八年級數學培優專題專題29幾何變換八年級數學培優專題專題29幾何變換八年級數學培優專題專題29幾何變換專題29幾何變換閱讀與思慮幾何變換是指把一個幾何圖形F1變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的地點，而不改變圖形的形狀和大小，這類變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉是常有的合同變換.lF1αF2F2F2F1F1圖1圖2圖31.平移變換如圖1，假如把圖形F1上的各點都按必定方向挪動必定距離獲得圖形F2后，則由F1到F2的變換叫平移變換.平移變換前后的對應線段相等且平行，對應角的兩邊分別平行且方向一致.2.對稱變換如圖2，將平面圖形F1變換到與它成軸對稱的圖形F2，這樣的幾何變換就叫做對于直線l（對稱軸）的對稱變換.對稱變換前后的對應線段相等，對應角相等，其對稱軸是連接各對應點線段的垂直均分線.3.旋轉變換如圖3，將平面圖形F1繞這一平面內必定點M旋轉一個定角，獲得圖形第1頁/共12頁F2，這樣的變換叫旋轉變換，M叫旋轉中心，叫旋轉角.旋轉變換前后的圖形是全等的，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的夾角等于旋轉角.例題與求解【例l】如圖，∠AOB=450，角內有點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R（均不一樣樣于O），則△PQR的周長的最小值為_______________.（黃岡市比賽試題）解題思路：作P點對于OA，OB的對稱點，確立Q，R的地點，化折線為直線，求△PQR的最小值.APOB【例2】如圖，P是等邊△ABC的內部一點，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5:6:7，則以PA，PB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.不可以夠確立（全國通信賽試題）第2頁/共12頁APBC解題思路：解本例的重點是怎樣結構以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB，PBC，△PCA中的任一個，繞一個極點旋轉600，就能夠把PA，PB，PC有效地集中在一同.【例3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.（天津市比賽試題）解題思路：用截長法或補短法證明，實質都利用AD翻折造全等.ACBD【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，求證：該六邊形的各角都相等.第3頁/共12頁（全俄數學奧林匹克比賽試題）解題思路：想法能將復雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一個基本圖形表示，題設條件有平行條件，考慮實行平移變換.AFEBCD【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，∠MCN=450（1）如圖1，當M、N在AB上時，求證：MN2AM2BN22）如圖2，將∠MCN繞C點旋轉，當M在BA的延伸線時，上述結論能否建立？若建立，請證明；若不建立，請說明原因.CC

（天津市中考試題）AMBMABNN圖1圖2第4頁/共12頁解題思路：MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需轉變為直角三角形可將△ACM沿直線CM對折，得△DCM.連DN，只要證DN=BN，∠MDN=900；或將△ACM(或△BCM)旋轉.【例6】如圖，∠DAC=120，∠DBC=240，∠CAB=360，∠ABD=480，求∠DCA的度數.（日本算術奧林匹克試題）解題思路：已知角的度數都是12的倍數，360240600，這使我們想到構作正三角形.DCAB第5頁/共12頁能力訓練1.在以以下圖的單位正方形網格中，將△ABC向右平移3個單位后獲得△ABC，則BAA的度數是_______.（泰安市中考試題）yAABC

APBOxBCC(第1題)（第2題）（第3題）2.如圖，P是等邊△ABC內一點，PA=6，PB=8，PC=10，則∠APB=_________.3.如圖，直線y14x與雙曲線y2k(k0)交于點A，將直線y14x向右平移9個3x32單位后，與雙曲線y2k交于點B，與x軸交于點C.若AO2，則xBCk=______________.（武漢市中考試題）第6頁/共12頁4.如圖，△ABC中，∠BAC=450，AD⊥BC，DB=3，DC=2，則△ABC的面積是___________.5.如圖，P為正方形內一點，若PA:PB:PC1:2:3，則∠APB的度數是（）.A.1200B.1350C.1450D.1500AADADPA'D'OCBBCBCD（第4題）（第5題）（第6題）6.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉600，得四邊形ABCD,以下結論：①四邊形ABCD為菱形；②S四邊形ABCD1S正方形ABCD；③線段OD的長為31.此中正確的結論有（）.2A.0個B.1個C.2個D.3個如圖，A，B兩個電話機離電話線l的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點分別向A，B連電話線，最短為（）.A.11米B.10米C.9米D.8米8.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，P是△ABC內一點，若記xPAPBPC，yABAC，則（）.A.xyB.xyC.xyD.x與y的大小關系不確立第7頁/共12頁CDlAPABBC第8題圖第7題圖如圖，已知D是△ABC中BC邊的中點，過D作DE⊥DF，分別交AB于E，交AC于F，求證：BECFEF.（天津市比賽試題）AEFBDC10.如圖，△ABC，△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，FG∥KD，KHEFFGKDDEGH0.求證：△ABC，△ABC均為為正三角形.（“縉云杯”邀請賽試題）AC'KHB'DGBEFCA'第8頁/共12頁11.如圖，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分別為AC，AB上的點，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.（北京市比賽試題）APQBC12.如圖，已知在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A(2,3)，B(4,1).若P(x,0)是x軸上的一個動點，當△PAB的周長最短時，求x的值；（2）若C(a,0),D(a3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形ABCD的周長最短時，求a的值；（3）設M，N分別為x軸，y軸上的動點，問：能否存在這樣的點M(m,0)和N(0,n)，第9頁/共12頁使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明原因.（浙江省湖州市中考試題）yxOBA13.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設線段AD的垂直均分線l交線段EF于點M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q，求證：EP=FQ.（全國初中數學聯賽試題）lEPMFQADGNHBLC14.以以下圖，已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連接EC，取EC中點M，連接DM和BM.（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1，求證：BM=DM，且BM⊥DM；（2）如圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于450的角，那么（1）中的