計算方法引論：

微分方程數值解法常微分方程初值問題的數值解法雙曲型方程的差分解法拋物型方程的差分解法橢圓型方程的差分解法有限元方法計算方法引論(第三版)第十二章雙曲型方程差分方法差分格式的建立差分格式的收斂性差分格式的穩定性利用特征線構造差分格式計算方法引論(第三版)對流方程初值問題對流方程初值問題解特征線x-at=c(c是常數):其上u的值保持不變t=0的“波”形以速度|a|傳播，當a>0時沿x軸正方向傳播，當a<0時沿x軸負方向傳播. 計算方法引論(第三版)建立網格作平行直線

x=ih,i=0,±1,±2,…,

y=k,k=0,±1,±2,…h,

稱為網格的步長平行線的交點稱為節點為了敘述方便，用(k,j)表示網格節點(xk,tj).用u(k,j)表示u在(xk,tj)的值……計算方法引論(第三版)一些數值微分公式一階差商計算方法引論(第三版)微分方程的差分近似差商代微商近似解滿足差分方程形式1形式2r=/h截斷誤差

差分格式計算方法引論(第三版)幾種差分格式差分格式截斷誤差差分格式截斷誤差差分格式截斷誤差計算方法引論(第三版)收斂性與Courant條件

收斂性

依賴區域(a)格式(A)的依賴區域(b)格式(C)的依賴區域Courant條件-差分格式收斂的一個必要條件差分格式依賴區域應包含微分方程依賴區域.|a|h/計算方法引論(第三版)差分格式(B)的收斂性收斂定理當a>0，0ar1時差分格式(B)收斂證明誤差滿足

由于ek0=0，對固定點是固定數乃得差分格式(B)收斂計算方法引論(第三版)穩定性:ε圖方法穩定性概念若初始層誤差逐層傳播越來越大，以致到一定時候淹沒真解，這就是數值不穩定.否則是數值穩定的ε圖:差分格式(B),r=1/2穩定

計算方法引論(第三版)穩定性:ε圖方法(續)ε圖:差分格式(B),r=2不穩定差分格式(B)誤差方程初始誤差εk0任意計算方法引論(第三版)Fourier方法Fourier方法

誤差方程代入形式為的解(n任意實數)得特征方程

求增長因子G判斷:|G|1時穩定

用于差分格式(B)當a>0，0ar1時，|G|1,穩定

|G|2

計算方法引論(第三版)Fourier方法(續)用于差分格式(A)當a<0，-1ar0時，|G|1,穩定用于差分格式(C)恒不穩定計算方法引論(第三版)穩定性與收斂性適定性

微分方程問題是適定的,如果解存在、唯一、連續依賴于數據.差分格式的相容性差分格式和相應的微分方程是相容的,如果當步長h,

→0時,差分格式的截斷誤差趨向于零.

.Lax等價定理

適定的初值問題,一個與它相容的差分格式收斂當且僅當該格式穩定計算方法引論(第三版)利用特征線構造Lax格式線性插值要計算(k，j+1)點上的函數值uk,j+1.從(k，j+1)引特征線交t=tj于D,設D落在(k–1，j)和(k+1，j)間.否則Courant條件不滿足,要改變.用(k–1,j)和(k+1,j)作線性插值,得Lax格式可視為不穩定格式(C)的修正,穩定條件是

G=cosnh-iarsinnh

計算方法引論(第三版)Lax-Wendroff格式二次插值要計算(k，j+1)點上的函數值uk,j+1.從(k，j+1)引特征線交t=tj于D,設D落在(k–1，j)和(