2023年福建省普通高中畢業班質量檢查理科數學本試卷分第=1\*ROMANI卷(選擇題)和第=2\*ROMANII卷(非選擇題)，第=2\*ROMANII卷第21題為選考題，其他題為必考題．本試卷共5頁．總分值150分．考試時間120分鐘．考前須知：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．考生作答時，將答案答在答題卡上．請按照題號在各題的答題區域(黑色線框)內作答，超出答題區域書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效.3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0．5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．參考公式：樣本數據x1，x2，…，xn的標準差錐體體積公式s=V=Sh其中為樣本平均數 其中S為底面面積，h為高柱體體積公式 球的外表積、體積公式V=Sh ，其中S為底面面積，h為高 其中R為球的半徑第一卷〔選擇題共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1．復數，為z的共軛復數，那么以下結論正確的是A．B． C． D．2．向量，那么“〞是“〞的．充分而不必要條件．必要而不充分條件．充要條件．既不充分也不必要條件ABCABCD4．執行如下圖的程序框圖，假設輸入的值為2，那么輸出的值為A．3B．126C.127D.1285．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面．以下命題正確的是．假設，那么．假設，那么．假設，那么．假設，那么6．函數的圖象關于點對稱，那么的值可以是A．B．C．D．7．設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，，垂足為．如果為正三角形，那么等于．．．．8．在矩形中，，，為矩形內一點，且.假設，那么的最大值為A.B.C.D.9．假設函數有且只有2個不同的零點，那么實數的取值范圍是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10．設數集滿足以下兩個條件：〔1〕；〔2〕假設那么．現給出如下論斷：①中必有一個為0；②中必有一個為1；③假設且，那么；④存在互不相等的，使得．其中正確論斷的個數是A．B．C．D．第二卷〔非選擇題共100分〕二、填空題:本大題共5小題，每題4分，共20分．把答案填在答題卡相應位置．11．展開式中含項的系數等于．12．假設變量滿足約束條件那么的最大值為．13．直線l：與圓：在第一象限內交于點M，且l與y軸交于點,那么的面積等于．14．如圖，為區間上的等分點，直線，，和曲線所圍成的區域為，圖中個矩形構成的陰影區域為，在中任取一點，那么該點取自的概率等于．15．定義兩個實數間的一種新運算“*〞：.當時，.對任意實數，給出如下結論：①；②；③；④.其中正確的結論是．〔寫出所有正確結論的序號〕三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.(本小題總分值13分)某幾何體的三視圖和直觀圖如下圖．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值．17．(本小題總分值13分)國Ⅳ標準規定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過．根據這個標準，檢測單位從某出租車公司運營的A、B兩種型號的出租車中分別抽取5輛，對其氮氧化物的排放量進行檢測，檢測結果記錄如下〔單位：〕A8580856090B709575由于表格被污損，數據看不清，統計員只記得A、B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等.〔Ⅰ〕求表格中與的值；〔Ⅱ〕從被檢測的5輛B種型號的出租車中任取2輛，記“氮氧化物排放量超過〞的車輛數為，求的分布列和數學期望．18.(本小題總分值13分)如圖，我海監船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其東北方向與它相距16海里的B處有一外國船只，且D島位于海監船正東海里處.〔Ⅰ〕求此時該外國船只與D島的距離；〔Ⅱ〕觀測中發現，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方向航行.為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值.〔參考數據：，〕19.(本小題總分值13分)如圖1，橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，為橢圓上一點，且垂直于軸.〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕給出命題：“是橢圓上異于的一點，直線分別交直線：〔為常數〕于不同兩點，點在直線上.假設直線與橢圓有且只有一個公共點，那么為線段的中點〞，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;〔Ⅲ〕試研究〔Ⅱ〕的結論，根據你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點的直線，并寫出作圖步驟.注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.20．(本小題總分值14分)函數的圖象在點處的切線方程為.(Ⅰ)求的值及的單調區間；(Ⅱ)是否存在平行于直線且與曲線沒有公共點的直線？證明你的結論；(Ⅲ)設數列滿足,,假設是單調數列，求實數的取值范圍.21．此題有〔1〕、〔2〕、〔3〕三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，總分值14分．如果多做，那么按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．〔1〕〔本小題總分值7分〕選修4－2：矩陣與變換矩陣，向量．(Ⅰ)求矩陣的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量；〔Ⅱ〕求．〔2〕〔本小題總分值7分)選修4—4：極坐標與參數方程如圖，在極坐標系中，圓的圓心坐標為，半徑為.〔Ⅰ〕求圓的極坐標方程；〔Ⅱ〕假設以極點為原點，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標系.直線的參數方程為〔為參數〕，試判斷直線與圓的位置關系.〔3〕〔本小題總分值7分)選修4—5：不等式選講函數.〔Ⅰ〕求證：,并說明等號成立的條件；〔Ⅱ〕假設關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.2023年福建省普通高中畢業班質量檢查理科數學試題參考解答及評分標準說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細那么．二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼局部的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼局部的給分，但不得超過該局部正確解容許給分數的一半；如果后繼局部的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．四、只給整數分數．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查根底知識和根本運算．每題5分，總分值50分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．．二、填空題：本大題考查根底知識和根本運算．每題4分，總分值20分．11．24；12．9；13．；14．；15．①②③④．三、解答題：本大題共6小題，共80分,解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.本小題主要考查簡單幾何體的三視圖，直線與直線、直線與平面的位置關系，二面角等根底知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想．總分值13分．解法一：〔Ⅰ〕由三視圖可知，在三棱柱中，，,且，．…………………2分以點為原點，分別以、所在直線為軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖．由可得，．………………4分，又，．……7分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，，設平面的法向量為那么令，得平面的一個法向量為………10分由〔Ⅰ〕知，是平面的法向量，…………………11分．故二面角的余弦值為．……………13分解法二：〔Ⅰ〕由三視圖可知，在三棱柱中，，,且，．………2分，，，，……4分，．…………5分由正方形可得，，又，．………………7分〔Ⅱ〕同解法一．17．此題主要考查概率統計中數據平均值與方差、隨機變量的分布列、數學期望等根底知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用用意識，考查必然與或然思想等．總分值13分．解:(Ⅰ)依題意得，，又，，∴∴解得或…………6分〔Ⅱ〕由(Ⅰ)可得B種輕型汽車不會被懲罰的車輛數為3,隨機變量．，，．…………9分故的分布列為………11分∴．………………13分18.本小題主要考查余弦定理等根底知識，考查應用意識、運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．總分值13分．解法一：〔Ⅰ〕依題意，在中，由余弦定理：即此時該外國船只與島距離海里5分〔Ⅱ〕在中作于點。在中7分以為圓心，12為半徑作圓交于連接，在中，∴，∴，故在中，，9分又該外國船只到達點的時間小時。10分那么我海監船速度海里/小時。12分∴我海監船要以北偏東，速度的最小值為每小時20海里。13分解法二：以A點為原點，以AD所在的直線為軸建立直角坐標系，如圖。〔Ⅰ〕依題意，，,所以,.此時該外國船只距與D島距離海里5分〔Ⅱ〕以點D為圓心，以12為半徑作圓D，那么圓D的方程為：在中作于點，那么直線的方程為：7分設直線與圓D在第一象限的交點為點，聯接。聯立解得，8分所以，，所以，所以。國為該外國船只到達點的時間小時，10分所以我海監船速度海里/小時。12分所以我海監船要以北偏東的航向和至少每小時20海里的速度前往攔截。13分19．本小題主要考查橢圓的標準方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等根底知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想等．總分值13分．解法一：〔Ⅰ〕因為為橢圓上一點，垂直于軸，所以在中，，，，又因為所以所以，所以橢圓的方程為.…………4分〔Ⅱ〕逆命題：“是橢圓上一點，直線分別交直線：〔為常數〕于兩點，假設為線段的中點，那么直線與橢圓有且只有一個公共點〞，為真命題.……………6分證明如下：設，那么，又，，所以，，設的中點，那么，，又因為，所以，即點，………8分所以，那么，即.聯立方程，消并化簡得：，……………9分所以，所以直線與橢圓有且只有一個公共點.…10分〔Ⅲ〕如圖，①任作一條直線垂直于實軸；②作直線分別交直線于兩點；③作線段的中點，那么直線即為所求的直線.………13分解法二：〔Ⅰ〕因為為橢圓上一點，垂直于軸，所以即解得所以橢圓的方程為.…………4分〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕同解法一.20．此題考查函數的導數、導數的應用、數學歸納法等根底知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般思想、分類討論思想等.總分值14分.解法一：(Ⅰ)依題意，，…………1分由可得解得所以，.…………3分當x變化時，與的變化情況如下表：x02+0_-0+02所以，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，.………5分(Ⅱ)與直線平行的直線設為，由得，即①…………6分當時，方程①有唯一解，此時曲線與直線有公共點；當時，方程①無解，此時直線與曲線沒有公共點.故存在直線與曲線沒有公共點.……8分(Ⅲ)，下面先用數學歸納法證明：當時，.證：=1\*GB3①當n=1時，>2不等式成立.=2\*GB3②假設當n=k時，不等式成立，即.那么，于是.故當n=k+1時，不等式成立.根據=1\*GB3①=2\*GB3②可知，對于,有.…………10分于是，所以，即是單調遞減數列.當時，，由〔Ⅰ〕知，,于是有，故不是單調數列.當時，<0，.所以，于是，故不是單調數列.當時，，，又因為，于是.所以，故。故是單調遞增數列.當時，.故不是單調數列.當時，.故不是單調數列.綜上，的取值范圍是.…………14分解法二：〔Ⅰ〕、(Ⅱ)同解法一〔Ⅲ〕當＞1時，由于，由〔Ⅰ〕知：當＞1時，有，且時，＞2.所以，當時，有，數列不單調；當且時，＞2.因為，那么當時，有＜.又，當1＜＜2時，有＞，數列不單調；當＞2時，有＜，數列單調遞減.所以，當＞2時，數列單調遞減；當1＜時，數列不單調.當＜1時，同理可證：當＜0時，數列單調遞增；