性

普通性在不相重疊的時間段內，事件的發生是相互獨立的.如果時間區間充分小，事件出現兩次或兩次以上的概率可忽略不計.例如：一放射性源放射出的粒子數都可以看作泊松流.某電話交換臺收到的電話呼叫數到某機場降落的飛機數一個售貨員接待的顧客數一臺紡紗機的斷頭數

………例如

一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數可以用參數

λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷問：商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數為X已知X服從參數λ=5

的泊松分布.設商店在月底應進某種商品m件求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m進貨數銷售數例12求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m.查泊松分布表得：m=9為了對離散型的和連續型的隨機變量,以及更廣泛類型的隨機變量給出一種統一的描述方法，引進了分布函數的概念.0.10.30.6kPK012

f(x)xo第三節隨機變量的分布函數設

X

是一個隨機變量，稱：為X

的分布函數.記作:X～

F(x)

或F