第41講三角函數(shù)之分段分析法1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．【解答】證明：（1）的定義域為，，，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，，由零點存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．當(dāng)，時，，，于是，單調(diào)遞減，其中，．于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個零點0，由函數(shù)零點存在性定理可知，在，上有且只有一個零點，當(dāng)，時，，則恒成立，因此函數(shù)在，上無零點．綜上，有且僅有2個零點．2．已知函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點．【解答】證明：（1）函數(shù)，，，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，而，存在唯一，使得，當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點，且，，又當(dāng)時，；，在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，在區(qū)間，上存在一個零點，當(dāng)時，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，無零點，②時，，又，當(dāng)時，，無零點，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，函數(shù)有且僅有2個零點．3．已知函數(shù)．求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）在上有且僅有2個零點．【解答】證明：（1）因為，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時，，所以即在上遞減．又，且是連續(xù)函數(shù)，故在上有唯一零點．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在內(nèi)遞增，在上遞減，故在上存在唯一極大值點．（2）因為，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．由（1）知，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又，所以，又的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)內(nèi)時，，在內(nèi)遞減，又因為，且的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)時，，，所以，從而在上沒有零點，綜上，有且僅有兩個零點．4．已知函數(shù)（1）證明：，（2）判斷的零點個數(shù)，并給出證明過程．【解答】解：（1）證明：因為，，，所以為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，，所以，，，所以，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，，所以，即在，為減函數(shù)，故，即，故當(dāng)，時，；（2）①由（1）得：當(dāng)，時，函數(shù)有且只有1個零點為，②當(dāng)，時，，即在，為增函數(shù)，即（3），即函數(shù)在，無零點，③當(dāng)，時，，即函數(shù)為增函數(shù)，又，（3），即存在使得，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，（3），即函數(shù)在，只有1個零點，又函數(shù)在為偶函數(shù)，綜合①②③可得：函數(shù)在，有1個零點，在無零點，在，無零點，故函數(shù)在上有3個零點．5．已知函數(shù)．（1）若，求證：當(dāng)時，；（2）若在上有且僅有1個極值點，求的取值范圍．【解答】解：（1）證明：當(dāng)時，，令，，則，在上單調(diào)遞減，故（1），所以；（2）解：由題知，，．①當(dāng)，時，，此時單調(diào)遞增，無極值點；②當(dāng)，時，設(shè)，則，此時單調(diào)遞增；又（1），，存在唯一的，滿足，即，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，此時單調(diào)遞增，故，故，此時單調(diào)遞增，無極值點；③當(dāng)，時，，，此時單調(diào)遞增，無極值點；綜合①②③知在，上無極值點．又在上有且僅有1個極值點，只能在，上有唯一極值點．令．函數(shù)與函數(shù)，，的圖象只有一個交點，，即，所以的取值范圍為．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在，上的零點個數(shù)．【解答】解：（1），其定義域為，，①當(dāng)時，因為．所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令得．令得．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，，，①當(dāng)時，因為，所以在單調(diào)遞減．所以，斤以在上無零點；②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，且．所以存在，使，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，又因為，所以，所以在上存在一個零點，所以在上有兩個零點．③當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以在上無零點．綜上所述，在上的零點個數(shù)為2．7．（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明函數(shù)在上有且僅有一個極大值點，且．【解答】解：（1）求導(dǎo)，，，因為，，，故，函數(shù)在定義區(qū)間遞增；（2）由，令，當(dāng)，由（1）得，遞減，由，，根據(jù)零點存在性定理，存在唯一零點，，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)，時，，遞減，當(dāng)，時，，所以遞減，故在，為減函數(shù)，所以有唯一的極大值點，由在，遞減，得，又，當(dāng)時，，，故，綜上，命題成立．8．已知函數(shù)，，．（1）證明：關(guān)于的方程在上有且僅有一個實數(shù)根；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的最大值．【解答】解：（1）證明：令，則，所以因此當(dāng)時，，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為所以在無零點，在只有一個零點，因此方程有且僅有一個根（2）方法一：令，則，①若，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立；②當(dāng)，則，因為，所以，從而因此當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，因此，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，在恒成立③當(dāng)時令，因為必有一解，記為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，因此當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以與題意矛盾，綜上，所以的最大值為3．方法二：令，則，令，則，設(shè)，，令，，則，對稱軸，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，恒成立，故的最大值為3．9．已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時，求曲線在點，處的切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數(shù)在，上零點的個數(shù)．【解答】解：（1）時，，，，，，，故切線方程是：；（2），設(shè)，，故遞減，，又時，，①若，即時，使，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)，時，，遞減，在處取極大值，不存在極小值，②若，即，，在，遞增，此時無極值，（3）由（2）可知：若時，由上問可知：，即時函數(shù)沒有零點，若時，，時，遞增，，時，遞減，由得，從而，再設(shè)，則從而關(guān)于遞增，①若，，此時，，若得或，時無零點，得，時有1個零點，當(dāng)時，，，有1個零點，因此時無零點，時有1個零點；②，，此時，，，，，設(shè)，則，故，若即，即時無零點，若即，即時有1個零點，綜上，，，時無零點，，時有1個零點．10．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求零點的個數(shù)；（2）當(dāng)，時，求極值點的個數(shù)．【解答】解：（1）由題意，，，由于，，又，，在，上單調(diào)遞增，，，函數(shù)在，上有唯一零點；（2）由題意，，，則，令，，①當(dāng)時，，，，函數(shù)在，上無極值點，②當(dāng)時，，當(dāng)時，，，在，上遞增，，即，當(dāng)時，，，在，遞增，即，是在，上的極小值點，③當(dāng)時，，，則，無極值點，④當(dāng)時，，，，在，上遞減，且，，在，上有唯一零點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故是函數(shù)的一個極大值點，綜上，函數(shù)存在2個極值點．11．已知函數(shù)，，，．（1）若函數(shù)在處的切線斜率為，求的值；（2）若任意，，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1），，函數(shù)在處的切線斜率為，，解得：；（2）由（1）得：，，，令，解得：或，①當(dāng)時，，在，上，，故，遞減，在，上，，故，遞增，要使任意，，恒成立，即有，解得：