§2.9函數模型及其應用最新考綱考情考向分析1.了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義．2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用.考查根據實際問題建立函數模型解決問題的能力，常與函數圖象、單調性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度.1．幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)對數函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)冪函數模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)2.三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調單調單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與平行隨x的增大逐漸表現為與平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax概念方法微思考請用框圖概括解函數應用題的一般步驟．提示解函數應用題的步驟題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．()(2)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大．()(3)不存在x0，使<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．()題組二教材改編2．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個月的平均收入為40萬元3．生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業一個月應生產該商品數量為萬件．4．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為．5．一枚炮彈被發射后，其升空高度h與時間t的函數關系為h＝130t－5t2，則該函數的定義域是．6．某市生產總值連續兩年持續增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為．7．已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發展到只．題型一用函數圖象刻畫變化過程1.高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是()2．(2018·呼和浩特聯考)設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x的函數圖象為()3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是()A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C．甲車以80千米/時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油思維升華判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象．(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．題型二已知函數模型的實際問題例1(1)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數)，如圖記錄了三次實驗的數據．根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為分鐘．(2)某公司招聘員工，面試對象人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x≤100，,1.5x，x>100，))其中x代表擬錄用人數，y代表面試對象人數．若面試對象人數為60，則該公司的擬錄用人數為()A．15B．40C．25D．70思維升華求解所給函數模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該模型求解實際問題．跟蹤訓練1(1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為元．(2)西北某羊皮手套公司準備投入適當的廣告費對其生產的產品進行促銷．在一年內，根據預算得羊皮手套的年利潤L萬元與廣告費x萬元之間的函數解析式為L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)，則當年廣告費投入________萬元時，該公司的年利潤最大．題型三構建函數模型的實際問題命題點1構造一次函數、二次函數模型例2(1)某航空公司規定，乘飛機所攜帶行李的質量x(kg)與其運費y(元)之間的關系由如圖所示的一次函數圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的質量最大為kg.(2)在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝命題點2構造指數函數、對數函數模型例3一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？引申探究若本例的條件不變，試計算：今后最多還能砍伐多少年？命題點3構造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函數例4(1)某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析，每輛客車營運的總利潤y(萬元)與營運年數x的關系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數為．(2)某地區要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝米．命題點4構造分段函數模型例5已知某公司生產某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產1萬只還需另投入16萬美元．設該公司一年內共生產該款手機x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產量x(萬只)的函數解析式；(2)當年產量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產中所獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤．思維升華構建數學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結論，理順數量關系，將文字語言轉化成數學語言，建立適當的函數模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制．跟蹤訓練2(1)某化工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不超過0.1%，若初時含雜質2%，2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)大學畢業生小趙想開一家服裝專賣店，經過預算，該門面需要裝修費為20000元，每天需要房租、水電等費用100元，受經營信譽度、銷售季節等因素的影響，專賣店銷售總收益R(元)與門面經營天數x的關系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則當總利潤最大時，該門面經營的天數是．用數學模型求解實際問題數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括從數量，圖形關系中抽象出數學概念，并且用數學符號和術語予以表征．例(1)調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規規定，駕駛員在駕駛機動mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度減少，則至少經過小時他才可以駕駛機動車．(精確到小時)(2)已知某房地產公司計劃出租70套相同的公寓房．當每套房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數倍)，就會多一套房子不能出租．設已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應定為元．素養提升例題中通過用字母表示變量，將酒后駕車時間抽象為不等式問題，將租房最大利潤抽象為函數的最值問題．1．某工廠6年來生產某種產品的情況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變，則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系圖象正確的是()2．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2018年5月1日12350002018年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程．在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為()A．6升B．8升C．10升D．12升3．(2018·大同模擬)將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應定為()A．85元B．90元C．95元D．100元4．國家規定某行業征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是()A．560萬元 B．420萬元C．350萬元 D．320萬元5．某大型民企為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該民企2016年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2017年B．2018年C．2019年D．2020年6．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元B．11萬元C．43萬元D．43.025萬元7．某種病毒經30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規律為y＝ekt(其中k為常數，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數)，則k＝________，經過5小時，1個病毒能繁殖為________個．8.(2018·湖北八校聯考)某人根據經驗繪制了2018年春節前后，從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿千克．9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為m.10．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，投入的廣告費應為．(用常數a表示)11．某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以vkm/h的速度直達災區，已知某市到災區公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么這批物資全部到達災區的最少時間是h．(車身長度不計)12．某書商為提高某套叢書的銷售量，準備舉辦一場展銷會．據市場調查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到(15－0.1x)萬套．現出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數為10.假設不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得