第4章數據包絡分析(DEA)

DEA(DataEnvelopmentAnalysis)方法又稱為數據包絡分析方法，是對多指標投入和多指標產出的相同類型部門，進行相對有效性綜合評價的一種新方法，也是研究多投入多產出生產函數的有力工具。

DEA方法是美國著名運籌學家查恩斯(A.Charnes)和庫伯(W.W.Cooper)教授于1978年首先提出的。

在國外，DEA方法已經成功地應用于銀行、城市、醫院、學校及軍事等方面效率的評價，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業和公司的效率評價中，也顯示出巨大的優越性。例如，用DEA

方法對美國大銀行效率評價的研究，取得了極大的成功。應用DEA方法評價部門的相對有效性的優勢地位，是其它方法所不能取代的。在國內，經濟和管理領域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應用。例如，紡織工業部門所屬的棉紡企業中，利用工業普查資料對177個企業的綜合經濟效益進行評價，取得了滿意的結果。DEA方法在冶金工業評價、城市供熱系統規劃、機床工業管理、科技情報機構功能與效益評價、企業技術進步分析等方面的研究，都取得一系列重要應用成果。4.1DEA模型

一、DEA模型概述

對具有相同類型的部門、企業或者同一企業不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業或時期稱為決策單元。評價的依據是決策單元的一組投入指標數據和一組產出指標數據。

投入指標是指決策單元在經濟和管理活動中需要耗費的經濟量，例如固定資產原值、流動資金平均余額、自籌技術開發資金、職工人數、占用土地等。

產出指標是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經濟活動產生成效的經濟量，例如總產值、銷售收入、利稅總額、產品數量、勞動生產率、產值利潤率等。指標數據是指實際觀測結果，根據投入指標數據和產出指標數據評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業或時期之間的相對有效性。

DEA方法就是評價多指標投入和多指標產出決策單元相對有效性的多目標決策方法。

二、C2R模型及其基本性質

1.C2R模型

設有n個部門(企業)，稱為n個決策單元，每個決策單元都有p種投入和q種產出，分別用不同的經濟指標表示。這樣，由n個決策單元構成的多指標投入和多指標產出的評價系統，可以用下圖表示：

V決策單元12…k…nv1→x11x12…x1k…x1n投入v2→x21x22…x2k…x2n………………

……vp→xp1xp2…xpk…xpnxik表示第k個決策單元第i種投入指標的投入量，xik＞0；（是已知數據）

vi表示第i種投入指標的權系數，

vi≥0（是變權數）

決策單元12…k…n

Uy11y12…y1k…y1n→u1y21y22…y2k…y2n→u2產出……………………yq1yq2…yqk…yqn→uqykj表示第k個決策單元第j種產出指標的產出量，ykj＞0；（是已知數據）

uj表示第k種產出指標的權系數，uj≥0（是變權數）

設投入指標和產出指標的權系數向量分別為

V=(v1，v2，…，vp)T

，U=(u1，u2，…，uq)T

對每一個決策單元k

，定義一個效率評價指標

即：效率指標hk等于產出加權之和除以投入加權之和，表示第k個決策單元多指標投入和多指標產出所取得的經濟效率。可以適當地選擇權系數U、V，使得hk≤1。

現在，建立評價第k0個決策單元相對有效性的C2R模型。設第k0個決策單元的投入向量和產出向量分別為：

效率指標h0=hk0。在效率評價指標hk≤1(k=1,2,…，n)的約束條件下，選擇一組最優權系數

U和V，使得h0達到最大值，構造優化模型(分式規劃)：

此模型稱為C2R模型，是最基本的DEA模型，用C2R模型評價第k0個決策單元的有效性，是相對于其它決策單元而言的，故稱為評價相對有效性的DEA模型。

作Charnes-Cooper變換，轉化為一個等價的線性規劃模型。

轉化為一個等價的線性規劃模型：…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…，對應的對偶變量記為1，…………，對應的對偶變量記為n，對應的對偶變量記為

展開可寫為：

其對偶規劃為：…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

引入松弛變量將不等式約束化為等式約束，得【例1】設有4個決策單元，2個投入指標和1個產出指標的評價系統，其數據如下圖。寫出評價第1個決策單元相對效率的C2R模型。1234決策單元投入1→13342→31321121→1產出

解：（P）：MaxVP=1

s.t.1+32-1≥031+2-1≥031+32-21≥041+22-1≥01+32=11,2,1≥0（D）：MaxVD=s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=31+2+23+4–s+1=11,2,3,4,s-1,s-2s+1≥02.評價系統的DEA有效性：決策單元k0為DEA有效的定義

定義1如果線性規劃(P)的最優解滿足下列條件

VP=0T·Y0=1

則稱決策單元k0為弱DEA有效。定義2如果線性規劃(P)的最優解滿足條件

VP=0T·Y0=1

，并且0＞0,0＞0

則決策單元k0為DEA有效。

定理1

線性規劃(P)及其對偶規劃(D)都有可行解，因而都有最優解，并且最優值

VP=VD≤1

定理2關于對偶規劃(D)，有

①

如果(D)的最優值VD=1，則決策單元k0為弱DEA有效；反之亦然；②如果(D)的最優值VD=1，并且每個最優解都滿足條件：s0-=0,s0+=0，則決策單元k0為DEA有效；反之亦然。

定理3

決策單元的最優效率指標VP與投入指標值Xik及產出指標值Ykj的量綱選取無關。3.評價系統DEA有效性的判定

在實際應用中，無論利用(P)還是(D)，上述判斷都并非易事。為了方便地使判定決策單元DEA有效，查恩斯和庫伯引用了非阿基米德無窮小量的概念。從而，可以利用單純形方法求解線性規劃問題，來判定決策單元的DEA有效性。設是非阿基米德無窮小量，在廣義實數域內，表示一個小于任何正數且大于零的數，考慮帶有非阿基米德無窮小量的C2R模型：

其中=(1,1,…,1)是元素均為l的p維向量，eT=(1,1,…,1)是元素均為l的q維向量。

定理4設為非阿基米德無窮小量，線性規劃（D）的最優解為0,s0-,s0+,0，有

①

若0

=1，則決策單元k0為弱DEA有效；

②

若0

=1，并且s0-=0,s0+=0，則決策單元k0為DEA有效。利用模型一次計算就能夠判定決策單元是否DEA有效。在實際操作中，只要取足夠小，例如取

=10-6。用單純形法求解，通常可利用線性規劃軟件(如QSB，Lindo等)，在計算機上實現。【例2】設有4個決策單元，2個投入指標和1個產出指標的評價系統，其數據如下圖。判定各個決策單元是否DEA有效。1234決策單元投入1→13342→31321121→1產出

解：①決策單元1所對應的線性規劃（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=31+2+23+4–s+1=11,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優解0=(1,0,0,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=1因此，決策單元1為DEA有效。④決策單元4所對應的線性規劃（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+s-1=431+2+33+24+s-2=21+2+23+4–s+1=11,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優解0=(0,3/5,1/5,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=3/5＜1因此，決策單元4不是DEA有效。②同樣地，經過判定，決策單元2，3均為DEA有效。4.DEA有效決策單元的構造

評價系統并非所有的決策單元都是DEA

有效，經過判定后，如何對一些非DEA有效的決策單元進行分析，指出造成非有效的原因，并據此改進為具有DEA有效性的決策單元。為此，需要討論決策單元在相對有效面上的"投影"。

定義3DEA的相對有效面(有效生產前沿面)：0T·X0－0T

·Y0=0

如果決策單元k0是DEA有效，線性規劃(P)有最優解0、0，并且滿足條件

Vp=0T·Y0=1，0＞0，0＞0

而0T·X0=1，故0T·X0=0T

·Y0

。于是，點(X0,Y0)在超平面上。并且超平面上的其它點(X,Y)所表示的決策單元也是DEA

有效的，因此，可以利用在相對有效面上“投影”的方法，改進非DEA有效的決策單元。

定義4設0、s0-、s0+、0是線性規劃問題（D）的最優解。令

稱為決策單元k0對應的(X0,Y0)在DEA相對有效面上的"投影"。構成了一個新的決策單元，它是否DEA

有效，有下面的定理。

定理5設是決策單元k0對應的(X0,Y0)在DEA相對有效面上的"投影"，則新決策單元相對于原來的n個決策單元來說，是DEA有效的。新決策單元給出了一個改進非DEA有效決策單元的方法，亦即構造新的DEA有效決策單元的方法。【例3】設有4個決策單元，2個投入指標和1個產出指標的評價系統，其數據如下圖。對非DEA有效的決策單元，求出它在DEA相對有效面上的“投影”，并判定新決策單元的

DEA

有效性。1234決策單元投入1→13342→31321121→1產出

解：決策單元1，2，3均為DEA

有效，決策單元4為非DEA

有效，決策單元4對應的線性規劃（D）的最優解為0=(0,3/5,1/5,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=3/5，令

則新決策單元是決策單元4

對應的(X0,Y0)在DEA相對有效面上的"投影"，

它(作為第5個決策單元)與原來的4個決策單元構成新的評價系統，如下圖：12345

決策單元投入1→133412/52→31326/511211→1產出

對應的線性規劃模型（D）為

對應的線性規劃模型（D）為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+(12/5)5

+s-1=(12/5)31+2+33+24+(6/5)5

+s-2=(6/5)1+2+23+4+5

–s+1=11,2,3,4,5

,s-1,s-2s+1≥0利用單純形法求解，得到最優解0=(0,3/5,1/5,0,0)T

，S10-=S20-=S10+=0，0=1因此，新決策單元5是DEA有效的。

由此例看出，在評價系統中決策單元4非DEA有效，用“投影”方法構造了在DEA相對有效面上的新決策單元5。并且分析決策單元4非DEA有效的原因是：投入指標量過大，經過改進，只需要原投入量的3/5，因為決策單元4原投入量為(4，2)T，改進后應為(12/5，6/5)T，后者為前者的3/5，產出量不變，相對效率提高，即可轉化為DEA有效的決策單元。

4.2DEA有效性的經濟意義一、生產函數和生產可能集

1.生產函數y=f(x)

：在單投入和單產出的情況下，生產函數(一般是增函數)表示理想的生產狀態，即投入x所能獲得的最大產出y。因此，生產函數曲線上的點(x,y)所對應的決策單元，從生產函數的角度看，是處于技術有效狀態,生產函數圖形如下圖，A、C處于技術有效狀態。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)①點A將曲線分為兩部分，在點A之左，y’＞0，y’’＞0，曲線是下凸的在生產函數的下凸區間，表示增加投入量可以使產出量的遞增速度增加，此時稱為規模收益遞增，廠商有投資的積極性；在點A之右，y’＞0，y’’＜0，曲線是上凸的，在此區間，增加投入量只能使產出量增加的速度減小，此時稱為規模收益遞減，廠商己經沒有增加投資的積極性。

點A是生產函數曲線的拐點，點A所對應的決策單元，既是技術有效，也是規模有效。這是因為該決策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產規模。

②點C在生產函數曲線上，對應的決策單元技術有效，但不是規模有效。這是由于點C位于規模收益遞減區間。

③點B不在生產函數曲線之上，并位于規模收益遞減區域，點B所對應的決策單元既不是技術有效，也不是規模有效。2.生產可能集

所有可能的生產活動構成的集合，記作T={(X,Y)|產出Y可由投入X生產出來}

由于(Xk,Yk)是決策單元k的生產活動，于是有(Xk,Yk)T，k=1,2,…,n

在C2R模型中，生產可能集應該滿足下面的四條公理：

公理1(凸性)對于任意(X1,Y1)T、(X2,Y2)T，以及任意[0,1]，均有(X1,Y1)+(1-)(X2,Y2)=(X1+(1-)X2

，Y1+(1-)Y2)T

即是說,如果X1,X2分別以

,1-加權和作為投入量，則Y1,Y2以同樣的加權和作為產出量。

公理2(錐性)對于任意(X,Y)T，以及任意數≥0，均有(X,Y)=(X,Y)T

即是說，如果以X的倍作為投入量，則產出量是Y的同樣倍數。

公理3(無效性)對于任意(X,Y)T，①若X’≥X，則均有(X’,Y)T；②若Y’≤Y，則均有(X,Y’)T。即是說，在原生產活動中，單方面地增加投入量或者減少產出量，生產活動總是可能的。

公理4(最小性)生產可能集T是滿足公理1～3的所有集合的交集。

由n個決策單元(Xk,Yk)的生產活動所描述的生產可能集，滿足公理1～4是唯一確定的。這個生產可能集可以表示為：【例4】設有單投入單產出3個決策單元的評價系統，其數據如下圖：1231→245213.5→1

則其生產可能集為

二、模型C2R下DEA有效性的經濟意義

由于(X0,Y0)T，即(X0,Y0)滿足條件：

線性規劃模型（D’）表示在生產可能集內，當產出Y0保持不變的情況下，盡量將投入量X0按同一比例減少。

如果投入量X0不能按同一比例θ減少，即模型（D’）的最優值VD’

=0=1，決策單元k0同時技術有效和規模有效；

如果投入量X0能按同一比例減少，模型（D’）最優值VD’

=0＜1，決策單元k0不是技術有效或規模有效。

設模型（D）的最優解為0、s0-、s0+、0

，分三種情況進一步討論：①0=1，且s0-=0、s0+=0：決策單元k0為DEA有效。其經濟意義是：決策單元k0的生產活動(X0,Y0)同時為技術有效和規模有效。所謂技術有效，是指對于生產活動(X0,Y0)，從技術角度來看，資源獲得了充分利用，投入要素達到最佳組合，取得了最大的產出效果，效率評價指標h0=Vp=VD=0=1。②0=1，但至少有某個si0-＞0或者至少有某個sj0+＞0：決策單元k0為弱DEA有效。其經濟意義是：決策單元k0不是同時技術有效和規模收益有效。若某個si0-＞0，表示第i種投入指標有si0-沒有充分利用；若某個sj0+＞0，表示第j種產出指標與最大產出值尚有sj0+的不足。

③0

＜1：決策單元k0不是DEA有效。其經濟意義是：決策單元k0的生產活動(X0,Y0)既不是技術效率最佳,也不是規模收益最佳。

例如，

=0.9＜1，模型（D）的約束條件為

這表示：得到產出量Y0，至多只需投入量0.9X0，即生產活動(X0,Y0)的投入規模過大，故不是同時為技術效率最佳和規模收益最佳。【例5】設有單投入單產出3個決策單元的評價系統(數據如下)，討論各決策單元的DEA有效性。1231→245213.5→1

解：①決策單元1的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=221+2+3.53–s+1=21,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優解0=(1,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1

因此，決策單元1同時技術有效和規模有效。生產活動(2，2)在圖中對應點A，表示同時取得最佳技術效率和最佳規模收益。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)②決策單元2的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=421+2+3.53–s+1=11,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優解0=(1/2,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1/4＜1

因此，決策單元2不是DEA有效。

生產活動(4，1)在圖中對應點B，既非技術有效，也非規模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)③決策單元3的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.21+42+53+s-1=521+2+3.53–s+1=3.51,2,3,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優解0=(7/4,0,0)T，S10-=S10+=0，0=7/10＜1

因此，決策單元3不是DEA有效。

生產活動(5，3.5)在圖中對應點C，該點在生產函數曲線上，僅是技術有效而不是規模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)

三、生產活動規模收益的判定

定理6設線性規劃（D）的最優解為0、s0-、s0+、0

①若則決策單元k0規模收益不變；②若則決策單元k0規模收益遞增；③若則決策單元k0規模收益遞減。【例6】設有單投入單產出5個決策單元的評價系統(數據如下圖)。試討論決策單元1、3、5

的規模收益問題。123451→35426

解：①決策單元1的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=321+42+3+4+4.55–s+1=21,2,3,4,5,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優解0=(0,1/2,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=5/6＜1

因此，決策單元1非DEA有效。24114.5→1

由于所以決策單元1規模收益遞增。②決策單元2的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=521+42+3+4+4.55–s+1=41,2,3,4,5,s-1,s+1≥0

利用單純形法求解，得到最優解0=(0,1,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1

因此，決策單元2為DEA有效。

由于所以決策單元2規模收益不變。

利用單純形法求解，得到最優解0=(0,9/8,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=15/16＜1

因此，決策單元5非DEA有效。

由于所以決策單元2規模收益遞減。

同樣地，可以判定決策單元3、4均為規模收益遞增。③決策單元5的線性規劃模型（D），取

=10-6，為（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s+1)]s.t.31+52+43+24+65+s-1=621+42+3+4+4.55–s+1=4.51,2,3,4,5,s-1,s+1≥04.3DEA軟件介紹1.DEAP-Version2.1（Win4deap1.1.2）http://.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIER-Version4.1Chttp://.au/econometrics/cepa.htm3.EfficiencyMeasurementSystem-Version1.3.0

http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/4.LINDO軟件執行程序說明文檔輸出文檔程序參數設定輸入文檔1個產出2個投入2個投入價格1年資料5個DMU1個產出2個投入1年資料5個DMU1個產出1個投入1個產出1個投入3年資料程序參數設定，用“記事本”打開設定后，以“另存新檔”方式存檔，擴展名為“ins”5個DMU1年資料1個產出2個投入程序參數設置文件名.ins4.4DEA主要應用領域1.經濟體效率評價：企業效率，銀行效率,鐵路運營地區FDI引進效率,投資基金業績中國各地區健康生產效率2.運行過程評價:并購效率,電力改革績效，鋼鐵行業3.規模效率:中國轎車企業規模經濟效率，科研機構規模效益,壽險公司規模效率4.技術進步:江淮汽車,中國全要素生產率估算與分析農業創新系統,各省勞動生產率5.其他方面:衰退產業識別,物流園區投資規劃,方案評價北京市可持續發展能力，作業分析DEA方法在評價中的應用

應用DEA方法評價企業經濟效益的步驟是：①確定評價目標；②建立評價指標體系；③收集和整理數據；④建立DEA模型，計算分析；⑤作出評價，提出決策建議。在實際應用中，計算過程均可利用DEA軟件，也可利用線性規劃軟件（如QSB、Lindo等）在計算機上實現。

利用DEA方法，評價棉紡織企業的經濟效益。評價對象是紡織部門所屬177個大中型企業，每個企業作為一個決策單元。根據產出規模，將這些企業分為大型企業組和中型企業組分別進行評價。經過多次篩選和研究，確定評價系統的投入和產出指標。產出指標是：

①

銷售收入

(百萬元);

②

利稅總額

(百萬元);

③

工業總產值

(百萬元);④工業凈產值(百萬元)。投入指標是：

①

年流動資金平均余額

(百萬元);②年固定資產凈值平均余額(百萬元);③

工業生產能耗

(折標準煤，千噸);

④

年職工平均人數

(百人);

⑤

產品銷售成本

(百萬元);⑥生產用固定資產原值(百萬元)。

評價結果表明，大型企業組經濟效益好的比例遠遠超過中型企業組，這是因為大型企業的設備條件、技術進步和管理水平均優于中型企業的緣故。為提高企業的經濟效益，還可以對各個企業進行評價分析，找到改善經營管理，提高經濟效益的途徑。

[案例]某衛生局下屬四個醫院相對有效性評價(一、二、三、四醫院)。

一、投入(投入要素)指標：

①非醫務人員員工數;

②

開支費用;

③

可用的病床---

天數量