《拋物線》試卷一、拋物線（A）1．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為()A．－2B．2C．－4D．4[答案]D2．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為________．[答案]－eq\f(1,8)3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有()A．|P1F|＋|P2F|＝|FPB．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3C．2|P2F|＝|P1F|＋|PD．|P2F|2＝|P1F|·|P[答案]C4．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若點A、B在拋物線準線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為()A．45° B．60°C．90° D．120°[答案]C5．拋物線y＝－x2上的點，到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是()\f(4,3)\f(7,5)\f(8,5)D．3[答案]A6．已知A、B在拋物線y2＝2px(p>0)上，O為坐標原點，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是()A．x－p＝0 B．4x－3p＝0C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0[答案]C7．拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．[解析]如圖所示，依題意設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則直線方程為y＝－x＋eq\f(1,2)p.設直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p,y2＝2px))，消去y得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.將其代入①得p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x.當拋物線方程設為y2＝－2px時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.二、拋物線（B）1．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若eq\o(FA,\s\up16(→))＋eq\o(FB,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up16(→))|＋|eq\o(FB,\s\up16(→))|＋|eq\o(FC,\s\up16(→))|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B2．如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上。(1)求拋物線E的方程；(2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相較于點Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。（I）設；則得：點關于軸對稱（lfxlby）代入拋物線的方程得：拋物線的方程為（II）設；則過點的切線方程為即令設滿足：及得：對均成立以為直徑的圓恒過軸上定點3．已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關于軸的對稱點為D.（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；（Ⅱ）設，求直線的方程設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，-y1），的方程為x=my-1（m≠0）（Ⅰ）將x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0從而y1+y2=4m，y1y2=1直線BD的方程為：y-y2=即y-y2=令y=0，得x=所以點F（1，0）在直線BD上。（Ⅱ）由①知：x1+x2=（my1-1）（my2-1）=4m2-2x1x2=（my1-1）（my2-1）=1因為=（x1-1，y1），=（x