概率論講義1.確定性現(xiàn)象.在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。第一章隨機事件及其概率3.概率規(guī)律和統(tǒng)計規(guī)律性。2.隨機現(xiàn)象:§1.1隨機事件

隨機試驗:

可在相同的條件下重復(fù)進行;(2)重復(fù)試驗有多個可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗只出現(xiàn)一個結(jié)果，且試驗前

不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果。樣本空間隨機試驗中，每一個可能結(jié)果稱為該試驗的一個樣本點,記為.全體樣本點組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為。E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.

1={H,T}

1=H,2=T

E4:電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).4={0，1，2，}1=0,

2=1,

3=2E3:擲一顆骰子,觀察點數(shù).則

3={1,2,3,4,5,6}1=1

2=2

6=6E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}

E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命.

5={t|t≥0}1.離散樣本空間.2.連續(xù)樣本空間.如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點”;E5中{1000<t<3000}(小時).隨機事件“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情”叫做隨機事件,簡稱事件.隨機事件：樣本空間中樣本點的集合判斷隨機事件發(fā)生基本事件:由單個樣本點組成如:{H},{T}.必然事件:樣本空間自身復(fù)合事件:多個樣本點組成

如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù)}.

不可能事件：空集事件間的關(guān)系與事件的運算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:AB:

A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

若A

B且AB,則A=B2.事件的并:3.事件的交：AB:“事件A與B同時發(fā)生”4.事件的差:A-B:“A發(fā)生而B不發(fā)生”5.互不相容(互斥):注：基本事件兩兩互不相容6.互逆事件：7.事件的運算律:交換律:結(jié)合律:分配律：解釋:德摩根公式推廣：德摩根公式:例1高射炮對目標飛機射擊三次，設(shè)Ai表示“第i次擊中飛機”，用Ai表示下列事件(1)B1“只有第一次擊中飛機”（2）B2“恰有一次擊中飛機”（3）B3“至少有一次擊中飛機”（4）B4“至多兩次擊中飛機”解(1)§2.頻率與概率(一)

頻率

1.定義：將一試驗E在相同的條件下重復(fù)進行n次,如果事件A發(fā)生了nA次,則比值

Fn(A)=nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率.頻率的特性:波動性和穩(wěn)定性.

(1)波動性:對于同一個試驗,不同的試驗序列其頻率不同;

(2)穩(wěn)定性:隨著n逐漸增大,事件A的頻率總在某一定值P(A)的附近擺動而逐漸穩(wěn)定。P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。拋幣試驗英文字母使用頻率表:(%)

ABCDEFGHI8.191.473.833.9112.252.261.714.57

7.10

JKLMNOPQR0.140.413.773.347.067.262.890.096.85STUVWXYZ

6.369.412.581.091.590.211.580.08(二)概率頻率的穩(wěn)定值P(A)反映了事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，稱P(A)為事件A的概率。1統(tǒng)計定義：2公理化定義：設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一事件A賦予一實數(shù)P(A)，如果P(A)滿足如下三條公理：則稱P(A)為事件A的概率。概率的性質(zhì):

P(B)=P(A)+P(B-A),這個式子稱為“加奇減偶公式”.例1設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.§3.古典概型古典概型的特點:(1)有限樣本空間:={1,2,,n}(2)等可能樣本點:P(1)=P(2)=

P(n)計算公式:

由概率定義及等可能性,可得例１.設(shè)一袋中有編號為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號球的概率,（記為事件A）(2)最小號碼為5的概率.（記為事件B）解：從9個球中任取3只球,共有種取法.（2）最小號碼為5,共有種取法.（1）取到1號球共有種取法推廣：有N件產(chǎn)品,其中M件次品,從中任取n件,求取到k件次品的概率.M件次品中取k件,取法數(shù)為從N-M件正品中取n-k件,取法數(shù)為,于是解:記Ak:取到k件次品

N件中任取n件,共有取法,

例2將n只球一只一只隨機地放入N(N≥n)個盒子中去,試求

A:1-n號盒子各有一球的概率B:每個盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限)例3n把看起來一樣的鑰匙，只有一把能開門，用這些鑰匙試開門（不重復(fù)），求第第k次開門成功的概率。解：A表示“第k次試開成功”方法1:考慮n把鑰匙的全排列，第j個位置對應(yīng)第j次試開用的鑰匙。方法2:考慮第k個位置上鑰匙出現(xiàn)的情況則總樣本點數(shù)為n!,A包含(n-1)!個樣點。于是P(A)=1/n.例4.盒子中有a只黑球，b只白球，從中任取一只，觀察顏色后放回再取下一只，共抽取n次，求事件A“取到k個黑球”的概率。例5.15名新生中有3名是黨員,將這15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,問每一個班級各分配到一名黨員的概率是多少(記為事件A)?解:15名新生平均分配總的分法數(shù)為:3名黨員的分配數(shù)為3!,另12名新生的分配數(shù)為§4.

條件概率

設(shè)試驗E的樣本空間為

,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率,記為P(B|A).(一)定義:在古典概型中:樣本空間由n個樣本點組成,若事件A包含nA個樣本點，AB包含nAB個樣本點，則定義:

設(shè)A,B是兩個事件,且P(A)>0,稱為在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率.

性質(zhì)(條件概率是一個概率)例1根據(jù)長期氣象紀錄，甲乙兩城市一年中雨天的概率分別為20%和18%,同時下雨的概率為12%。問甲乙兩城市氣候是否相關(guān)？解：以A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是所以兩城市氣候有一定的相關(guān)性。例2袋中有某產(chǎn)品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回從中連續(xù)抽兩件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).(二)乘法定理:推廣:若P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).例３透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.例4：設(shè)盒中有a個黑球，b(b>1)個白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和貝葉斯公式:例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？全概率公式:例1(續(xù)).Ａ:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn)元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05B1,B2,B3構(gòu)成樣本空間Ω的一個劃分運用全概率公式可得例2某產(chǎn)品整箱出售每箱20個，各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購買時選取一箱從中任取4只檢查，若無次品則買下該箱產(chǎn)品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個次品”(j=0,1,2),則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間Ω的一個劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”例3:甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再從乙箱中取1球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.解設(shè)Bi={從甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間Ω的一個劃分。由全概率公式貝葉斯公式:例1(續(xù))任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?廠次品份額10.020.1520.010.8030.030.05注:1.P(Bi)稱為先驗概率。事件A表示試驗結(jié)果，事件B1,B2,…,Bn是引起事件A發(fā)生的n個原因。2.P(Bi|A)通常稱為后驗概率。它表示結(jié)果A的發(fā)生是由第i個原因引起的概率。求結(jié)果：全概公式求原因：貝葉斯公式

例4.機器良好時,生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%,而當機器有故障時,其合格率為30%,每天開機時機器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,問機器良好的概率是多少?解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.例2(續(xù))某產(chǎn)品整箱出售每箱20個，各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購買時選取一箱從中任取4只檢查，無次品則買下該箱產(chǎn)品，若顧客買下某箱產(chǎn)品，求該箱無次品的概率。解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個次品”(j=0,1,2),則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間Ω的一個劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”。由貝葉斯公式§1.5

獨立性若P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).一般地,P(B|A)≠P(B).定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨立的事件.注：必然事件(不可能事件)與任何事件A都獨立定理：如果事件A,B相互獨立，且P(A)>0,則

P(B|A)=P(B)例1.甲、乙兩射手向同一目標獨立射擊,甲擊中目標的概率為0.9，乙擊中目標的概率為0.8，求在一次射擊中目標被擊中的概率。解：A—甲擊中目標，B—乙擊中目標，定義2:設(shè)A,B,C是三個事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱A,B,C為相互獨立的事件.定義3：對n個事件A1,A2,…,An,如果對所有可能的組合1≤i<j<k<…≤n成立著

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),

則稱這n個事件A1,A2,…,An相互獨立.定義4：設(shè)A1,A2,…,An是n個事件，如果對任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這n個事件兩兩獨立.注：若n個事件相互獨立，必蘊含這n個事件兩兩相互獨立.反之不成立。例2.一均勻正四面體,其一、二、三面分別染成紅白黑三色,第四面染上紅白黑三色.現(xiàn)以分別A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的事件,則由于四面體中有兩面有紅色,因此但是P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)因此A,B,C不是相互獨立的.同理P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C兩兩獨立.P(A)=1/2例3.假若每個人血清中有肝炎病毒的概率為0.4%,混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解：以Ai(i=1,2,…100)記“第i個人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互獨立.所求概率為例4.設(shè)有4個元件,每個元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個系統(tǒng)的可靠性.二:先并聯(lián)后串聯(lián)一:先串聯(lián)后并聯(lián)例5.某類高射炮打飛機命中率為0.6,為了以99%以上的概率命中目標，應(yīng)配備多少門大炮？2.袋子中有編號1-10十個球，從中任取一個若不是“2”號球則放回，若是則不放回。然后從袋子中再任取一球，則取到”1”號球的概率是多少？3.甲乙丙三個班級學生數(shù)分別為20，25，30，其中女生數(shù)為7，5，9.任選一個班級，從中抽出一名學生，若抽得一名女生則她屬于甲班的概率是多少？練習第二章隨機變量及其分布§2.1

隨機變量的概念例1從一批產(chǎn)品中任意抽取n件,觀察出現(xiàn)的“次品數(shù)”X1,X1的所有可能取值為:0,1,2,…,n.j件次品可用(X1=j)表示.例2記錄某接待站一天中來訪的人數(shù)X2,“接待k個人”可用(X2=k)表示.例4擲一枚硬幣觀察正反面.試驗結(jié)果為:1={正面},２={反面}.試驗的結(jié)果可以用變量X4

表示．例3測試電子元件壽命的試驗中,“元件壽命為t小時”可以用(X3=t)來表示.例5擲兩枚硬幣觀察正反面.試驗結(jié)果為:1={正正},２={正反},3={反正},4={反反}.用變量X5

表示:定義２.1如果對于樣本空間中每個樣本點，都有唯一的一個實數(shù)X()與之對應(yīng)，則稱X()為隨機變量．簡記X()為X.分類：(1)離散型，(2)連續(xù)型.§2.2

離散型隨機變量的概率分布定義:若隨機變量全部可能取值是有限或可列無窮多,則稱為離散型隨機變量.或列表例1.設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為p，一只只進行抽取檢驗，X表示首次檢驗到次品時抽取的產(chǎn)品數(shù),

求X的分布律。解:

X1234…

pk(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p…

p

3.幾種常用離散型分布(一)0-1分布X只取0和1兩個值，且

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.則稱X服從(0-1)分布。(二)二項分布n重貝努利試驗：將試驗獨立重復(fù)n次X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為例1.已知一大批電子元件的一級品率為0.2,隨機抽查20只,求其中一級品數(shù)X的分布律.解：抽查20只元件可以看作是20重貝努利試驗，則結(jié)論:(1)當(n+1)p為整時，P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1處同時達到最大。

(2)(n+1)p非整時，P(X=k)在k=[(n+1)p]

處達到最大值。使得P(X=k)達到最大值的數(shù)k稱為最可能成功的次數(shù)。求k.例2某種產(chǎn)品的次品率為2%,隨機抽查200件，則次品數(shù)多于6件的概率是多少？解設(shè)抽出的次品數(shù)為X,則當n較大,p又較小時,

二項分布的計算比較困難,可以用Poisson分布近似計算.(三)泊松分布(Poisson)泊松(Poisson)定理：意義：當n很大且p又較小,np適中時(≤10)例2(續(xù))某種產(chǎn)品的次品率為2%,隨機抽查200件，則次品數(shù)多于6件的概率是多少？解設(shè)抽出的次品數(shù)為X,則由泊松定理可得=0.11(查表)例4:設(shè)有同類型設(shè)備500臺獨立工作,每臺的故障率都是0.01,求故障設(shè)備不超過9臺的概率?解:記故障臺數(shù)為X,則X~B(500,0.01).(四)幾何分布貝努利試驗序列中,試驗成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p.將試驗進行到成功為止.X表示所需的試驗次數(shù),則X的分布律為:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.記為X~g(p).注：有一大批產(chǎn)品次品率為p，X表示首次檢驗到次品時抽取的產(chǎn)品數(shù)，則

X~g(p).(五)負二項分布貝努利試驗序列中,試驗成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p.將試驗進行到第r次成功為止.X表示所需的試驗次數(shù),則X的分布律為:稱為X服從負二項分布.記為X~Nb(r,p).注：有一大批產(chǎn)品次品率為p，X表示檢驗到第r個次品時抽取的產(chǎn)品數(shù)，則

X~Nb(r,p).(六)超幾何分布N件產(chǎn)品中有M件次品，N-M件正品。隨機抽取n件產(chǎn)品，X表示抽得的次品數(shù)。則X的分布律為這個分布稱為超幾何分布(l=min(M,n)).§2.3

隨機變量的分布函數(shù)定義：X是一隨機變量,對任意xR,函數(shù)

F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù).P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).(單調(diào)性)x2>x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0≤F(x)≤1且(規(guī)范性)(3)F(x)至多有可列個間斷點,而在其間斷點

x0處是右連續(xù)的,(右連續(xù)性)例2.已知X的分布律

X-123

pk1/41/21/4

求X的分布函數(shù)F(x),并求P{3/2<X≤5/2}.§2.4

連續(xù)型隨機變量的概率密度則稱X為連續(xù)型隨機變量，函數(shù)f(x)為X的概率密度函數(shù).相關(guān)結(jié)論：(4)

對任意實數(shù)x，有P{X=x}=0.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。例2.連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求:(1)A,B(2)概率密度f(x)(3)求P(X>1).解:(1)所以有B=-A=-14.幾個常用的連續(xù)型分布(一)均勻分布:則稱X在[a,b]上服從均勻分布,記X~U[a,b].(二)指數(shù)分布:定義:如果隨機變量X的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為(>0)的指數(shù)分布,記X~e().例4.某電子元件的壽命服從參數(shù)為0.1(小時-1)的指數(shù)分布。元件在故障或者工作時間達到20(小時)時更換。求元件實際工作時間的分布。指數(shù)分布的無記憶性:定理若X~e(),則對任意的正數(shù)s,t有(三)正態(tài)分布:性質(zhì):如何計算?轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布進行計算。(2)標準正態(tài)分布:(3)

轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布引理：對于標準正態(tài)分布有例6.公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機會在0.01以下設(shè)計的，設(shè)男子身高XN(172,62)(厘米），問車門高度應(yīng)為多少？解：設(shè)車門高度為h,按題意有P(X>h)<0.01(4)標準正態(tài)分布的上分位點:(四)伽瑪分布:1.定義:如果隨機變量X的概率密度為:(1,)是參數(shù)為

的指數(shù)分布e()(p+1)=p(p),(n)=(n-1)!§2.5

隨機變量的函數(shù)的分布已知的隨機變量X的分布,求Y=g(X)的分布一、X為離散型變量例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012

pk0.20.30.10.4X-1012pk

0.20.30.10.4Y4101設(shè)X的分布律為

Xx1x2…xk…P(X=xi)p1p2…pk...記yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相同的,

則Y的分布律為:P{Y=yi)=P(X=xi)=pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=…=g(xkm),則

P(Y=yk)=P(X=xk1)+…+P(X=xkm)離散隨機變量函數(shù)的分布律的求法:二、X為連續(xù)型 ---

分布函數(shù)法先求Y的分布函數(shù)：再對y求導(dǎo)可得例2.設(shè)隨機變量X有密度函數(shù)f(x),求Y=aX+b(a>0)的概率密度。于是有若XN(,2),則有

2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險,每人保費5元.若未來一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來一年中保險公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。練習：

1.一個盒子中放有N個編號1~N的標簽N個,從中又放回地抽取n個，求取出的最大號碼X的分布率。第三章多維隨機變量及其分布

n維隨機變量定義:若X1()X2(),…,Xn()是定義在樣本空間上的n個隨機變量,則稱構(gòu)成一個n維隨機變量,簡記為X=(X1,X2,…,Xn)1.二維隨機變量(聯(lián)合)分布函數(shù):§3.1

二維隨機變量(1)F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(3)F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即

2.

二維隨機變量的分布分布律:例1.一袋子中有5個球，其中2個球上標有數(shù)字“1”，3個球上標有數(shù)字“0”。在有放回和無放回情況下各取兩個球，X,Y分別表示第一、二次取得的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回取球，對應(yīng)概律為P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)(X,Y)的分布律為=3/53/5=9/256/256/254/25例2.設(shè)隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,隨機變量Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度

二維均勻分布及二維正態(tài)分布1.二維均勻分布區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.2.二維正態(tài)分布(X,Y)具有概率密度§2.

邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律

P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)則關(guān)于X的邊緣分布律為二、邊緣分布律：邊緣分布律例1.求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。無放回取球邊緣分布律為例2.求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。p.kpk.1/41/41/41/41/167/4813/4825/48邊緣分布律為三、邊緣概率密度:所以，關(guān)于X的邊緣密度為例4.設(shè)(X,Y)在G上服從均勻分布，求其邊緣密度.解：因G的面積為1/2，所以§3.

條件分布

二維離散型變量的情況例1求Y=2時X的條件分布律。例2一射手擊中目標的概率為p(0<p<1),射中目標兩次為止。設(shè)X表示首中目標時的射擊次數(shù),以Y表示總的射擊次數(shù),求:(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律;(2)條件分布律.二維連續(xù)型隨機變量情形§4.

隨機變量的獨立性

例1.(X,Y)由聯(lián)合分布證明X與Y獨立。定理:如果(X,Y)是二維離散型隨機變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:所以X,Y相互獨立。證明(充分性):例2.判定獨立性解：P(X=0)P(Y=0)=9/25=P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=1)=6/25=P(X=0,Y=1)P(X=1)P(Y=0)=6/25=P(X=1,Y=0)P(X=1)P(Y=1)=4/25=P(X=1,Y=1)所以X,Y相互獨立。解：P(X=0)P(Y=0)=9/25≠3/10=P(X=0,Y=0)所以X,Y不獨立。定理:(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量,則X,Y相互獨立的充要條件是:證明(充分性)：例3.判定獨立性所以X,Y不獨立。例4.設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨立的充要條件是=0.例5.設(shè)隨機變量X以概率1取常數(shù)，即P(X=c)=1.證明：X與任意隨機變量Y獨立。證：若事件A為0(或1)概率事件，即P(A)=0(或1),則A與任意事件B獨立。定理：設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互獨立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨立,若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(X)和g(Y)相互獨立.§5.

二維隨機變量的函數(shù)的分布問題：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的聯(lián)合分布，如何求出Z的分布？

(X,Y)為二維離散型隨機變量例1.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律為求(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。解：列下表(1)Z1=X+Y的分布律為(2)Z2=XY的分布律為(3)Z3=max(X,Y)的分布律為證:Z=X+Y可能的取值為0,1,2,…,例3.設(shè)X,Y獨立同服從幾何分布G(p),求Z=max(X,Y)的分布律。(q=1-p)法二：令A(yù)={X≤k,Y=k},B={X=k,Y≤k}(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量Z=g(X,Y）的分布函數(shù)為和的分布：已知X,Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.例4.設(shè)X和Y相互獨立,且都服從N(0,1),求Z=X+Y的分布密度.(注意0≤X+Y≤2)商(Z=X/Y)的分布:M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:例9.兩個部件L1,L2組成的串、并聯(lián)系統(tǒng)分析：系統(tǒng)1T=min{X,Y}

系統(tǒng)2T=max{X,Y}練習1.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為(1)求邊緣密度fX(x),fY(y)(2)求條件密度fX|Y(x|y)2.將兩封信隨機投入編號為1，2，3，4的4個郵箱，用X,Y分別表示1，2號郵箱中的郵件數(shù)，求:(X,Y)的聯(lián)合分布律。（2）求X關(guān)于Y=0的條件分布律。(3)判定X,Y的獨立性(4)求X+Y的分布律。3.設(shè)隨機變量X~U[1,2],Y~U[0,2],X和Y相互獨立，令Z=Y+2X，求隨機變量Z的概率密度函數(shù)。第四章隨機變量的數(shù)字特征§1.

隨機變量的數(shù)學期望例1.已知X的分布律

X-123

pk1/41/21/4

求X的數(shù)學期望EX.例2.(一種驗血新技術(shù))普查某種疾病，有N個人去驗血(N很大)，兩種辦法:(1)每個人分別化驗,需N次；(2)k個人一組混合化驗，如果呈陰性，一次即可，如果呈陽性，則需對該組每個人重新化驗一次，共k+1次。每個人陽性反應(yīng)的概率為p，且反應(yīng)獨立，比較兩種方法的優(yōu)劣，并計算最優(yōu)的k值。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望：設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機變量X的概率密度，對X的取值區(qū)間作一分割，有隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式:例7.設(shè)X,Y相互獨立同服從N(0,1),求Emax{X,Y}.例8.某商品的市場需求量X服從[2000,4000](噸)上的均勻分布，每售出一噸掙3萬元，售不出去則每噸需保養(yǎng)費1萬元，問應(yīng)組織多少噸貨源能使收益最大化y=3500均值的性質(zhì):(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)設(shè)X,Y相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式)例9.設(shè)X~b(n,p),求EX.解：X表示n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù)，記由期望的性質(zhì)可得例10.將n個編號為1-n的球隨機放入編號為1-n的n個盒子，若球號與盒號相同，稱為一個匹配。X表示匹配數(shù)，求EX.§2.方差

計算公式:例1.設(shè)X服從(0-1)分布,求EX,DX.解：EX=0?(1-p)+1?p=p,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02?(1-p)+12?p=p,方差的性質(zhì):1.D(CX)=C2D(X);2.

X,Y相互獨立,則有

D(XY)=D(X)+D(Y);3.D(X)=0P{X=C}=1.切比雪夫不等式:例5.X~B(100,1/2),估計P(40<X<60)。§3.

常見分布的數(shù)學期望與方差二項分布泊松分布幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布練習：求伽瑪分布的期望方差。§4.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)展開可得:Cov(X,Y)=E[XY-Y·EX-X·EY+EX·EY]=E(XY)-E(X)E(Y).于是

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例1.求X,Y