矩陣?yán)碚搮⒖冀滩模?、矩陣論，許立煒，趙禮峰編著，科學(xué)出版社，2011。2、矩陣分析（第3版），史榮昌，魏豐編著，北京理工大學(xué)出版社，2013。3、矩陣分析，RogerA.Horn等，機(jī)械工業(yè)出版社，2014。4、矩陣論，程云鵬，張凱院等，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2012。5、矩陣論，張凱院，徐仲等，科學(xué)出版社，2013學(xué)時(shí)：32學(xué)時(shí)考試成績(jī)：平時(shí)成績(jī)+期末成績(jī)第一節(jié)線性空間的概念一線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)數(shù)域，在集合中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來(lái)表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來(lái)表示,并且這兩種運(yùn)算滿(mǎn)足下列八條運(yùn)算律：（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

（3）零元素在中存在一個(gè)元素，使得對(duì)于任意的都有（4）負(fù)元素對(duì)于中的任意元素都存在一個(gè)元素使得

則稱(chēng)是的負(fù)元素.

（5）數(shù)1

（6）（7）（8）稱(chēng)這樣的集合為數(shù)域上的線性空間。例1

全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。

例3

實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.例4

全體正的實(shí)數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：

例5

表示實(shí)數(shù)域上的全體無(wú)限序列組成的的集合。即在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間。二線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義

線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩.基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無(wú)關(guān)的。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間空間中，函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。第二節(jié)線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)線性空間。如果在中存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量使得中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出:則稱(chēng)為的一個(gè)基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱(chēng)為一個(gè)維線性空間，記為例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組

都是的基。是3維線性空間。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無(wú)限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4

在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的坐標(biāo)為于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的。基變換與坐標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)系為

將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱(chēng)階方陣是由舊的基底到新的基底的過(guò)渡矩陣，那么上式可以寫(xiě)成定理：過(guò)渡矩陣是可逆的。任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為

與，那么我們有：稱(chēng)上式為坐標(biāo)變換公式。例1

在4維線性空間中，向量組與向量組為其兩組基，求從基到基的過(guò)渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式向量第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的坐標(biāo)為

第三節(jié)

線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的以及任意的都有那么我們稱(chēng)為的一個(gè)子空間。例1

對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間以及線性空間本身.例2

設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱(chēng)其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3

設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱(chēng)此子空間為有限生成子空間，稱(chēng)為該子空間的生成元。的基底即為向量組

的維數(shù)即為向量組

的秩。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱(chēng)矩陣集合，全體反對(duì)稱(chēng)矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，子空間的交與和兩個(gè)子空間的交:

兩個(gè)子空間的和:子空間交與和的性質(zhì)

:1.若和都是的子空間,則和也是的子空間.2.3.4.兩個(gè)子空間的直和:如果中的任一向量只能唯一表示為子空間的一個(gè)向量與子空間的一個(gè)向量的和,則稱(chēng)為與的直和.

矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域中任一元素，中都存在一個(gè)非零向量，使得

那么稱(chēng)為的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。現(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一組基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標(biāo)是，。那么我們有

由此可得定理：

是的特征值是的特征值.

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量.

因此，只要將的全部特征值求出來(lái)，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來(lái)，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是的屬于的全部特征向量。例1

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為所以的特征值是（二重）與。對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：從而的屬于的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是屬于3的全部特征向量是

這里為數(shù)域中不全為零的數(shù)對(duì)。對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而的屬于的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數(shù)域中任意非零數(shù)。

矩陣的相似與相似對(duì)角化相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（1）階矩陣的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以組成的一個(gè)子空間，稱(chēng)之為矩陣的屬于特征值的特征子空間，記為，不難看出正是特征方程組的解空間。（2）屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。（3）設(shè)是的個(gè)互不同的特征值，的幾何重?cái)?shù)為，是對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無(wú)關(guān)的。（4）任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。（5）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。矩陣（線性變換）的相似對(duì)角化定義

數(shù)域上的維線性空間的一個(gè)線性變換稱(chēng)為可以對(duì)角化的，如果中存在一個(gè)基底，使得在這個(gè)基底下的矩陣為對(duì)角矩陣。我們?cè)谥腥《ㄒ粋€(gè)基底，設(shè)線性變換在這個(gè)基下的矩陣為，那么可以得到下面的定理定理：可以對(duì)角化可以對(duì)角化。定理：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。定理：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。例1

判斷矩陣是否可以對(duì)角化？解：先求出的特征值于是的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮于是從而不可以相似對(duì)角矩陣。例2

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是判斷是否可以對(duì)角化？解：根據(jù)前面例題的討論可知有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量:因此可以對(duì)角化，在這組基下的矩陣是由基到基的過(guò)渡矩陣是于是有1.4線性變換定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，T:V→V為V上的映射，則稱(chēng)T為線性空間V上的一個(gè)變換或算子。若變換滿(mǎn)足：對(duì)任意的k,l∈K和α,β∈V，有則稱(chēng)T為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質(zhì)：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）線性相關(guān)的向量組的象仍然是線性相關(guān)的。線性變換的例子例1：R2空間上的如下變換為線性變換（該變換還是正交變換）。例2：設(shè)Pn為次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)算：δ(f(t))=f’(t)

為Pn到Pn的線性變換。例3：V為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換：

為V上的線性變換。線性變換的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)T

是V的線性變換，則性質(zhì)2

線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變。性質(zhì)3

線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。注意：線性變換可能把線性無(wú)關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的

向量組。性變換。證明：例3

設(shè)是線性空間V的一組向量，T是V的一個(gè)線線性變換的運(yùn)算一、線性變換的加法和數(shù)量乘法定義1

設(shè)，B∈L(V)，對(duì)A與B

的和

A+B

定義為：結(jié)論1

對(duì)?A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。線性變換的加法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A定義2

設(shè)A∈L(V)，k∈P，對(duì)k與A

的數(shù)量乘積

kA

定義為：結(jié)論2

對(duì)?A∈L(V)，k∈P有kA∈L(V)。線性變換的數(shù)量乘法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A結(jié)論3

設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，L(V)對(duì)以上定義的加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性空間。定義3

設(shè)A,B∈L(V)，對(duì)A

與B

的乘積

AB

定義為：結(jié)論4

對(duì)?A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。線性變換的乘法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：線性變換的乘積不滿(mǎn)足交換律。例1

在R2中，設(shè)A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，則A,B是R2中的線性變換，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、線性變換乘法1.5線性變換的矩陣表示以下討論均假設(shè)線性空間為K上的有限維空間，并以上標(biāo)表示維數(shù)，如Vn、Wm等。設(shè)映射T為Vn上的線性變換，為空間的基底，則可以用該基底線性表示，即

寫(xiě)成矩陣形式對(duì)Vn中的任意元素x，設(shè)x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：對(duì)Vn上的線性變換T，在基底下可以用矩陣來(lái)表示：定理：設(shè)Vn上的變換T在基底下對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）單位變換對(duì)應(yīng)單位矩陣零變換對(duì)應(yīng)零矩陣逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣兩個(gè)變換的乘法對(duì)應(yīng)于矩陣的乘法兩個(gè)變換的加法對(duì)應(yīng)于矩陣的加法設(shè)Vn上的線性變換T在兩組基底和下對(duì)應(yīng)的矩陣分別為A和B，兩個(gè)基底之間的過(guò)渡矩陣為P，即：

于是即得結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換的過(guò)渡矩陣為X，于是即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。定理4

設(shè)線性空間V中線性變換T

在兩組基和下的矩陣分別是A和B，從到線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系：B=X-1AX。1.6線性變換的值域、核與不變子空間一、值域與核的概念定義1

設(shè)T

是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，V中全體向量在T下的全體像組成的集合稱(chēng)為T(mén)的值域，記為T(mén)V

或V中所有被T

變成零向量的原像組成的集合稱(chēng)為T(mén)

的核，記為T(mén)-1(0)或Ker

T

，即TV

的維數(shù)稱(chēng)為T(mén)

的秩，T-1(0)的維數(shù)稱(chēng)為T(mén)

的零度。定理1

設(shè)TV

與T-1(0)都是V的子空間。Im

T，即二、值域與核的性質(zhì)的一組基，T在這組基下的矩陣為A，則2)T

的秩=A的秩定理3

設(shè)T

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則TV的一組基的原像與T-1(0)的一組基合起來(lái)就是V的一組基，由此有T

的秩+T

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推論：有限維線性空間的線性變換，它是單射的充要條件是定理2

設(shè)T

是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是V1)它也是滿(mǎn)射。？？？？？？？？？三、不變子空間定義1

設(shè)A

是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如果W中的向量在A

中的像仍在W中，即則稱(chēng)W是A

的不變子空間，簡(jiǎn)稱(chēng)為A–子空間。例1

線性空間V

和零空間{0}是V上任意線性變換的不變子空間。平凡不變子空間例2

線性變換A

的值域AV

和核A-1(0)都是A

的不變子空間。例3

線性變換A

的特征子空間是A

的不變子空間。例4

任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。

第二章內(nèi)積空間定義：設(shè)是實(shí)數(shù)域上的維線性空間，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱(chēng)為與的內(nèi)積，記為，并且要求內(nèi)積滿(mǎn)足下列運(yùn)算條件：這里是中任意向量，為任意實(shí)數(shù),只有當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)帶有這樣內(nèi)積的維線性空間為歐氏空間。例1

在中，對(duì)于規(guī)定容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定容易驗(yàn)證也是上的一個(gè)內(nèi)積,這樣又成為另外一個(gè)歐氏空間。例2

在維線性空間中，規(guī)定容易驗(yàn)證這是上的一個(gè)內(nèi)積，這樣對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。例3

在線性空間中，規(guī)定容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，這樣對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。定義：設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為與的內(nèi)積，記為，并且要求內(nèi)積滿(mǎn)足下列運(yùn)算條件：這里是中任意向量，為任意復(fù)數(shù)，只有當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)帶有這樣內(nèi)積的維線性空間為酉空間。歐氏空間與酉空間通稱(chēng)為內(nèi)積空間。例1

設(shè)是維復(fù)向量空間，任取規(guī)定容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而成為一個(gè)酉空間。例2

設(shè)表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，于是便成為一個(gè)酉空間。例3

在維線性空間中，規(guī)定其中表示中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而連同這個(gè)內(nèi)積一起成為酉空間。內(nèi)積空間的基本性質(zhì)：歐氏空間的性質(zhì)：酉空間的性質(zhì)：定義：設(shè)是維酉空間，為其一組基底，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量那么與的內(nèi)積令稱(chēng)為基底的度量矩陣，而且定義：設(shè)，用表示以的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記則稱(chēng)為的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣。不難驗(yàn)證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿(mǎn)足下列性質(zhì)：定義：設(shè),如果，那么稱(chēng)為Hermite矩陣；如果，那么稱(chēng)為反Hermite矩陣。例

判斷下列矩陣是H-陣還是反H-陣。熟悉下列概念:（1）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（2）反實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（3）歐氏空間的度量矩陣（4）酉空間的度量矩陣內(nèi)積空間的度量定義：設(shè)為酉（歐氏）空間，向量的長(zhǎng)度定義為非負(fù)實(shí)數(shù)例在中求下列向量的長(zhǎng)度解：根據(jù)上面的公式可知一般地，我們有:對(duì)于中的任意向量其長(zhǎng)度為這里表示復(fù)數(shù)的模。定理：向量長(zhǎng)度具有如下性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，例1：在線性空間中，證明例2

設(shè)表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對(duì)于任意的，我們有定義：設(shè)為歐氏空間，兩個(gè)非零向量的夾角定義為于是有定理：因此我們引入下面的概念;定義：在酉空間中，如果，則稱(chēng)與正交。定義：長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量，向量總是單位向量，稱(chēng)此過(guò)程為單位化。標(biāo)準(zhǔn)正交基底與Schmidt正交化方法定義設(shè)為一組不含有零向量的向量組，如果內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱(chēng)其為正交的向量組。定義

如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱(chēng)此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例

在中向量組與向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定義：在維內(nèi)積空間中，由個(gè)正交向量組成的基底稱(chēng)為正交基底；由個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基底。注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題。定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是

向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是定理：正交的向量組是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組。反之，由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。Schmidt正交化與單位化過(guò)程:

設(shè)為維內(nèi)積空間中的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，利用這個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第一步正交化容易驗(yàn)證是一個(gè)正交向量組.第二步單位化顯然是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例1

運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解：先正交化再單位化那么即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例2

求下面齊次線性方程組其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解：先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系下面對(duì)進(jìn)行正交化與單位化：即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。

酉變換與正交變換定義：設(shè)為一個(gè)階復(fù)矩陣，如果其滿(mǎn)足則稱(chēng)是酉矩陣，一般記為設(shè)為一個(gè)階實(shí)矩陣，如果其滿(mǎn)足則稱(chēng)是正交矩陣，一般記為例：是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣（5）設(shè)且，如果則是一個(gè)酉矩陣。通常稱(chēng)為Householder矩陣。是一個(gè)酉矩陣酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)，那么設(shè)，那么定理：設(shè)，是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為的個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定義：設(shè)是一個(gè)維酉空間，是的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的都有則稱(chēng)是的一個(gè)酉變換。定理：設(shè)是一個(gè)維酉空間，是的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：（1）是酉變換；（3）將的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；（4）酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為酉矩陣。注意：關(guān)于正交變換也有類(lèi)似的刻劃。

冪等矩陣定義：設(shè)，如果滿(mǎn)足則稱(chēng)是一個(gè)冪等矩陣。例是一個(gè)分塊冪等矩陣。

冪等矩陣的一些性質(zhì)：設(shè)是冪等矩陣，那么有（1）都是冪等矩陣；（2）（3）（4）的充分必要條件是（5）定理：設(shè)是一個(gè)秩為的階矩陣，那么為一個(gè)冪等矩陣的充分必要條件是存在使得推論：設(shè)是一個(gè)階冪等矩陣，則有定義：設(shè)為一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么稱(chēng)型矩陣為一個(gè)次酉矩陣。一般地將其記為定理：設(shè)為一個(gè)階矩陣，則的充分必要條件是存在一個(gè)型次酉矩陣使得其中。引理：的充分必要條件是證明：設(shè)，那么必要性：如果為一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么充分性：設(shè)，那么由

，可得即這表明是一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組。定理的證明：必要性：因，故有個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，將這個(gè)列向量用Schmidt方法得出個(gè)兩兩正交的單位向量，以這個(gè)向量為列構(gòu)成一個(gè)型次酉矩陣

。注意到的個(gè)列向量都可以由的個(gè)列向量線性表出。即如果那么可得其中由于向量組的秩為，所以的秩為。下面證明。由可得，即注意到，所以即因?yàn)椋裕@樣得到于是充分性：若，則Schur引理與正規(guī)矩陣定義：設(shè)，若存在

，使得則稱(chēng)酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個(gè)階復(fù)矩陣酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。證明：用數(shù)學(xué)歸納法。的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立。現(xiàn)設(shè)的階數(shù)為時(shí)定理成立，考慮的階數(shù)為時(shí)的情況。取階矩陣的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為，構(gòu)造以為第一列的階酉矩陣，因?yàn)闃?gòu)成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故，因此其中是階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在階酉矩陣滿(mǎn)足(上三角矩陣)令那么注意:等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素為矩陣的全部特征值.定理(Schur不等式):設(shè)為矩陣的特征值,那么例:

已知矩陣試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值所以為矩陣的三重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量再解與內(nèi)積為零的方程組求得一個(gè)單位解向量取計(jì)算可得令再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量取計(jì)算可得令于是有則矩陣即為所求的酉矩陣.

正規(guī)矩陣定義:

設(shè),如果滿(mǎn)足那么稱(chēng)矩陣為一個(gè)正規(guī)矩陣.設(shè),如果同樣滿(mǎn)足那么稱(chēng)矩陣為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.例:

(1)

為實(shí)正規(guī)矩陣

(2)其中是不全為零的實(shí)數(shù),容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.(3)這是一個(gè)正規(guī)矩陣.(4)H-陣,反H-陣,正交矩陣,酉矩陣,對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理引理1:

設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣,且又是三角矩陣,則必為對(duì)角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理:

設(shè),則是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣使得其中是矩陣的特征值.推論1:階正規(guī)矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論2:正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量彼此正交.例1:

設(shè)求正交矩陣使得為對(duì)角矩陣.解:

先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將單位化并正交化,得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣則矩陣即為所求正交矩陣且有例2:

設(shè)求酉矩陣使得為對(duì)角矩陣.解:先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將單位化,得到一個(gè)單位向量對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣則矩陣即為所求酉矩陣且有例3

證明:(1)H-矩陣的特征值為實(shí)數(shù);H-矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩陣的特征值為零或純虛數(shù).(3)酉矩陣的特征值模長(zhǎng)為1.定理:

設(shè)是正規(guī)矩陣,則

(1)是H-陣的充要條件是的特征值為實(shí)數(shù).(2)是反H-陣的充要條件是的特征值的實(shí)部為零.(3)是U-陣的充要條件是的特征值的模長(zhǎng)為1.

注意:

正規(guī)矩陣絕不僅此三類(lèi).例4:設(shè)是一個(gè)反H-陣,證明:是U-陣.證明:根據(jù)U-陣的定義由于是反H-陣,所以,這樣于是可得這說(shuō)明為酉矩陣.例5:設(shè)是一個(gè)階H-陣且存在自然數(shù)使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個(gè)酉矩陣使得于是可得從而這樣即

Hermite矩陣及H-矩陣Hermite矩陣的基本性質(zhì)引理:

設(shè),則

(1)都是H-矩陣.(2)是反H-陣.(3)如果是H-陣,那么也是H-陣,

為任意正整數(shù).(4)如果是可逆的H-陣,那么也是可逆的H-陣.(5)如果是H-陣(反H-陣),那么是反H-矩陣(H-陣),這里為虛數(shù)單位.(6)如果都是H-陣,那么也是H-陣,這里均為實(shí)數(shù).(7)如果都是H-陣,那么也是H-陣的充分必要條件是定理:

設(shè),則

(1)是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的是實(shí)數(shù).(2)是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的階方陣為H-陣.H-矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理:

設(shè),則是H-陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩陣使得其中,此定理經(jīng)常敘述為:H-陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣.推論:

實(shí)對(duì)稱(chēng)陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣.

例:

設(shè)為一個(gè)冪等H-陣,則存在酉矩陣使得證明:由于為一個(gè)H-陣,所以存在酉矩陣使得又由于為一個(gè)冪等H-陣,從而

或?qū)?放在一起,將0放在一起,那么可找到一個(gè)酉矩陣使得這里為矩陣的秩.Hermite二次型(Hermite二次齊次多項(xiàng)式)定義:

由個(gè)復(fù)變量,系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為Hermite二次型,這里如果記那么上面的Hermite二次型可以記為稱(chēng)為Hermite二次型對(duì)應(yīng)的矩陣

,并稱(chēng)的秩為Hermite二次型的秩.對(duì)于Hermite二次型作可逆的線性替換則這里Hermite二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只含有純的平方項(xiàng)無(wú)交叉項(xiàng)的二次型我們稱(chēng)這種形狀的Hermite二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的Hermite二次型.定理:

對(duì)于任意一個(gè)Hermite二次型必存在酉線性替換可以將Hermite二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是H-矩陣的特征值.進(jìn)一步,我們有定理:

對(duì)于Hermite二次型必存在可逆的線性替換可以將Hermite二次型化為其中.我們稱(chēng)上面的標(biāo)準(zhǔn)形為Hermite二次型的規(guī)范形.例:

寫(xiě)出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.解:

正定Hermite二次型與正定Hermite矩陣定義:

對(duì)于給定的Hermite二次形如果對(duì)于任意一組不全為零復(fù)數(shù)都有則稱(chēng)該Hermite二次形為正定的(半正定的),并稱(chēng)相應(yīng)的H-矩陣為正定的(半正定的).

例:

判斷下列Hermite二次形的類(lèi)別

與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們有定理:

對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的(1)是正定的

(2)對(duì)于任何階可逆矩陣都有為正定矩陣

(3)的個(gè)特征值都大于零

(4)存在階可逆矩陣使得

(5)存在階可逆矩陣使得

(6)存在正線上三角矩陣使得,且此分解是唯一的.例1:

設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,且又是酉矩陣,則證明:

由于是一個(gè)正定H-陣,所以必存在酉矩陣使得由于又是酉矩陣,所以這樣必有,從而例2:

設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,是一個(gè)反H-陣,證明:與的特征值實(shí)部為零.

證明:

設(shè)為矩陣的任意一個(gè)特征值,那么有.由于是一個(gè)正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得將其代入上面的特征多項(xiàng)式有這說(shuō)明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣,從而實(shí)部為零.同樣可以證明另一問(wèn).例3:

設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,是一個(gè)反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:

由于是一個(gè)正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得這表明是可逆的.于是另一方面注意矩陣仍然為正定H-陣,而矩陣為H-反陣,由上面的例題結(jié)論可知矩陣的特征值實(shí)部為零,那么矩陣的特征值中不可能有零,從而定理:

對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的:

(1)是半正定的(2)對(duì)于任何階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)的個(gè)特征值全是非負(fù)的存在階可逆矩陣使得(5)存在秩為的階矩陣使得定理:

設(shè)是正定(半正定)Hermite矩陣,那么存在正定(半正定)Hermite矩陣使得例1:

設(shè)是一個(gè)半正定的H-陣且,試證明:證明:

設(shè)為的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有例2:

設(shè)是一個(gè)半正定的H-陣且是一個(gè)正定的H-陣,證明:證明:

由于是一個(gè)正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有注意矩陣仍然是一個(gè)半正定的H-陣,有上面的例題可知從而例3:

證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩陣與正定H-陣之和和是正定的;證明：設(shè)都是半正定H-陣，那么二者之和仍然是一個(gè)H-陣，其對(duì)應(yīng)的Hermite二次型為其中由于都是半正定H-矩陣，所以對(duì)于任意一組不全為零的復(fù)數(shù)我們有這說(shuō)明為一個(gè)半正定H-陣。類(lèi)似地，可以證明另外一問(wèn)。例4:

設(shè)都是階正定H-陣，則的根全為正實(shí)數(shù)。證明：因?yàn)槭钦ǖ模源嬖诳赡婢仃囀沟昧硪环矫孀⒁獾绞且粋€(gè)正定H-陣，從而有的根全為正實(shí)數(shù)。又由于故的根全為正實(shí)數(shù)。定理:

設(shè)是一個(gè)（半）正定H-陣，那么必存在唯一的一個(gè)（半）正定H-陣，使得

Hermite矩陣偶在復(fù)合同（復(fù)相合）下的標(biāo)準(zhǔn)形例：設(shè)均為階Hermite-陣,且又是正定的，證明必存在使得與同時(shí)成立，其中是與無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)。證明：由于是正定H-陣，所以存在使得又由于也是H-陣，那么存在

使得其中是H-陣的個(gè)實(shí)特征值。

如果記，則有下面證明個(gè)實(shí)特征值與無(wú)關(guān)。令，那么是特征方程的特征根。又由于因此是方程的根。它完全是由決定的與無(wú)關(guān)。由此可以得到下面的H-陣偶標(biāo)準(zhǔn)形定理：定理：對(duì)于給定的兩個(gè)二次型其中是正定的，則存在非退化的線性替換可以將同時(shí)化成標(biāo)準(zhǔn)形其中是方程的根，而且全為實(shí)數(shù)。定義：設(shè)均為階Hermite-陣,且又是正定的，求使得方程有非零解的充分必要條件是關(guān)于的次代數(shù)方程方程成立。我們稱(chēng)此方程是相對(duì)于的特征方程。它的根稱(chēng)為相對(duì)于的廣義特征值。將代入到方程中所得非零解向量稱(chēng)為與相對(duì)應(yīng)的廣義特征向量。廣義特征值與廣義特征向量的性質(zhì);命題：（1）有個(gè)廣義特征值；（2）有個(gè)線性無(wú)關(guān)的廣義特征向量，即（3）這個(gè)廣義特征向量可以這樣選取，使得其滿(mǎn)足其中為Kronecker符號(hào)。

第3章－矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的基本概念定義：設(shè)為數(shù)域上的多項(xiàng)式，則稱(chēng)

為多項(xiàng)式矩陣或矩陣。定義

如果矩陣中有一個(gè)階子式不為零，而所有階子式(如果有的話)全為零，則稱(chēng)的秩為，記為零矩陣的秩為0。定義

一個(gè)階矩陣稱(chēng)為可逆的，如果有一個(gè)階矩陣，滿(mǎn)足這里是階單位矩陣。稱(chēng)為矩陣的逆矩陣，記為。定理

一個(gè)階矩陣可逆的充要必要是一個(gè)非零的常數(shù)。定義下列各種類(lèi)型的變換，叫做矩陣的初等變換：

(1)矩陣的任二行(列)互換位置；

(2)非零常數(shù)乘矩陣的某一行(列)；

(3)矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列)

上去，其中是的一個(gè)多項(xiàng)式。對(duì)單位矩陣施行上述三種類(lèi)型的初等變換便得相應(yīng)得三種矩陣稱(chēng)為初等矩陣

定理

對(duì)一個(gè)的矩陣的行作初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的階初等矩陣左乘,對(duì)的列作初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的階初等矩陣右乘。定義如果經(jīng)過(guò)有限次的初等變換之后變成，則稱(chēng)與等價(jià)，記之為定理

與等價(jià)的充要條件是存在兩個(gè)可逆矩陣與，使得

矩陣Smith標(biāo)準(zhǔn)形的存在性

定理

任意一個(gè)非零的型的矩陣都等價(jià)于一個(gè)對(duì)角矩陣，即

其中是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式且稱(chēng)這種形式的矩陣為的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。稱(chēng)為的不變因子。例1將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：例2將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：例3將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：將其化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。例4解：矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定義：為一個(gè)矩陣且對(duì)于任意的正整數(shù)，，必有非零的階子式，的全部階子式的最大公因式稱(chēng)為的階行列式因子。顯然，如果，則行列式因子一共有個(gè)。例1

求的各階行列式因子。解：由于，所以。顯然而且其余的7個(gè)2階子式也都包含作為公因子，所以另外注意：觀察三者之間的關(guān)系。定理1：等價(jià)（相抵）矩陣有相同的各階行列式因子,從而有相同的秩。設(shè)矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為顯然有：容易計(jì)算上面的標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子為由于與上面的Smith標(biāo)準(zhǔn)形具有相同的各階行列式因子，所以的各階行列式因子為而又是由這些行列式因子唯一確定的，于是我們得到定理2：的Smith標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。例1

求下列矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：（1）容易計(jì)算出（2）首先觀察此矩陣的元素排列規(guī)律，顯然下面看階行列式因子。有一個(gè)階子式要注意，即容易計(jì)算出從而(3)定理3

矩陣與等價(jià)的充要條件是對(duì)于任何的，它們的階行列式因子相同。定理4

矩陣與等價(jià)的充要條件是與有相同的不變因子。與一般的數(shù)字矩陣一樣，我們有下面的推論：推論1

矩陣可逆的充要條件為與單位矩陣等價(jià)。推論2

矩陣可逆的充要條件為可以表示成一系列初等矩陣的乘積。初等因子和矩陣的相似設(shè)矩陣的不變因子為在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：其中是互異的復(fù)數(shù)，是非負(fù)整數(shù)。因?yàn)椋詽M(mǎn)足如下關(guān)系定義在上式中，所以指數(shù)大于零的因子稱(chēng)為矩陣的初等因子例1

如果矩陣的不變因子為則的初等因子為例2

如果矩陣的秩為4，其初等因子為求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：首先求出的不變因子從而的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為定理1

階矩陣與等價(jià)的充要條件是它們有相同的秩且有相同的初等因子。定理2

設(shè)矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。此定理也可推廣成如下形式：定理3若矩陣則各個(gè)初等因子的全體就是的全部初等因子。例1

求矩陣的初等因子，不變因子與標(biāo)準(zhǔn)形。解：記那么對(duì)于，其初等因子為由上面的定理可知的初等因子為因?yàn)榈闹葹?，故的不變因子為因此的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為例2

判斷下面兩個(gè)矩陣是否等價(jià)？例3

求下面矩陣不變因子例4

求下列矩陣的行列式因子與不變因子數(shù)字矩陣的相似與矩陣的等價(jià)定理1：設(shè)是兩個(gè)階的數(shù)字矩陣，那么與相似的充分必要條件為它們的特征矩陣與等價(jià)。定義：對(duì)于數(shù)字矩陣，我們稱(chēng)的不變因子為的不變因子