§2無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質

本節討論無窮積分的性質,并用這些性質得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數無窮積分的收斂判別法三、一般函數無窮積分的收斂判別法返回§2無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分定理11.1收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價性質1為任意常數,則即根據反常積分定義,容易導出以下性質1和性質2.性質1為任意常數,則即根據反常積分定義,容易導出以下性質性質2性質2h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準則的必要性,例1,f(x),g(x),若h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由再由柯西準則的充分性,再由柯西準則的充分性,二、非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數無窮積分的判別法)設定義在上的非負函數f

在任何收斂的充要條件是:證設二、非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數無窮積非負函數

f,g在任何有限區間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設定義在上的兩個增函數的收斂判別準則,

從而F(u)是單調遞增的由單調遞存在滿足非負函數f,g在任何有限區間[a,u]上可積,證

由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立.證由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否例2判別的收斂性.解顯然設f(x),g(x)是上的非負連續函數.證例3例2判別的收斂性.解顯然設f(x),g(x)是推論1設非負函數f和g在任何[a,u]上可積,且證由于推論1設非負函數f和g在任何[a,u]上可證

即證即無窮積分的性質及收斂判別課件推論2設f是定義在上的非負函數,在任何推論2設f是定義在上的非負限區間[a,u]上可積.推論3設f是定義在上的非負函數,在任何有說明:推論3是推論2的極限形式，讀者應不難寫出它的證明.限區間[a,u]上可積.推論3設f是定義在例4討論的收斂性(k>0).解(i)例4討論的收斂性(k>0).解(i)若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性.三、一般函數無窮積分的判別法何有限區間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性.三因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,對因因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利使得使得因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調性,用積分第二中值定理，對于任意的使得因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別由柯西準則,[證法2]由柯西準則,[證法2]由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的；由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的類似可證:類似可證:復習思考題反之呢?復習思考題反之呢?無窮積分的性質及收斂判別課件§2無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質

本節討論無窮積分的性質,并用這些性質得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數無窮積分的收斂判別法三、一般函數無窮積分的收斂判別法返回§2無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分定理11.1收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價性質1為任意常數,則即根據反常積分定義,容易導出以下性質1和性質2.性質1為任意常數,則即根據反常積分定義,容易導出以下性質性質2性質2h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準則的必要性,例1,f(x),g(x),若h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由再由柯西準則的充分性,再由柯西準則的充分性,二、非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數無窮積分的判別法)設定義在上的非負函數f

在任何收斂的充要條件是:證設二、非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數無窮積非負函數

f,g在任何有限區間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設定義在上的兩個增函數的收斂判別準則,

從而F(u)是單調遞增的由單調遞存在滿足非負函數f,g在任何有限區間[a,u]上可積,證

由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立.證由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否例2判別的收斂性.解顯然設f(x),g(x)是上的非負連續函數.證例3例2判別的收斂性.解顯然設f(x),g(x)是推論1設非負函數f和g在任何[a,u]上可積,且證由于推論1設非負函數f和g在任何[a,u]上可證

即證即無窮積分的性質及收斂判別課件推論2設f是定義在上的非負函數,在任何推論2設f是定義在上的非負限區間[a,u]上可積.推論3設f是定義在上的非負函數,在任何有說明:推論3是推論2的極限形式，讀者應不難寫出它的證明.限區間[a,u]上可積.推論3設f是定義在例4討論的收斂性(k>0).解(i)例4討論的收斂性(k>0).解(i)若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性.三、一般函數無窮積分的判別法何有限區間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性.三因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,對因因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.一般函數的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判定理11.5(狄利使得使得因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調性,用積分第二中值定理，對于任意的使得因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別由柯西準則,[