1第五章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析目錄非周期信號(hào)的頻譜分析—傅立葉變換5-4

信號(hào)的分解5-1周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析5-2周期信號(hào)的頻譜分析5-3典型信號(hào)的傅立葉變換5-5

周期信號(hào)的傅立葉變換5-62目錄連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析5-9傅立葉變換的性質(zhì)5-7功率譜與能量譜5-8無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)5-10理想低通濾波器的響應(yīng)5-113

5-7目錄4信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理5-12調(diào)制與解調(diào)5-13頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用5-14

用時(shí)間作為變量描述信號(hào)我們稱為信號(hào)的時(shí)域表示，顯示信號(hào)隨時(shí)間變換的快慢、出現(xiàn)先后、存在時(shí)間的長(zhǎng)短以及信號(hào)是否按一定的時(shí)間間隔重復(fù)出現(xiàn)等。用頻率作為變量描述信號(hào)稱為頻域描述，揭示了信號(hào)各個(gè)頻率分量的大小，信號(hào)的能量主要集中在哪個(gè)頻率范

圍等特性。信號(hào)的時(shí)域表示和頻域表示是從信號(hào)的兩個(gè)不同方面對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述，在正交函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)時(shí)域信號(hào)的進(jìn)行分解。最常用的分解就是傅立葉分解，也稱為信號(hào)的傅立葉分析。5引言5-1信號(hào)的分解6在時(shí)域系統(tǒng)中任何信號(hào)都可以表示為移位沖激信號(hào)的線性、加權(quán)組合，即沖激信號(hào)的響應(yīng)是單位沖激響應(yīng)若對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)表示成則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為75-1-1信號(hào)的正交分解

和三角函數(shù)，以及復(fù)指數(shù)函數(shù)與也是正交基底函數(shù)，同樣可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。當(dāng)我們選用三角函數(shù),復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基本信號(hào)來(lái)對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行分解,這就是傅立葉頻域分析法.對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解處理的信號(hào)(函數(shù))稱為基底函數(shù).圖5-1二維信號(hào)的正交分解圖5-2三維信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解8設(shè),為兩個(gè)任意信號(hào),如圖所示5-3

(5-3)若設(shè),則誤差函數(shù)在此定義為兩個(gè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù).兩個(gè)任意信號(hào)間的關(guān)系:圖5-3信號(hào)的波形5-1-1信號(hào)的正交分解在對(duì)信號(hào)的分解過(guò)程中，需要遵循信號(hào)能量誤差最小的原則，也就是說(shuō)f

e(t)的均方值應(yīng)該最小。令為誤差函數(shù)的均方值,則9若

C12為零，由上式分母不能為零，成立的條件是：從而求得相關(guān)系數(shù)C12的大小:5-1-1信號(hào)的正交分解此時(shí)，f1(t)、f2(t)稱為互為正交的函數(shù)，表示f1(t)函數(shù)

中不含有

f2(t)的信息或者分量，同理，f2(t)函數(shù)

中不含有f1(t)的

的信息或者分量，反過(guò)來(lái)講，如果兩個(gè)信號(hào)不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能從一個(gè)信號(hào)中抽出另外一個(gè)信號(hào)的分量。我們對(duì)上面的分析重新表述為下列兩式:(5-7)(5-8)

凡是滿足（5-7）與（5-8）兩式的函數(shù)稱為正交函數(shù)，當(dāng)然在復(fù)變函數(shù)中仍然可以討論兩個(gè)函數(shù)之間的正交性，在此不再贅述。10、5-1-1信號(hào)的正交分解信號(hào)的分解是在正交基底函數(shù)下進(jìn)行分解，那么任意信號(hào)f(t)就可以分解為n維正交函數(shù)之和：等式左邊表示原函數(shù)，等式右邊表示近似函數(shù)，

稱為相互正交的基底函數(shù)，上式適用于任何正交函數(shù)集。式中

11

5-1-1信號(hào)的正交分解

表示信號(hào)f(t)與基底函數(shù)間的相關(guān)系數(shù),

是相互獨(dú)立的，互不影響，計(jì)算時(shí)先抽取哪一個(gè)都可以，非正交函數(shù)就無(wú)此特性。

125-1-2完備正交函數(shù)集能使信號(hào)

f(t)進(jìn)行正交分解的基底函數(shù)，并且分解后均方差為零的一組正交基底函數(shù)稱為完備的正交函數(shù)集。一個(gè)信號(hào)可用完備的正交函數(shù)集表示，正交函數(shù)集有許多，如：正弦函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集walsh函數(shù)集……正交函數(shù)集有許多重要的用途，例如進(jìn)行頻譜分析、信道編碼等。

13周期信號(hào)的定義是在（

）區(qū)間，滿足(5-11)最小的

稱為周期信號(hào)

的基波周期，角頻率

稱為

的基波角頻率，稱為的基波頻率,5-2周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分析

14(，

表示一個(gè)固定的常數(shù)，注意符號(hào)與變量的區(qū)別)當(dāng)周期信號(hào)

滿足狄里赫利條件時(shí)，就可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)集或三角函數(shù)集的線性組合來(lái)表示，這種線性組合的表示稱為傅立葉級(jí)數(shù)展開。狄里赫利條件：

在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積；在一個(gè)周期內(nèi)，極大值與極小值數(shù)目為有限個(gè)；在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)的間斷點(diǎn)數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)，工程中所遇到的信號(hào)都滿足狄氏條件。155-2-1指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)分析復(fù)指數(shù)函數(shù)集

是一個(gè)完備的正交基底函數(shù)集，任意滿足狄里赫利條件的信號(hào)

f(t)可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)集進(jìn)行分解，(5-12)（5-12）式稱為周期信號(hào)

的指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。表明周期信號(hào)

可以分解成無(wú)窮多項(xiàng)，不同頻率的指數(shù)函數(shù)的線性組合。16當(dāng)

n<0時(shí)，信號(hào)分解出負(fù)頻率，在現(xiàn)在人們的認(rèn)知范圍不存在負(fù)頻率。

這是因?yàn)?/p>

是一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)，在引入復(fù)數(shù)分解信號(hào)

時(shí)必須出現(xiàn)共軛項(xiàng)才能完整表示信號(hào)

，因此負(fù)頻率在這里只有數(shù)學(xué)含義。式中的稱為傅立葉系數(shù)，又稱為頻譜函數(shù)或復(fù)系數(shù)175-2-1指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)分析從（5-12）中可以看出，周期信號(hào)在復(fù)指數(shù)函數(shù)集上分解的各分量稱為諧波分量。n=0時(shí),稱為直流分量；

時(shí)，頻率取，稱為一次諧波（也稱為基波）；時(shí)，稱為二次諧波;以此類推，可知各次諧波是基波的整數(shù)倍。18對(duì)（5-12）上式兩邊同時(shí)乘以

，然后再一個(gè)周期內(nèi)積分，即19或者寫為式（5-13）式表明，周期信號(hào)

的指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以也可以表示成(5-13)5-2-2三角形傅立葉級(jí)數(shù)通過(guò)歐拉公式得到傅立葉級(jí)數(shù)的正弦形式表達(dá)式若n為之間的整數(shù)，則(5-15)

其中

(5-16)(5-17)(5-18)205-2-2三角形傅立葉級(jí)數(shù)式（5-15）稱為周期信號(hào)的正弦形式的傅立葉展開式也經(jīng)常寫成(5-19)

或(5-20)由歐拉公式可知：(5-21)代入（5-13）式可得(n取間的整數(shù))21

5-2-2三角形傅立葉級(jí)數(shù)

(5-22)

（n取

之間的整數(shù)）通過(guò)比較可以得到指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)與三角形式的傅里葉系數(shù)有以下關(guān)系：225-2-2三角形傅立葉級(jí)數(shù)235-2-3信號(hào)的對(duì)稱性與傅立葉級(jí)數(shù)的關(guān)系

周期信號(hào)的對(duì)稱性大致分為兩類，一類是整個(gè)周期對(duì)稱，如奇函數(shù)或偶函數(shù)。另一類對(duì)稱性是半波對(duì)稱，即波形前半周期與后半周期是否相同或形成鏡像關(guān)系。1、偶函數(shù)如果實(shí)周期信號(hào)

，若滿足

關(guān)系，則

是關(guān)于時(shí)間

t的偶函數(shù)，其波形是關(guān)于縱軸對(duì)稱，例如圖5-4所示。

24圖5-4偶函數(shù)顯然，

不一定為零

2奇函數(shù)如果實(shí)周期信號(hào)

，若滿足

關(guān)系，則

是關(guān)于時(shí)間

t的奇函數(shù)，其波形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形。

25例如圖5-5所示,

根據(jù)式（5-16）、（5-17）可知26圖5-5奇函數(shù)奇函數(shù)的三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)只有正弦分量，其頻譜函數(shù)

是虛函數(shù)。3半波鏡像函數(shù)如果實(shí)周期信號(hào)

，若滿足

關(guān)系則稱

是半波鏡像函數(shù)，

27信號(hào)

不論是左移還是右移半個(gè)周期后再關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱，得到信號(hào)，那么

與原信號(hào)重合。

半波鏡像周期信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)只有奇次諧波分量，而無(wú)直流分量和偶次諧波分量。28的傅立葉級(jí)數(shù)的偶次諧波為零,即4半波重疊函數(shù)如果實(shí)周期信號(hào)，若滿足關(guān)系，則稱

為半波對(duì)稱函數(shù)。

從圖中可以看出對(duì)信號(hào)，原波形向前或向后移動(dòng)半個(gè)周期，得

，并且與原波形重合。對(duì)

進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開，即：29圖5-7半波重疊信號(hào)半波重疊周期信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的奇次諧波項(xiàng)為零，只有偶次諧波分量。30

5-3周期信號(hào)的頻譜分析

5-3-1頻譜的概念頻譜就是信號(hào)中包含的所有頻率成分的大小。信號(hào)分解為振幅不同和頻率不同的正弦信號(hào)，這些正弦信號(hào)的幅值按頻率排列的分布曲線，叫做頻譜。如果把

對(duì)

的關(guān)系繪成如圖5-8（a）所示的線圖，就可以清楚直觀地看出各頻率分量的相對(duì)大小，這種圖稱為信號(hào)的幅度頻譜，簡(jiǎn)稱為幅度譜。圖中的每條線代表某一頻率分量的幅度，成為譜線。連續(xù)各譜線頂點(diǎn)的虛線稱為包絡(luò)線，它反映了各分量幅度變化的情況。31似還可以畫出相位

對(duì)頻率

的線圖，稱為相位頻譜，或簡(jiǎn)稱為相位譜，如圖5-8（b）所示。幅度譜和相位譜統(tǒng)稱為信號(hào)的頻譜圖。32(a)幅度譜（b)相位譜周期信號(hào)的頻譜只會(huì)出現(xiàn)在0，

等離散頻率點(diǎn)，這種譜線稱為離散譜.5-3-2周期信號(hào)的頻譜特征指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜圖

那么可以畫出幅度

間的關(guān)系，也可畫出

間的關(guān)系，如圖5-9所示。33

圖5-9周期信號(hào)指數(shù)形式的頻譜圖幅度譜相位譜從圖5-9可以看出，對(duì)于指數(shù)函數(shù)的譜系數(shù)，的幅度譜

為偶對(duì)稱，而

的相位譜

為奇對(duì)稱。信號(hào)的頻譜清晰地描述了信號(hào)中的頻率成分，即構(gòu)成信號(hào)的各諧波分量的幅度和相位。頻譜提供了另一種描述信號(hào)的方法，即信號(hào)的頻域描述。信號(hào)的時(shí)域和頻域描述從不同的角度展現(xiàn)了信號(hào)的特征。34【例題5-1】已知周期性矩形脈沖號(hào)

，如圖5-10所示，試求

的傅立葉級(jí)數(shù)展開形式，并畫出頻譜圖。35圖5-10例題5-1的信號(hào)解：周期矩形脈沖信號(hào)進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開，既可以展開成指數(shù)形式，也可以展開成三角函數(shù)形式，下面就兩種形式分別展開。1）先求展開成指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)，為求展開式，先求譜系數(shù)

。36則

的傅立葉級(jí)數(shù)展開形式頻譜圖：畫出和相位譜

，如圖5-11所示。(a)37從上述分析我們可以看到（1）周期信號(hào)

是時(shí)域表達(dá)式，

是變量，頻譜函數(shù)

是周期信號(hào)在頻域中的表達(dá)式，

是變量；（2）周期信號(hào)

是連續(xù)信號(hào)，但它的頻譜函數(shù)

是離散的，只存在于頻率為0，這些離散點(diǎn)上。

385-3-2周期信號(hào)的頻譜特性（3）頻譜函數(shù)

的幅度具有收斂性，隨著頻率增加，

逐漸減小；（4）指數(shù)形式的頻譜圖是雙邊譜，幅度譜

是偶函數(shù)，相位譜

是奇函數(shù)。（5）

與

具有唯一對(duì)應(yīng)性，

包含了信號(hào)

的全部信息。下面求三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)與頻譜根據(jù)三角形式傅立葉級(jí)數(shù)展開形式去掉直流分量

，則

為奇函數(shù)，如圖5-12所示395-3-2周期信號(hào)的頻譜特性所以

40圖5-12去掉直流分量的周期信號(hào)5-3-2周期信號(hào)的頻譜特性

三角形式傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜圖，如圖5-13所示。

41將（1）式化為（1）5-3-2周期函數(shù)的頻譜特性

從三角形式的頻譜圖可以看到：（1）周期信號(hào)

三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)是頻譜圖仍然具有離散性，（2）幅度

具有收斂性，隨

增大而減小。42（a)幅度譜(b)相位譜5-3-2周期信號(hào)的頻譜特性（3）三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜是單邊譜；（4）比較三角形式與指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜，可以看到，三角形式幅度譜線的高度是指數(shù)形式幅度譜線高度的二倍，（注意：n=0除外），也就是說(shuō)把負(fù)頻率上的譜線與正頻率上的譜線加起來(lái)，即是

的譜線。435-3-3信號(hào)的有效帶寬分析周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜。則其指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)44

圖5-14周期矩形脈沖信號(hào)5-3-3信號(hào)的有效帶寬因?yàn)橹芷诰匦蚊}沖信號(hào)是偶函數(shù)，所以求出的譜系數(shù)

是實(shí)函數(shù)。對(duì)于實(shí)函數(shù)，當(dāng)

，其諧波分量的相位為零；當(dāng)相位為，如圖5-15所示。因此可以將其幅度譜和相位譜畫在同一張圖中。如圖5-16所示。（注意：只有在傅里葉級(jí)數(shù)是實(shí)函數(shù)時(shí)，才可以這樣畫。45在一般情況下，如果是復(fù)函數(shù)，則必須分別畫出幅度譜和相位譜兩張圖）5-3-3信號(hào)的有效帶寬46圖5-15周期矩形脈沖信號(hào)的幅度譜和相位譜

5-3-3信號(hào)的有效帶寬從周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖中我們可以看出幅度譜的包絡(luò)線是

函數(shù)波形。最大值出現(xiàn)在時(shí)，為

頻率間隔為頻譜包絡(luò)線在當(dāng)

時(shí)，曲線通過(guò)零點(diǎn)。

47。5-3-3信號(hào)的有效帶寬其中第一個(gè)零點(diǎn)在

。在區(qū)間，信號(hào)包含了90%的能量（具體推導(dǎo)見例題5-2）。超過(guò)第一個(gè)零點(diǎn)，則諧波的幅度衰減得很快。因此對(duì)于矩形脈沖信號(hào)，我們將包含主要諧波分量的

這段頻率范圍稱為其有效頻帶寬度（簡(jiǎn)稱帶寬），以符號(hào)

（單位rad/s）或者

（單位Hz）表示，即有

48從式（5-24）中可以看出，信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域持續(xù)時(shí)間

成反比。

即

越大，帶寬

越窄；

越小，帶寬

越寬。對(duì)于一般周期信號(hào)，將其幅度譜中幅度下降為的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。語(yǔ)音信號(hào)的有效頻率為300~3400Hz，它屬于低頻信號(hào)。

495-3-4平均功率(1)周期信號(hào)的平均功率與譜系數(shù)

的關(guān)系周期信號(hào)的平均功率為

由于周期信號(hào)

的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為

將其代入周期信號(hào)的功率計(jì)算式，有505-3-4平均功率

51（5-25）交換求和與積分的次序，得（5-25）式也稱為帕斯瓦爾定理。表示信號(hào)中所包含所有頻率成分的功率，與頻譜類似，但是橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是功率。顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。從周期信號(hào)的功率譜中不僅可以看到各個(gè)功率分布的情況，而且同樣可以確定周期信號(hào)的有效帶寬。52分布的特性曲線稱為周期信號(hào)的功率譜。(2)周期信號(hào)的平均功率與三角形式的傅里葉系數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的平均功率為

由于周期信號(hào)

f(t)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為53代入平均功率的計(jì)算式中，有5-3-4平均功率54交換積分和求和次序，由于三角函數(shù)的正交性，5-3-4平均功率55由上式可以看出，周期信號(hào)的平均功率等于傅立葉級(jí)數(shù)展開式各諧波分量有效值的平方和。從另一個(gè)方面也反映出時(shí)域和頻域功率守恒。和所以【例題5-2】圖5-17所示的周期矩形脈沖信號(hào)，已知

，計(jì)算信號(hào)的總功率，以及前5次諧波的功率之和。

解：信號(hào)的總功率

周期信號(hào)的譜系數(shù)

56圖5-17例題5-2的信號(hào)

,所以

rad/s。而第一個(gè)零值點(diǎn)。即在0到第一個(gè)零值點(diǎn)之間含有5次諧波。5-3-4平均功率57同理可得585-3-4平均功率前5次諧波得59通過(guò)計(jì)算我們驗(yàn)證了在信號(hào)的有效帶寬（

）內(nèi)含有信號(hào)的絕大部分能量。有效帶寬外信號(hào)的能量迅速衰減，在工程上可以忽略。

5-4非周期信號(hào)的頻譜分析—傅立葉變換當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于

時(shí)，周期信號(hào)就轉(zhuǎn)變?yōu)榱朔侵芷谛盘?hào)，設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)

f(t)（其中角標(biāo)T為周期信號(hào)的表示，以期區(qū)別與非周期信號(hào)的表示），如圖5-11所示。60

圖5-18周期矩形脈沖信號(hào)5-4非周期信號(hào)的頻譜分析—傅立葉變換

為周期，脈寬為，基頻為

，用指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)展開可得

61（5-27）5-4非周期信號(hào)的頻譜分析—傅立葉變換

由（5-27）式可知，當(dāng)

變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)

時(shí)，周期T趨于無(wú)窮大，此時(shí)

趨于零，

趨于無(wú)窮小，也就是說(shuō)隨著T的增大，譜線幅度越來(lái)越小，譜線也間隔越來(lái)越小。當(dāng)

時(shí)，譜線幅度無(wú)窮小，離散的頻譜將變成連續(xù)譜，這時(shí)無(wú)法用傅立葉級(jí)數(shù)展開對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，但是譜線幅度仍然具有相對(duì)大小的特性，為了分析非周期信號(hào)的頻譜，下面引入傅立葉變換。62假設(shè)有周期信號(hào)

，其周期為T，頻率

，則譜系數(shù)則展開成級(jí)數(shù)有63

當(dāng)周期

，周期信號(hào)演變成非周期信號(hào)

,譜線間隔

，即離散譜變成連續(xù)譜，原來(lái)的離散量

演變成連續(xù)量

。

離散求和

運(yùn)算變成連續(xù)積分

運(yùn)算，即64式（5-28）（5-29）是一對(duì)傅立葉變換對(duì)，式（5-28）稱為非周期信號(hào)

的傅立葉正變換或稱為頻譜密度函數(shù).（5-28）（5-29）傅里葉正變換

傅里葉反變換65也可表示為式（5-28）表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)窮多個(gè)虛指數(shù)函數(shù)

之和，指數(shù)分量的諧系數(shù)振幅是一個(gè)無(wú)窮小量——，它占據(jù)了從

到

的整個(gè)頻域。5-4-2非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的傅立葉變換還可以寫為：（5-30）66定義則顯然，

是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部

是頻率

的偶函數(shù)，虛部

是頻率

的奇函數(shù)。幅度頻譜

相位頻譜

67幅模

表示了信號(hào)

的各頻率分量的比例關(guān)系，稱

的關(guān)系為幅度頻譜，如圖5-19(a)所示。幅角

表示了信號(hào)

的各頻率分量的初相角，稱

的關(guān)系為相位頻譜，如圖5-19（b）所示。根據(jù)信號(hào)

的奇偶性，還可以寫出頻譜函數(shù)

的特殊形式。

若

是偶函數(shù)，則

只含有實(shí)部，若

是奇函數(shù)，則

只含有虛部

68另外，利用

與

的關(guān)系，還可以把

寫成5-4-2非周期信號(hào)的頻譜

上式說(shuō)明非周期信號(hào)也可以分解成無(wú)限多個(gè)，無(wú)窮小量不同頻率的正弦信號(hào)之和。各頻率分量的振幅為它占據(jù)了從0到

的頻率范圍，從各分量的振幅總可以看出是單位頻率上的幅度，所以頻譜函數(shù)

又稱為頻譜密度函數(shù)。695-4-3傅立葉變換存在的條件

當(dāng)信號(hào)

在無(wú)限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積的條件時(shí)，則它的傅立葉變換

存在，則(5-32)這是傅立葉變換存在的充分條件，而不是必要條件，因?yàn)橛行┎粷M足絕對(duì)可積條件的信號(hào)，但當(dāng)引入了沖激函數(shù)

之后，就可以大大地?cái)U(kuò)展傅立葉變換的范圍。705-5典型信號(hào)的傅立葉變換

1單個(gè)門函數(shù)圖5-20中的門函數(shù)，

圖5-20單個(gè)門函數(shù)其幅度為A，寬度為

，

，則

715-5典型信號(hào)的傅立葉變換

（5-33）式（5-32）表明單個(gè)門函數(shù)的傅立葉變換是一個(gè)抽樣函數(shù)。當(dāng)

時(shí)，

。取

，

的第一個(gè)零點(diǎn)的頻率為

，定義

（或者

）之間的頻率范圍稱為信號(hào)寬度。725-5典型信號(hào)的傅立葉變換

（5-34）式（5-33）式表明，信號(hào)在時(shí)域中越窄，信號(hào)帶寬越寬；反之，

越小，帶寬越窄。非周期信號(hào)

是一個(gè)偶函數(shù)，其傅立葉變換

是

的實(shí)函數(shù)，所以頻譜函數(shù)

的幅度頻譜

和相位頻譜

可以畫在同一個(gè)圖上，如圖5-14所示。735-5典型信號(hào)的傅立葉變換當(dāng)然，也可以分別畫在兩個(gè)圖上，即幅度譜

和相位譜

，如圖5-22所示。

74

圖5-21矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖圖5-22幅度譜

相位譜5-5典型信號(hào)的傅立葉變換2單邊e指數(shù)函數(shù)如圖5-23所示，它的傅立葉變換為即（5-35）可進(jìn)一步表示為

75

其中幅度頻譜76相位頻譜5-5典型信號(hào)的傅立葉變換

3單位沖激信號(hào)

單位沖激信號(hào)

的傅立葉變換77即5-5典型信號(hào)的傅立葉變換

4直流信號(hào)直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，所以不能用傅立葉積分式求其傅立葉變換。但是頻譜函數(shù)引入沖激信號(hào)

之后，這些信號(hào)的頻譜存在。頻譜函數(shù)為

的原函數(shù)是時(shí)域中的一個(gè)直流信號(hào)，即所以或?qū)懗蓜t直流信號(hào)A的傅立葉變換為785-5典型信號(hào)的傅立葉變換直流信號(hào)及其頻譜函數(shù)，如圖5-25所示。

795符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)的定義式為80上式還可以用指數(shù)函數(shù)的極限來(lái)定義，如圖5-26所示對(duì)上式取傅立葉變換得

5-5典型信號(hào)的傅立葉變換81即

（5-39）正負(fù)號(hào)函數(shù)及其頻譜如圖5-27所示。圖5-275-5典型信號(hào)的傅立葉變換6單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)

同樣不滿足絕對(duì)可積條件，因此我們可以寫成直流與負(fù)號(hào)函數(shù)的線性組合其傅立葉變換為

（5-40）82即5-5典型信號(hào)的傅立葉變換階躍信號(hào)及其頻譜如圖5-28所示。

圖5-28835-6周期信號(hào)的傅立葉變換1.正弦型信號(hào)的傅里葉變換利用歐拉公式下面我們利用定義式求

的傅里葉變換所以，其頻譜、相位譜分別如圖5-29（a）、（b）所示845-6周期信號(hào)的傅立葉變換

圖5-29（a）幅度譜

（b）相位譜855-6周期信號(hào)的傅立葉變換2.一般周期信號(hào)

則周期信號(hào)

為對(duì)上式取傅立葉變換得交換運(yùn)算順序86設(shè)周期信號(hào)一般周期信號(hào)，基頻

，其復(fù)系數(shù)（5-41）5-6周期信號(hào)的傅立葉變換利用定義式計(jì)算得所以

也就是周期信號(hào)的傅立葉變換為

（5-42）從（5-42）式可清楚地看出：周期信號(hào)的頻譜函數(shù)是離散的，但是它不同于傅立葉級(jí)數(shù)。單個(gè)脈沖的傅立葉變換與周期性脈沖信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系。從周期信號(hào)

中取一個(gè)周期的信號(hào)稱單個(gè)875-6周期信號(hào)的傅立葉變換脈沖信號(hào)

，其傅立葉變換為（5-43）比較（5-41）與（5-43）兩式，可得到關(guān)系式

（5-44）88上式表明：若求周期信號(hào)的復(fù)系數(shù)

，可先求單個(gè)脈沖的傅立葉變換

，然后將其變換式中的

用

替代，再乘以

即可。【例題5-3】：如圖5-32（a）所示，求周期沖激序列

的傅里葉變換。89圖5-32（a）沖激序列解：已知

的傅里葉變換為

，根據(jù)（5-43）可知：90沖激序列的傅里葉變換頻譜如圖5-31（b）所示91

【例題5-4】如圖5-31所示，求矩形脈沖序列的傅里葉變換解：已知單個(gè)矩形脈沖的傅里葉變換5-6周期信號(hào)的傅立葉變換根據(jù)（5-42）式可知：925-7傅立葉變換的性質(zhì)

傅立葉變換的性質(zhì)1線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算，因此它的線性特性表示為若

則

（5-45）上式表明，兩個(gè)時(shí)間信號(hào)的線性組合，其頻譜函數(shù)等于兩個(gè)時(shí)間信號(hào)的頻譜函數(shù)的線性組合。在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，這個(gè)性質(zhì)是顯而易見的。（5-44）式可以推廣到多個(gè)信號(hào)的線性組合。935-7傅立葉變換的性質(zhì)2、共軛對(duì)稱特性若

則

證明：由于

945-7傅立葉變換的性質(zhì)顯然

95為偶函數(shù)為奇函數(shù)根據(jù)定義，有5-7傅立葉變換的性質(zhì)3互易對(duì)稱性若

則

（5-49）證明：根據(jù)傅立葉反變換式，965-7傅立葉變換的性質(zhì)用

-t置換式中的t

，則變?yōu)樵賹⑸鲜街械?/p>

與

t

互換，即用

置換

t

，則上式變?yōu)榛蛘邔懗?/p>

在上一節(jié)中我們研究直流信號(hào)與沖激信號(hào)的頻譜函數(shù)時(shí)，已經(jīng)看到了這種對(duì)稱性，如圖5-22所示即975-7傅立葉變換的性質(zhì)

圖5-32傅里葉的對(duì)稱性從圖5-32也清楚地表明了單個(gè)門函數(shù)抽樣函數(shù)的對(duì)稱性。985-7傅立葉變換的性質(zhì)

99圖5-33門函數(shù)與抽樣函數(shù)的對(duì)稱特性5-7傅立葉變換的性質(zhì)對(duì)于偶函數(shù)有

，，

100所以通過(guò)對(duì)稱性，我們可以求出函數(shù)的頻譜函數(shù)

，是一個(gè)矩形的頻譜。5-7傅立葉變換的性質(zhì)【例題5-5】求信號(hào)

的傅里葉變換。解：符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換

則利用傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)，把符號(hào)函數(shù)的頻譜

再將符號(hào)函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式中的變量

，則有它的幅度譜和相位譜如圖5-34所示。1015-7傅立葉變換的性質(zhì)102圖5-34信號(hào)的幅度譜和相位譜圖5-7傅立葉變換的性質(zhì)4尺度變換若

則

，a為實(shí)常數(shù)

（5-50）證明：

假設(shè)

的變換式為103令

對(duì)上式進(jìn)行變量置換，得5-7傅立葉變換的性質(zhì)若

，用同樣的方法可以很容易證明

綜合以上兩種情況，即證明了式（5-47）。式（5-47）表明，信號(hào)在時(shí)域中持續(xù)的時(shí)間與在頻域中占有的頻寬成反比。也就是說(shuō)，信號(hào)在時(shí)域內(nèi)有線性標(biāo)度因子a的變換，相應(yīng)它在頻域內(nèi)則有線性因子

的變換，1045-7傅立葉變換的性質(zhì)其幅度則應(yīng)乘以因子1/a。在通訊中，為了加快通訊速度，就得壓縮信號(hào)占有的時(shí)間，這樣信號(hào)占有的頻帶寬度就得加寬，所以通訊設(shè)備必須有足夠的寬帶，才能保證信號(hào)傳輸不失真。因此，通訊速度與頻寬這一對(duì)矛盾必須兼顧考慮，這是通訊系統(tǒng)分析中的一個(gè)重要問(wèn)題。

1051065-7傅立葉變換的性質(zhì)假若有一信號(hào)

，且存在頻譜函數(shù)

，并滿足

，

，即信號(hào)與其頻譜函數(shù)都是衰減的函數(shù)。的傅立葉變換式為107上式表明，

等于時(shí)間信號(hào)曲線下面的面積值，

則（5-51）108同樣，

的逆變換式為則

上式表明，頻譜函數(shù)

曲線下的面積值等于

（5-52）5-7傅立葉變換的性質(zhì)若令

為時(shí)間信號(hào)

的等效寬度，

為頻譜函數(shù)

的等效寬度，則信號(hào)

曲線下的面積等效為

，而頻譜函數(shù)

曲線下的面積等效為

，如圖5-36所示（5-35）（5-36）式也可寫為109

圖5-36的等效寬度

與

的等效帶寬

5-7傅立葉變換的性質(zhì)110由此可以得到一個(gè)重要的公式（5-53）（5-53）式進(jìn)一步闡明了信號(hào)的等效寬度

與所占有的等效帶寬的反比關(guān)系。

5時(shí)移特性若則

（5-54）證明

對(duì)時(shí)移信號(hào)

進(jìn)行傅立葉變換，111令

，進(jìn)行變量置換，則5-7傅立葉變換的性質(zhì)112

時(shí)移特性還可以表示為上式說(shuō)明了信號(hào)在時(shí)間軸上時(shí)移

（

或）

并沒(méi)有改變它的幅度頻譜，只是在相位頻譜中引入了相移

。5-7傅立葉變換的性質(zhì)113

【例題5-6】求圖中三脈沖信號(hào)的頻譜

解：取中間的

為矩形脈沖信號(hào)則其頻譜函數(shù)為因?yàn)?/p>

114則，根據(jù)時(shí)移性質(zhì)有5-7傅立葉變換的性質(zhì)6頻移特性若

則

證明因?yàn)?/p>

1155-7傅立葉變換的性質(zhì)

圖5-39頻譜搬移性質(zhì)頻移特性是傅里葉變換的一個(gè)重要的性質(zhì)，它表明信號(hào)在時(shí)域中乘上一個(gè)因子

，它的頻譜函數(shù)沿頻率軸向右移動(dòng)

，這種頻譜搬移技術(shù)，在通訊系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，它是調(diào)制、解調(diào)和變頻等技術(shù)的理論基礎(chǔ)。1165-7傅立葉變換的性質(zhì)7卷積定理（1）時(shí)間卷積定理若則證明

若

，對(duì)其等式兩邊取傅立葉變換交換積分順序

1175-7傅立葉變換的性質(zhì)也就是

時(shí)域內(nèi)的卷積對(duì)應(yīng)在頻域內(nèi)是相乘，這個(gè)性質(zhì)是傅立葉變換中最重要的性質(zhì)之一，在分析LTI系統(tǒng)中有著重要的意義，它是濾波技術(shù)的理論基礎(chǔ)。1185-7傅立葉變換的性質(zhì)（2）頻域卷積定理若

則其證明方法與時(shí)間卷積定理的證明過(guò)程類同，讀者可自行證明，這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明兩個(gè)時(shí)間信號(hào)乘積的頻譜等于各個(gè)信號(hào)的頻譜函數(shù)卷積再乘以

。一個(gè)信號(hào)乘另一個(gè)信號(hào)，可以看作是一個(gè)信號(hào)調(diào)制另一個(gè)信號(hào)的振幅，因此稱為幅度調(diào)制，這個(gè)性質(zhì)是通信系統(tǒng)中調(diào)制理論的基礎(chǔ)，關(guān)于調(diào)制的概念在后面將專門分析。1198時(shí)間微分和時(shí)間積分（1）時(shí)間微分性質(zhì)若

，則推廣到n階導(dǎo)數(shù)，可有1205-7傅立葉變換的性質(zhì)證明由傅立葉逆變換式121將等式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，則有由此可以看出

和

是一對(duì)傅立葉變換對(duì)。5-7傅立葉變換的性質(zhì)【例題5-7】求沖激偶

的頻譜函數(shù)解：

首先我們用定義式求沖激偶

的頻譜函數(shù)1225-7傅立葉變換的性質(zhì)用微分性質(zhì)求沖激偶

的頻譜函數(shù)

因?yàn)樗裕?）時(shí)間積分性質(zhì)若

，則

123證明時(shí)間信號(hào)

的積分可以看作是

與階躍信號(hào)

的卷積，即124利用時(shí)間卷積定理，則其中5-7傅立葉變換的性質(zhì)（3）利用微分和積分性質(zhì)計(jì)算傅立葉變換對(duì)于分段定義的信號(hào)，若通過(guò)定義式很難計(jì)算出頻譜函數(shù)。但是若經(jīng)過(guò)微分可以出現(xiàn)沖激函數(shù)或者出現(xiàn)原信號(hào)和沖激函數(shù)，則應(yīng)用微分性質(zhì)計(jì)算頻譜函數(shù)，十分方便。因?yàn)?/p>

，則1255-7傅立葉變換的性質(zhì)【例題5-8】求如圖5-40所示三角函數(shù)的頻譜解：

，如圖5-41所示

1265-40三角函數(shù)

圖5-415-7傅立葉變換的性質(zhì)

如圖

5-42所示127

圖

5-42可見，二次微分函數(shù)的頻譜函數(shù)是很容易求出來(lái)5-7傅立葉變換的性質(zhì)有因?yàn)?/p>

128

5-7傅立葉變換的性質(zhì)129其頻譜函數(shù)如圖5-34所示圖5-43【例題5-9】求下圖5-44所示區(qū)間正弦波的頻譜函數(shù)130解：分別求出

的

和

如圖5-45所示圖5-44圖5-455-7傅立葉變換的性質(zhì)1315-7傅立葉變換的性質(zhì)(4)若信號(hào)

含有確定的直流信號(hào)（恒定分量）,

即

（常數(shù)）

132證明：若對(duì)

的微分信號(hào)

求積分,可以看作是與

的卷積其傅立葉變換為5-7傅立葉變換的性質(zhì)133因?yàn)轱@然有等式5-7傅立葉變換的性質(zhì)其中

整理可得

可以推廣到n階導(dǎo)數(shù)

上式是一個(gè)很有用的公式，因此對(duì)于含有恒定分量的信號(hào)，現(xiàn)在可以直接求傅立葉變換。

1345-7傅立葉變換的性質(zhì)9、頻域微分性質(zhì)若

，則

（5-64）證明對(duì)傅立葉變換式

求導(dǎo)數(shù)1355-7傅立葉變換的性質(zhì)比較傅立葉變換定義式可知：

與是一對(duì)傅立葉變換對(duì)【例題5-10】求

解：136即5-8功率譜與能量譜5-8-1能量信號(hào)與功率信號(hào)1、能量信號(hào)設(shè)信號(hào)

（電壓或電流）

在單位電阻上的瞬時(shí)功率

為

，在

區(qū)間的能量為由此定義能量信號(hào)：在時(shí)間區(qū)間

的信號(hào)能量E滿足

當(dāng)為實(shí)函數(shù)時(shí)，可寫為137（5-74）（5-75）5-8功率譜與能量譜2、功率信號(hào)定義功率信號(hào)：在時(shí)間區(qū)間信號(hào)的平均功率P滿足

（5-76）138式（5-75）至（5-77）式說(shuō)明了：（1）因能量信號(hào)的E有限，故平均功率P=0；（2）因功率信號(hào)的P有限，故能量。對(duì)于實(shí)函數(shù)，可寫為（5-77）由于大多數(shù)周期信號(hào)是功率信號(hào)，故計(jì)算周期信號(hào)的平均功率P，只要在一個(gè)周期T內(nèi)進(jìn)行即可，簡(jiǎn)單寫為1395-8功率譜與能量譜【例題5-11】判斷下面的信號(hào)

是功率信號(hào)還是能量信號(hào)。

圖5-46例題5-11圖解：140

5-8功率譜與能量譜因?yàn)樾盘?hào)

的功率滿足

，但是其能量

所以信號(hào)

為功率信號(hào)。總結(jié)：一般周期信號(hào)為功率信號(hào)；非周期信號(hào)，在有限區(qū)間有值，為能量信號(hào)；還有一些非周期信號(hào)，也是非能量信號(hào)，如階躍信號(hào)

是功率信號(hào)，而

為非功率信號(hào)，非能量信號(hào)。1415-8功率譜與能量譜5-8-2能量譜在時(shí)域中計(jì)算能量信號(hào)

的能量為

142令

，則上式可以很簡(jiǎn)潔的表示為也就是

的傅立葉變換為若

,利用頻域卷積定理，則有

稱為能量密度譜，表示單位帶寬的信號(hào)能量，則式（5-80）可以寫成143（5-80）令式（5-72）式稱為非周期信號(hào)的帕色瓦能量等式（帕色瓦定理）。它表明：

在時(shí)域中計(jì)算信號(hào)

的能量必須等于在頻域中計(jì)算

的能量；

信號(hào)的能量隨頻率的分布只與頻譜函數(shù)

的幅度譜

有關(guān)，與相位譜無(wú)關(guān)。1445-8-3功率譜假設(shè)存在一個(gè)功率有限的隨機(jī)信號(hào)

，如圖5-47所示。145截尾函數(shù)5-8功率譜與能量譜當(dāng)截取的長(zhǎng)度T為有限值時(shí)，很明顯為能量有限信號(hào)

截尾信號(hào)的能量：對(duì)于隨機(jī)信號(hào)

可知其功率為

146當(dāng)

的極限存在時(shí)，我們定義為功率密度譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱功率譜5-8功率譜與能量譜功率譜的物理意義:單位頻帶內(nèi)的信號(hào)功率歲頻率的變化規(guī)律。

反映了信號(hào)功率在頻域內(nèi)的分布情況。

功率譜函數(shù)是偶函數(shù)。

它的曲線所覆蓋的面積數(shù)值為信號(hào)總功率的大小，它保留了信號(hào)幅度信息而丟掉了相位信息，所以有相同幅度譜的信號(hào)，不論它們的相位譜是否相同，都有相同的功率譜。1475-9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析5-9-1系統(tǒng)函數(shù)在時(shí)域中用沖激響應(yīng)

表征系統(tǒng)自身的固有特性，激勵(lì)

與沖激響應(yīng)和系統(tǒng)響應(yīng)

之間的關(guān)系為若令

，

，

則

由卷積定理可得到

式中

稱為系統(tǒng)函數(shù)，或稱為傳輸函數(shù)。1485-9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)

的頻譜的修改或過(guò)濾取決于系統(tǒng)函數(shù)

，改變了包含在輸入信號(hào)中的各頻率分量（振幅和相位兩個(gè)方面）的相對(duì)比例，也就是

對(duì)輸入信號(hào)

的各種頻率分量加權(quán)。系統(tǒng)函數(shù)的另一種表達(dá)式

說(shuō)明了系統(tǒng)函數(shù)只取決于零狀態(tài)響應(yīng)變換式

與激勵(lì)信號(hào)變換式

的比值，與激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。1495-9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)函數(shù)

是

的復(fù)函數(shù)，可以表示為

式中

稱幅頻特性，是

的偶函數(shù)；

稱相頻特性，是

的奇函數(shù)。1505-9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

當(dāng)給定激勵(lì)

，則系統(tǒng)的響應(yīng)為

（5-87）式中：

為激勵(lì)的幅度頻譜；為激勵(lì)的相位頻譜；為響應(yīng)的幅度頻譜；為響應(yīng)的相位頻譜。1515-9連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析則時(shí)間函數(shù)應(yīng)該指出，在頻域分析中，求逆變換積分運(yùn)算是較麻煩的，所以研究系統(tǒng)的頻域分析，主要目的不是用來(lái)求時(shí)域解，而使通過(guò)對(duì)系統(tǒng)性能的分析，研究如何對(duì)激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行加工處理，來(lái)改變其頻譜結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步研究系統(tǒng)，綜合系統(tǒng)，設(shè)計(jì)利用系統(tǒng)。1525-10無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斒窍到y(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)

的響應(yīng)

滿足條件

（5-88）上式說(shuō)明：無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號(hào)

與輸入信號(hào)波形完全相同，大小只差比例系數(shù)K，出現(xiàn)的時(shí)間延時(shí)了常數(shù)

。式中：K為增益系數(shù)，

為延遲時(shí)間。如圖5-49所示153

圖5-49無(wú)失真?zhèn)鬏?-10無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

對(duì)（5-88）取傅立葉變換得式中上式是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。由此可知，系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件為系統(tǒng)函數(shù)的幅頻特性

系統(tǒng)函數(shù)的相頻特性

154155

圖5-50無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻譜圖其幅頻特性是常數(shù)K，與頻率無(wú)關(guān)，稱幅度不失真,其相頻特性與頻率

成正比，

是過(guò)原點(diǎn)的一條直線，稱相位不失真。輸入的信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)輸出后的相頻特性與頻率

不成正比，如圖5-51所示的系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)波形與輸入波形相比，產(chǎn)生了的失真。156圖5-51不同的輸入對(duì)應(yīng)不同輸出5-11理想低通濾波器的響應(yīng)

5-11-1理想低通濾波器的沖激響應(yīng)理想低通濾波器是實(shí)際低通濾波器的理想模型，這種濾波器把高于特定頻率

（稱截至頻率）的頻率成分全部濾掉而低于截止頻率的頻率成分加權(quán)一個(gè)常數(shù)后，全部予以輸出，由此，理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（5-91）圖5-52示出了理想低通濾波器的頻譜特性。1575-11理想低通濾波器的響應(yīng)

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：158

圖5-52

理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)5-11理想低通濾波器的響應(yīng)

波形如圖5-53所示。

159圖5-53理想低通濾波器的激勵(lì)與響應(yīng)圖該式說(shuō)明了理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

是一個(gè)峰值位于

時(shí)刻的抽樣函數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)

與激勵(lì)

相比，響應(yīng)信號(hào)

產(chǎn)生了嚴(yán)重的失真。這是由于理想低通濾波器的有限帶寬把激勵(lì)信號(hào)

的無(wú)限帶寬中高于截止頻率

的頻率成分全部濾掉的緣故。沖激響應(yīng)峰值

與截止頻率

成正比，波形主瓣持續(xù)時(shí)間為

，與截止頻率

成反比。當(dāng)截止頻率

時(shí)，濾波器就成了一個(gè)全通濾波器（無(wú)失真系統(tǒng)），峰值出現(xiàn)的時(shí)刻

，趨于原點(diǎn)，輸出的峰值為

，趨近于沖激信號(hào)。160圖5-53還表示了理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，系統(tǒng)地激勵(lì)信號(hào)

是在

時(shí)刻加入的，但是在

區(qū)間，響應(yīng)已出現(xiàn)，即

，響應(yīng)出現(xiàn)在先于激勵(lì)之前，這在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。理想低通濾波器是可實(shí)現(xiàn)濾波器的理想模型，可實(shí)現(xiàn)低通濾波器是對(duì)理想模型的修正，它逼近理想的濾波特性，這就是研究理想低通濾波器的意義所在。1615-11-2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

當(dāng)激勵(lì)信號(hào)

時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為由卷積定理階躍響應(yīng)可以表示為由于

162則

5-11理想低通濾波器的響應(yīng)163(5-93)5-11理想低通濾波器的響應(yīng)

式中

，第二項(xiàng)積分式是正弦積分函數(shù)，記作

164圖5-54與Si(y)函數(shù)與

Si(y)函數(shù)，如圖5-54所示正弦積分函數(shù)一般表示為5-11理想低通濾波器的響應(yīng)從圖中可以看出，正弦積分函數(shù)

有下列性質(zhì)：（1）Si(y)為奇函數(shù)，即

Si(y)=-Si(-y);（2）

Si(0)=0；（3）

。由可以清楚地看出：165圖5-55理想低通濾波器的階躍響應(yīng)5-11理想低通濾波器的響應(yīng)（1）在

時(shí)刻，激勵(lì)

作用于系統(tǒng)，但在

時(shí)刻，

，說(shuō)明系統(tǒng)有延時(shí)作用。（2）由于理想低通濾波器具有有限帶寬，所以它的階躍響應(yīng)從最小值到最大值之間有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，即有上升時(shí)間

，從圖5-54可知上升時(shí)間，從圖5-54可知上升時(shí)間

理想低通濾波器的階躍響應(yīng)揭示了一個(gè)重要的結(jié)論，即上升時(shí)間

與系統(tǒng)帶寬

成反比，帶寬愈寬，上升時(shí)間越小，信號(hào)前沿就越陡。1665-11理想低通濾波器的響應(yīng)

【例題5-11】如圖5-56所示，已知信號(hào)

求其輸出。解：則輸出信號(hào)167圖

5-56例題5-115-12信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理

5-12-1信號(hào)的時(shí)域抽樣抽樣定理：一個(gè)有限頻寬信號(hào)

，其頻譜只占據(jù)

范圍，即最高頻率為

（或

），則信號(hào)

可以唯一地用等時(shí)間間隔

點(diǎn)上的瞬時(shí)值（或抽樣值）來(lái)表示。最大抽樣間隔為

，最低抽樣頻率為

，抽樣定理要求

和

必須滿足條件：

1685-12信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理

圖5-58模擬信號(hào)的數(shù)字化處理過(guò)程1695-12信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理

（一）理想抽樣抽樣系統(tǒng)可用框圖表示，如圖5-59所示。圖中

是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，

是抽樣開關(guān)信號(hào)，

是抽樣信號(hào)。圖5-59抽樣系統(tǒng)1705-12信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理

171假設(shè)抽樣開關(guān)信號(hào)

矩形脈沖序列，并已知連續(xù)時(shí)間信號(hào)

，則可得到抽樣信號(hào)

，如圖5-60所示。5-12信號(hào)的時(shí)域抽樣與抽樣定理

矩形脈沖寬度

愈窄，抽樣值則愈精確，當(dāng)

時(shí)，矩形脈沖序列的極限就是沖激序列。當(dāng)抽樣開關(guān)信號(hào)為沖激序列時(shí)，稱為理想抽樣（或沖激抽樣）。設(shè)抽樣開關(guān)信號(hào)是沖激序列，記作

利用

函數(shù)的性質(zhì)，可得到抽樣信號(hào)為