Chapter2AxialTensionandCompression第二章軸向拉伸和壓縮§2-1軸向拉壓的概念及實(shí)例(Conceptsandexamplesofaxialtension&compression)第二章軸向拉伸和壓縮

Chapter2

AxialTensionandCompression§2-2內(nèi)力計(jì)算(Calculationofinternalforce)§2-3應(yīng)力及強(qiáng)度條件(Stressandstrengthcondition)§2-4材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

(Materialpropertiesinaxialtensionandcompression)

§2-5拉壓桿的變形計(jì)算

(Calculationofaxialdeformation)§2-6拉壓超靜定問(wèn)題

(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)§2-7剪切變形(Sheardeformation)

§2-1軸向拉壓的概念及實(shí)例(Conceptsandexampleproblemsofaxialtension&compression)一、工程實(shí)例

(Engineeringexamples)

三、變形特點(diǎn)(Characterofdeformation)

沿軸向伸長(zhǎng)或縮短二、受力特點(diǎn)(Characterofexternalforce)

外力的合力作用線與桿的軸線重合四、計(jì)算簡(jiǎn)圖(Simplediagramforcalculating)

FFFF軸向壓縮(axialcompression)軸向拉伸(axialtension)mmFF一、求內(nèi)力

(Calculatinginternalforce)設(shè)一等直桿在兩端軸向拉力F的作用下處于平衡,欲求桿件橫截面m-m上的內(nèi)力.

§2–2內(nèi)力計(jì)算

(Calculationofinternalforce)在求內(nèi)力的截面m-m處，假想地將桿截為兩部分.取左部分部分作為研究對(duì)象.mmFFN1.截面法(Methodofsections)（1）截mmFF（2）取棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用以截開(kāi)面上的內(nèi)力代替，合力為FN.（3）代對(duì)研究對(duì)象列平衡方程FN

=F式中：FN

為桿件任一橫截面

m-m上的內(nèi)力.與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過(guò)其形心,稱為軸力(axialforce).（4）平mmFFmmFFNFN若取右側(cè)為研究對(duì)象，則在截開(kāi)面上的軸力與部分左側(cè)上的軸力數(shù)值相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm2.軸力符號(hào)的規(guī)定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若軸力的指向背離截面，則規(guī)定為正的，稱為拉力(tensileforce).（2）若軸力的指向指向截面，則規(guī)定為負(fù)的，稱為壓力(compressiveforce).計(jì)算時(shí)通常假設(shè)軸力為正二、軸力圖(Axialforcediagram)

用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置,用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值,從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線,稱為軸力圖.將正的軸力畫在x軸上側(cè),負(fù)的畫在x軸下側(cè).xFNO例題1一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖.

CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA解:

求支座反力

求AB段內(nèi)的軸力FRAFN1CABDE40kN55kN25kN20kNFRA1

求BC段內(nèi)的軸力

FRA40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNFRA2

FN3求CD段內(nèi)的軸力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA3求DE段內(nèi)的軸力20kNFN440kN55kN25kN20kNFRA4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（壓力）FN4=20kN（拉力）發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上5010520++CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN

§2-3應(yīng)力及強(qiáng)度條件(Stressandstrengthcondition)一、橫截面上的正應(yīng)力(Normalstressoncrosssection)FFabcd1.變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)（1）橫向線ab和cd仍為直線,且仍然垂直于軸線;

（2）ab和cd分別平行移至a'b'和c'd',且伸長(zhǎng)量相等.

FFabcd

2.平面假設(shè)

(Planeassumption)

變形前原為平面的橫截面,在變形后仍保持為平面,且仍垂直于軸線.3.內(nèi)力的分布(Thedistributionofinternalforce)FFN

均勻分布(uniformdistribution)結(jié)論：各纖維的伸長(zhǎng)相同,所以它們所受的力也相同.式中,FN為軸力,A為桿的橫截面面積,

的符號(hào)與軸力FN

的符號(hào)相同.當(dāng)軸力為正號(hào)時(shí)（拉伸）,正應(yīng)力也為正號(hào),稱為拉應(yīng)力;當(dāng)軸力為負(fù)號(hào)時(shí)（壓縮）,正應(yīng)力也為負(fù)號(hào),稱為壓應(yīng)力.4.正應(yīng)力公式(Formulafornormalstress)二、強(qiáng)度條件(Strengthcondition)

桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力1.數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematicalformula)2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)（2）設(shè)計(jì)截面（1）強(qiáng)度校核（3）確定許可荷載例題2一橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段,其受力情況,各段長(zhǎng)度及橫截面面積如圖所示.已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力.FABCFF3000400037024021解：（1）作軸力圖FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應(yīng)力結(jié)論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力.例題3簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80807等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號(hào)工字鋼組成.材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[]=170MPa.求許可荷載[F].ABCF1m30。解：（1）取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。結(jié)點(diǎn)A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到（2）許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）結(jié)論：許可荷載[F]=184.6kN例題4剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點(diǎn),B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應(yīng)力[]=160MPa，試校核CD桿的強(qiáng)度,并求：（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];（2）若F=50kN,設(shè)計(jì)CD桿的直徑.2aaFABDC解：（1）求CD桿的內(nèi)力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]由[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）若F=50kN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑由得d=24.4mm取d=25mmFRAx1.試驗(yàn)條件(Testconditions）

§2-4材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtensionandcompression)一、實(shí)驗(yàn)方法(Testmethod)（1）常溫:室內(nèi)溫度（2）靜載:以緩慢平穩(wěn)的方式加載（3）標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件2.試驗(yàn)設(shè)備(Testinstruments)

（1）微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)

（2）游標(biāo)卡尺二、拉伸試驗(yàn)(Tensiletests)先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為標(biāo)距

l

(originalgagelength).l=10d或l=5d

1.低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1）拉伸試樣dl標(biāo)距（2）拉伸圖(F-l曲線)拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān).為了消除試樣尺寸的影響，把拉力F除以試樣的原始面積A，得正應(yīng)力；同時(shí)把l除以標(biāo)距的原始長(zhǎng)度l

，得到應(yīng)變.表示F和l關(guān)系的曲線，稱為拉伸圖(tensiondiagram)FOΔlp（3）應(yīng)力應(yīng)變圖表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖(stress-straindiagram)（a）彈性階段試樣的變形完全彈性的.此階段內(nèi)的直線段材料滿足胡克定律(Hooke’slaw)

比例極限(proportionallimit)OaE為材料的彈性模量，只和材料有關(guān)b點(diǎn)是彈性階段的最高點(diǎn).彈性極限(elasticlimit)（b）屈服階段當(dāng)應(yīng)力超過(guò)b點(diǎn)后，試樣的荷載基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yielding).

pfOf′habec點(diǎn)為屈服極限屈服極限(yieldingstrength)

sc滑移線

sb（c）強(qiáng)化階段過(guò)屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)變形必須增加拉力.這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化(hardening)

e點(diǎn)是強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)

強(qiáng)度極限(ultimateStrength)epfOf′habce（d）局部變形階段過(guò)e點(diǎn)后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯著地收縮，出現(xiàn)頸縮

(necking)現(xiàn)象，一直到試樣被拉斷.

sbepfOf′habce

試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長(zhǎng)度由l變?yōu)閘1，橫截面積原為A，斷口處的最小橫截面積為A1.斷面收縮率

(percentreductioninarea)伸長(zhǎng)率(percentelongation)≧5%的材料，稱作塑性材料(ductilematerials)<5%的材料，稱作脆性材料

(brittlematerials)（4）伸長(zhǎng)率和斷面收縮率（5）卸載定律及冷作硬化卸載定律(unloading

law)若加載到強(qiáng)化階段的某一點(diǎn)d停止加載,并逐漸卸載,在卸載過(guò)程中,荷載與試樣伸長(zhǎng)量之間遵循直線關(guān)系的規(guī)律稱為材料的卸載定律(unloading

law).abcefOgf′hεd′d在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段然后卸載,當(dāng)再次加載時(shí),試樣在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大.這種現(xiàn)象稱為冷作硬化冷作硬化e-彈性應(yīng)變(elasticstrain)p-塑性應(yīng)變(plasticstrain)abcdefOd′gf′hep2.無(wú)明顯屈服極限的塑性材料

(Ductilematerialswithoutclearingdefinedyieldpoint)

s0.2e

0.2%s名義屈服應(yīng)力用

表示.3.鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能ｂ-鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限(Mechanicalpropertiesforacastironintension)割線彈性模量O

/MPa/%eα三、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)

1.實(shí)驗(yàn)試樣

(Testspecimen)2.低碳鋼壓縮時(shí)的s-e曲線(Stress-straincurveforalow-carbonsteelincompression)dhFFFF

sOe

壓縮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E，屈服極限s都與拉伸時(shí)大致相同.屈服階段后,試樣越壓越扁,橫截面面積不斷增大,試樣不可能被壓斷,因此得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限.3.鑄鐵壓縮時(shí)的s-e曲線(Stress-straincurveforcastironincompression)O

/%eｂ鑄鐵壓縮時(shí)破壞端面與橫截面大致成45°～55°傾角,表明這類試樣主要因剪切而破壞,鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限是抗拉強(qiáng)度極限的4～5倍.脆性材料的抗壓性能比抗拉性能好以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力,并將所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力,用[]表示.2.許用應(yīng)力(Allowablestress)1.極限應(yīng)力(Ultimatestress)四、安全因數(shù)和許用應(yīng)力

(Factorofsafety&allowablestress)

n—安全因數(shù)(factorofsafety)

塑性材料(ductilematerials)脆性材料

(brittlematerials)材料的兩個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)s和b

稱作極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力,并用u

表示.五、應(yīng)力集中(Stressconcentrations)開(kāi)有圓孔的板條

因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中(stressconcentrations).FFF帶有切口的板條FFF應(yīng)力集中因數(shù)(stress-concentrationfactor)六、蠕變及松弛(creeping&relaxation)固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)變隨時(shí)間緩慢增長(zhǎng)的現(xiàn)象稱為蠕變(creeping)粘彈性材料在總應(yīng)變不變的條件下,變形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時(shí)間逐漸降低的現(xiàn)象稱為松弛

(relaxation)F發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力同一截面上按凈面積算出的平均應(yīng)力

§2-5拉壓桿的變形計(jì)算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、縱向變形(Axialdeformation)b1ll12.縱向應(yīng)變(Axialstrain)1.縱向變形(Axialdeformation)二、橫向變形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)稱為泊松比

(Poisson’sratio)2.橫向應(yīng)變(Lateralstrain)FFbhb1ll11.橫向變形(Lateraldeformation)只和材料有關(guān)四、胡克定律

(Hooke’slaw)式中E稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).

實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.上式改寫為由軸向變形的一般公式例題5圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.E=200GPa.試求：（1）桿的最大正應(yīng)力max（2）B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3l1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3l1l2l3ABCDFRD15+-2050（1）桿的最大正應(yīng)力maxAB段DC段FCB=-15kN(-)FAB=20kN（+）FDC=-50kN(-)F1F2F3l1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa發(fā)生在AB段.（2）B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFAFN1FN2x30°yA1例題7圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量

E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求當(dāng)F=130kN時(shí)節(jié)點(diǎn)的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方程得兩桿的軸力1桿受拉,2桿受壓A2（2）兩桿的變形30°AA1A2A'30°AA3

為所求A點(diǎn)的位移A12mABCF30°12A2A3一、基本概念和實(shí)例

(Basicconceptsandexamples)1.工程實(shí)例(Engineeringexamples)

（1）螺栓連接(Boltedconnections)§2-7剪切變形(Sheardeformation)（2）鉚釘連接(Rivetedconnections)FF螺栓(bolt)FF鉚釘(rivet)FF鉚釘(rivet)m軸(shaft)鍵(key)齒輪(gear)（3）鍵塊聯(lián)接(Keyedconnection)（4）銷軸聯(lián)接(Pinnedconnection)FFABddd1d1nn（合力）（合力）FF2.受力特點(diǎn)(Characterofexternalforce)以鉚釘為例

構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相互很近的平行力系作用.3.變形特點(diǎn)(Characterofdeformation)

構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面(剪切面）發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng).mmF剪切面FS二、剪切的應(yīng)力分析

(Analysisofshearingstress)1.內(nèi)力計(jì)算(Calculationofinternalforce)

FS

-

剪力(shearingforce)

FFmm2.切應(yīng)力（Shearingstress）式中，F(xiàn)S-

剪力(shearingforce)

A-剪切面的面積(areainshear)3.強(qiáng)度條件(Strengthcondition)[]為材料的許用切應(yīng)力(Allowableshearingstressofamaterial)(factorofsafety)mmF剪切面FFmmn-安全因數(shù)-剪切極限應(yīng)力(ultimateshearingstress)螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上,發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象,稱為擠壓(bearing).三、擠壓的應(yīng)力分析(Analysisofbearingstress)FFFF在接觸面上的壓力,稱為擠壓力(bearingforce),并記為F

擠壓面（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓成橢圓1.擠壓破壞的兩種形式

(Twotypesofbearingfailure)FF2.擠壓應(yīng)力(Bearingstress)F

-擠壓力(bearingforce)Abs

-擠壓面的面積(areainbearing)2.強(qiáng)度條件(Strengthcondition)[bs]-許用擠壓應(yīng)力(allowablebearingstress)擠壓現(xiàn)象的實(shí)際受力如圖所示.（2）當(dāng)接觸面為圓柱面時(shí)dh實(shí)際接觸面直徑投影面擠壓面的面積計(jì)算（1）當(dāng)接觸面為平面時(shí),Abs為實(shí)際接觸面面積.擠壓面積Abs為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積四、強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1.校核強(qiáng)度(Determinetheallowabledimension)2.設(shè)計(jì)截面(Determinetheallowableload)3.求許可載荷4.破壞條件(failure

condition)解：（1）鍵的受力分析如圖

例題12齒輪與軸由平鍵連接,已知軸的直徑d=70mm,

鍵的尺寸為b×h×L=20×12×100mm,傳遞的扭轉(zhuǎn)力偶矩Me=2kN·m,鍵的許用切應(yīng)力為[]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[bs]=100MPa.試校核鍵的強(qiáng)度.bhlMedFMehMedF綜上，鍵滿足強(qiáng)度要求.（2）校核剪切強(qiáng)度（3）校核擠壓強(qiáng)度bhlA例題13一銷釘連接如圖所示，已知外力F=18kN,被連接的構(gòu)件A和B的厚度分別為d=8mm和d1=5mm,銷釘直徑d=15mm,銷釘材料的許用切應(yīng)力為[]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[bs]=2