第五節特征函數與母函數隨機變量的特征函數

隨機變量X的特征函數定義為式中fX(x)是X的概率密度。

定義:設

X

是一隨機變量，稱(t)=E(eitX)

為X的特征函數.(必定存在)注意：是虛數單位.(1)當X為離散隨機變量時，(2)當X為連續隨機變量時，特征函數是概率密度函數p(x)的傅里葉變換1

|(t)|(0)=12

3

隨機變量X的n階矩存在，則X的特征函數可以微分n次，滿足：4若CX(t)是隨機變量X的特征函數，則Y=CX（C為常數）的特征函數為CY(t)=CX(Ct)5若Y=aX+b

（a,b均為常數），則

CY(t)=ejbt

CX(at)特征函數性質(4)是非負定函數，對任意正整數n及任意實數t1，t2和任意復數z1，z2，….zn滿足：(5)若X1，X2，…Xn是相互獨立的隨機變量，則X=X1+X2+…+Xn的特征函數滿足：(6)隨機變量的特征函數由其特征函數唯一確定常見分布函數的特征函數

由傅立葉變換的定義可知，隨機變量X的特征函數(t)是概率密度函數f(x)的傅立葉變換對偶。因此，當已知特征函數時，可運用傅立葉反變換求概率密度，即這樣，先確定特征函數，再通過傅立葉反變換求概率密度往往比直接求概率密度來得較簡便。

同樣，二維隨機變量(X1,X2)的特征函數定義為二維聯合概率密度由反變換求得，即特征函數與矩的關系

將特征函數(t)對t進行一次微分，則有令t=0，則有同樣將特征函數

X(t)對t進行k次微分，則有由此得如果將

X(t)展成泰勒級數，可得

母函數定義設X是非負整數值的隨機變量，分布滿足：稱為X的母函數母函數性質(1)是非負整數值的隨機變量的分布列由母函數唯一確定(2)P(s)是X的母函數，若EX存在，則EX=P’(1)

若DX存在，則DX=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]26條件期望1.離散型隨機變量的條件數學期望對于條件分布函數，若：

則稱：為X=x條件下Y的條件數學期望。同理稱：為Y=y條件下X的條件數學期望。2.連續型隨機變量的條件數學期望例1：隨機變量X、Y的取值為1,2，…，n，其概率分布為：求E(Y|i)，E(X|j)。解：首先求出條件分布律為：

那么：例2：設二維正態分布服從N(0,1;0,1;r),試求f(y|x),f(x|y),

E(Y|x),E(X|y)。解：已知同理可得：而：同理可得：從此例可以看出，E(Y|x)，E(X|y)分別是x和y的函數。練習四、小結

在這一節中我們學習了隨機變量的原點矩和中心矩以及協方差矩陣.

一般地,維隨機變量的分布是不知道的,或者太復雜,以至于在數學上不易處理,因此在實際中協方差矩陣就顯得重要了.7中心極限定理

中心極限定理的客觀背景

在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結構等）綜合影響的.每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布哪？

如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大.則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態分布之后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見.

現在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規律性問題.

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量.

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態分布這一類定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）注3、雖然在一般情況下，我們很難求出

的分布的確切形式，但當n很大時，可以求出近似分布.例1根據以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數分布.現隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第6章

隨機過程1、隨機過程的概念2、隨機過程的數字特征3、復隨機過程4、重要的隨機過程理解隨機過程的基本概念，知道樣本函數、狀態空間的定義；了解隨機過程一維分布函數、分布密度的定義，知道推廣到n維的情形；掌握隨機過程的數字特征：均值函數、方差函數、自相關函數、自協方差函數、互相關函數、互協方差函數。熟練掌握均值函數和相關函數的求法；了解二階矩過程、正交增量過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程、平穩增量過程、正態隨機過程、泊松過程、維納過程、平穩過程的定義及性質；知道兩隨機過程互不相關和相互正交的概念。1概率空間首先，回顧初等概率論的一些基本概念：

在相同條件下可重復進行；一次試驗結果的隨機性——不可預知性；全體可能結果的可知性。

隨機試驗，滿足如下條件：樣本空間——隨機試驗所有可能出現的結果組成的集合。樣本點——中的元素。隨機事件——樣本空間的子集合，稱為事件。基本事件——中每個樣本點所構成的單點集。必然事件——本身。不可能事件——不包含任何元素的空集合。一、集合代數和-代數定義1設是任一非空集合，F是由的一些子集組成的非空集合類，若F滿足：

∈

F；若A，B∈F

，有A∪B∈F

（有限并運算封閉）；則稱F是上的一個集合代數，簡稱集代數。若A∈F

，有A∈F

（余運算封閉）；定義2

設是任一非空集合，F是由的一些子集組成的非空集合類，若F滿足：

A若A∈F

，有A∈F

（余運算封閉）；則稱A是上的一個-代數。定理3

設A是-代數，則：-代數A一定是集代數；若A

，有A（可列交運算封閉）若A

，有A（可列并運算封閉）（歸一性）概率的定義——若對的每一個事件A，有一個實數與之對應，記為P(A)，且滿足：（非負性）（可列可加性）

稱P是(

,F)上的概率，(

,F，P

)是概率空間，P(A)是事件A的概率。隨機過程的定義例1考察進入某商店的顧客數。用ξ表示單位時間內（如每天）進入商店的顧客數，則ξ~П(λ),

λ表示顧客的到達率。研究n個時間段進入商店的顧客數，則需要用一個n維的隨機向量來刻畫。

研究隨著t的不斷變化，在(0，t]內進入商店的顧客數，則需要用一族隨機變量ξ(t)來研究。對每一個固定的t,ξ(t)是一個隨機變量。

假設目標是活動的，則某一時刻測量到該目標的距離是隨機變化的，可以用一個隨機變量ξ來研究，一次測量的結果是一個非負實數。在指定的n個時刻測量到該目標的距離可以用一個n維隨機變量

來刻畫，一次測量的結果是一個分量為非負實數的n維向量(x1,x2,...,xn)。如果對該目標在整個運動過程進行跟蹤測量，測量的結果就需要用一族隨機變量ξ(t)來研究,一次測量的結果是自變量為t的取非負實數的函數x(t)。例2考察測量到某一目標的距離。隨機過程的基本概念

定義7.1.設(,F,P)為一概率空間，TR(1)，如果對任一tT，有一定義在(,F

,P)上的隨機變量(,t)與之對應，則稱{(,t),tT}為一隨機過程，簡記為{(t),tT}。狀態空間：定義中的T是時間、長度、重量等物理量的集合，以后我們不妨將它看作時間區間。固定tT，把隨機過程所取的值稱為在時刻t的狀態，并將所有可能的狀態構成的集合稱為狀態空間，用E來表示。樣本函數：(,t)是一個二元函數，當取定時，它是自變量為t，且定義域為T的函數，稱為該隨機過程的樣本函數。例3

隨機相位正弦過程

,tR,θ服從上的均勻分布，A和ω是常數。則它的狀態空間是[-A,A]；對任意θi，

是樣本函數。例4設g(t)是周期為T，幅度為A的矩形波,η是服從兩點分布的隨機變量，則ξ=g(t)η

,t>0是一隨機過程，g(t)和-g(t)均是它的樣本函數。例5拋擲一枚硬幣的試驗，樣本空間是S={H,T},出現H和T的概率均為0.5，定義：-101234-2-10123tx(t)

當t固定時，X(t)是一個隨機變量，當樣本點固定時，得到兩個樣本函數{cosπt,t}。狀態空間為R.注意：隨機過程的有限維分布函數族

對于一維和多維隨機變量，利用它們的分布函數可以完全刻畫它們的統計特性，對于隨機過程，同樣借助于分布函數來研究其統計規律。設{(,t),tT}為一隨機過程，取定t

T和x

R,定義為隨機過程(t)的一維分布函數，稱{F(t;x),tT}為隨機過程(t)的一維分布函數族。定義7.2:設{(t),tT}為一隨機過程，對任意正整數n及任意ti∈T，xi∈R(i=1,2,...,n)，稱分布函數

的全體為隨機過程(t)的有限維分布函數族。

概率密度：隨機過程的有限維分布函數族具有下列性質：（1）對稱性（2）相容性對n>m，有：Kolmogorov存在定理

設已給參數集T及滿足對稱性和相容性條件的分布函數族F，則必存在概率空間(,F,P)及定義在其上的隨機過程{X(t),t

T},它的有限維分布函數族是F.二維隨機過程

定義7.3

設(,F,P)為一概率空間，T為一參數集,TR(1)

，若{(,t),tT}和{η(,t),tT}是定義在(,F,P)上的隨機過程，則稱{(,t),η(,t),tT}為定義在(,F,P)上的二維隨機過程。二維隨機過程的有限維分布函數3隨機過程的數字特征定義7.4:設隨機過程的一維分布函數為，我們稱

分別為隨機過程的均值函數和方差函數。對離散型的隨機過程，其均值函數和方差函數分別為：

其中：對連續型的隨機過程，其均值函數和方差函數分別為：均值函數和方差函數刻畫了隨機過程在不同時刻的統計特性，均值函數表示{}在各個不同時刻取值的擺動中心。方差函數表示{}在各個不同時刻取值的關于的平均偏離程度。但不能描述在不同時刻之間的相互關系，因此我們必須引入自相關函數和自協方差函數概念。定義7.5設隨機過程的二維分布函數為，我們稱其自相關函數和自協方差函數分別為：

其中：若令：由此可以看出：均值函數和相關函數是最基本的數字特征，協方差函數和方差函數可以由它們確定。在隨機過程理論中，僅研究均值函數和相關函數的理論稱為相關理論。

一般地，相關函數和協方差函數均與時間有關。若令以上兩式說明不僅與時間間隔有關，且與起點有關,當和僅與有關而與無關時，且稱這類隨機過程為寬平穩過程，簡稱為平穩過程。例1設是周期為的矩形波，隨機變量服從兩點分布

令，，則：是具有隨機振幅，周期為的矩形波過程，求的數字特征。

解：

例2

已知隨機相位正弦波，其中，為在上服從均勻分布的隨機變量。求隨機過程的、。解：

由在上服從均勻分布得：則：

在實際問題中，除考慮一個隨機過程在不同時刻的性質外，還須考慮兩個不同的隨機過程之間的關系。例如，通信系統中信號過程與干擾過程之間的關系，此時，我們必須引入互協方差函數和互相關函數來描述它們之間的關系。定義7.6設隨機過程，是兩個隨機過程，則稱其互相關函數和互協方差函數分別為：，

且

相互正交特別地，對任意的，有，則稱隨機過程互不相關；若，則稱隨機過程例3設有兩個隨機過程和，其中和都是周期為L的周期方波，ε是在上服從均勻分布的隨機變量，求互相關函數的表達式。

令，利用和的周期性，則：

例2:考慮隨機過程X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)

其中a和ω是常數，Θ是在（0，2π）上服從均勻分布的

隨機變量，通常稱此隨機過程為隨機相位正弦波，求隨機

相位正弦波的均值函數，方差函數和自相關函數.

解:Θ的概率密度為于是例3:設隨機過程X(t)=Y+Zt,tT=(-∞,+∞),其中Y，Z是相互獨立的服從N(0,1)的隨機變量，求{X(t),-∞<t<+∞}的一，二維概率密度。解:tT，由正態分布的性質知X(t)服從正態分布:

E[X(t)]=E(Y)+tE(Z)=0,

D[X(t)]=D(Y)+t2

=1+t2

所以一維概率密度為

又由正態分布的性質知，對于任意

s,t∈T，

(X(s),X(t))服從二維正態分布而

E[X(s)]=E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2,D[X(t)]=1+t2

所以二維概率密度為

其中=x(t1,t2).4復隨機過程定義:設隨機過程，是取實數值的兩個隨機過程，若對，則稱為復隨機過程。定義:當和為實隨機過程時，則的均值函數、方差函數、相關函數和協方差函數的定義如下：定理1:復隨機過程的協方差函數具有如下性質：(1)對稱性：

(2)非負定性：對任意的及復數，有：證明(1)

證明(2)

4.1二階矩過程定義1:設隨機過程，若對，的均值和方差均存在，則稱為一個二階矩過程。

定理4.1:二階矩過程的協方差函數存在。證明：由條件知：存在。由Schvarz不等式：

即：存在。則：存在。定理4.2設是二階矩過程的相關函數，則對，

。證明：

若是實二階矩過程，則：。定理7.3二階矩過程的相關函數具有非負定性，即，復數，為任意正整數，有。證明：

注意：相關函數的非負定性才是二階矩過程的本質特性。

4.2正交增量過程定義2:設是二階矩過程，若對有：，則稱為正交增量過程。對于零均值正交增量過程，假設，且，下面考慮的協方差函數。取，，則：，即。則：

，，（同理，取

有：

則：

4.3獨立增量過程定義1:若對任意的正整數n和，隨機變量，，…

，是相互獨立的，則稱為獨立增量過程。后面要介紹的泊松過程是獨立增量過程。

零均值條件下獨立增量過程與正交增量過程的關系

由獨立增量過程的定義知：獨立，

，，

于是：

由于還是零均值的，則

則為正交增量過程。即零均值的獨立增量過程為正交增量過程。4.4平穩增量過程

定義1:若對任意的，，隨機變量，服從相同的概率分布，則稱是具有平穩增量的隨機過程。的分布僅與有關，與起點無關，這種性質稱為時齊性，或齊次性。，

4.5維納過程[布朗運動]維納過程是布朗運動的數學模型.英國植物學家布朗在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發現它們不斷地進行著雜亂無章的運動,這種現象后來稱為布朗運動.以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(同樣也可以討論縱坐標)且設W(0)=0.根據愛因斯坦1905年提出的理論,微粒的這種運動是由于受到大量隨機的,相互獨立的分子碰撞的結果.于是,粒子在時段(s,t](與相繼兩次碰撞的時間間隔相比是很大的量)上的