專題29圓錐曲線的綜合問題十年大數據*全景展示年份題號考點考查內容2015卷1文5橢圓、拋物線橢圓標準方程及其幾何性質，拋物線標準方程及其幾何性質理20拋物線直線與拋物線的位置關系，拋物線存在問題的解法卷2理20直線與橢圓直線和橢圓的位置關系，橢圓的存在型問題的解法文20直線與橢圓橢圓方程求法，直線和橢圓的位置關系，橢圓的定值問題的解法2016卷1文5直線與橢圓橢圓的幾何性質，直線和橢圓的位置關系卷2理20直線與橢圓橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系2017卷1理20直線與橢圓橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系，橢圓的定點問題卷2文理20直線與橢圓軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系，橢圓的定點問題2018卷2理12直線與橢圓橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系文11橢圓橢圓的定義、標準方程及其幾何性質，橢圓離心率的計算卷3文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關系文理20直線與橢圓直線與橢圓的位置關系2019卷2理8文9橢圓與拋物線拋物線與橢圓的幾何性質卷3理21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關系，直線與拋物線位置關系，拋物線的定義、標準方程及其幾何性質，拋物線的定點問題文21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關系，直線與拋物線位置關系，拋物線的定義、標準方程及其幾何性質，拋物線的定點問題2020卷1理20文21橢圓橢圓的標準方程及其幾何性質，橢圓定點問題卷2理19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義文19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義卷3文6圓錐曲線圓錐曲線的軌跡問題大數據分析*預測高考考點出現頻率2021年預測考點98曲線與方程37次考1次命題角度：（1）定點、定值問題；（2）最值、范圍問題；（3）證明、探究性問題．核心素養：數學運算、邏輯推理、直觀想象考點99定點與定值問題37次考6次考點100最值與范圍問題37次考5次考點101探索型與存在性問題37次考3次十年試題分類*探求規律考點98曲線與方程1．（2020山東）已知曲線．（）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線2．（2020天津）設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．【2019北京理】數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3．其中，所有正確結論的序號是A．①B．②C．①②D．①②③4．（2020全國Ⅱ文19）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，的中心與的頂點重合．過且與軸垂直的直線交于兩點，交于兩點，且．（1）求的離心率；（2）若的四個頂點到的準線距離之和為12，求與的標準方程．5．（2020全國Ⅱ理19）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，的中心與的頂點重合．過且與軸垂直的直線交于兩點，交于兩點，且．（1）求的離心率；（2）設是與的公共點，若，求與的標準方程．6．（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，焦點，圓的直徑為．(1)求橢圓及圓的方程；(2)設直線與圓相切于第一象限內的點．①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；②直線與橢圓交于兩點．若的面積為，求直線的方程．7．（2017新課標Ⅱ）設為坐標原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足QUOTENP=2NM．（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且QUOTEOP?PQ=1．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．8．（2016全國Ⅲ文理）已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．（I）若在線段上，是的中點，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程．9．（2015江蘇理）如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到左準線的距離為3．（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點，若，求直線的方程．10．（2014廣東理）已知橢圓的一個焦點為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．11．（2014遼寧理）圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為（如圖），雙曲線過點且離心率為．（1）求的方程；（2）橢圓過點且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于，兩點，若以線段為直徑的圓心過點，求的方程．12．（2013四川理）已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，且橢圓C經過點．（Ⅰ）求橢圓C的離心率（Ⅱ）設過點的直線與橢圓C交于M，N兩點，點Q是MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．13．（2011天津理）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．考點99定點與定值問題14．【2020全國Ⅰ文21理20】已知分別為橢圓的左、右頂點，為的上頂點，，為直線上的動點，與的另一交點為與的另一交點為．（1）求的方程；（2）證明：直線過定點．15．【2020山東】已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求的方程；（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．16．【2019全國Ⅲ理】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積．17．【2019北京理】已知拋物線C：x2=?2py經過點（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．18．【2019全國Ⅲ文】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程．19．【2019北京文】已知橢圓的右焦點為，且經過點．（1）求橢圓C的方程；（2）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點．20．【2018北京文20】（本小題14分）已知橢圓：的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的焦點（=1\*ROMANI）求橢圓的方程；（=2\*ROMANII）若，求的最大值；（=3\*ROMANIII）設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若和點共線，求．21．【2018北京理19】（本小題14分）已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交于軸與，直線交軸與．（I）求直線的斜率的取值范圍．（II）設為原點，，求證：為定值．22．（2017新課標Ⅰ理）已知橢圓：，四點，，，中恰有三點在橢圓上．（1）求的方程；（2）設直線不經過點且與相交于，兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點．23．（2017新課標Ⅱ文理）設為坐標原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足QUOTENP=2NM．（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且QUOTEOP?PQ=1．證明：過點且垂直于的直線過的左焦點．24．（2017北京文）已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過作的垂線交于點．求證：與的面積之比為4：5．25．（2016年全國I理）設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過作的平行線交于點．（I）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過且與垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍．26．（2016年北京文）已知橢圓：過，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設為第三象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．27．（2016年北京理）已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．28．（2016年山東文）已知橢圓C：的長軸長為4，焦距為22．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點．過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B．(i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值；(ii)求直線AB的斜率的最小值．29．（2015新課標2文）已知橢圓：的離心率為，點在上．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為．證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．30．（2015新課標2理）已知橢圓C：（），直線不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊行？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．31．（2015陜西文）如圖，橢圓：（>>0）經過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2．32．（2014江西文理）如圖，已知雙曲線：()的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標原點）．（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當點在上移動時，恒為定值，并求此定值．33．（2013山東文理）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接．設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點．設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值．34．（2012湖南理）在直角坐標系中，曲線的點均在：外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設（）為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點A，B和C，D．證明：當在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．考點100最值與范圍問題35．【2020年江蘇18】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在第一象限內，，直線與橢圓相交于另一點．（1）求的周長；（2）在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；（3）設點在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點的坐標．36．【2020浙江21】如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．37．【2019全國Ⅱ理】已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?．記M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G．（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值．38．【2019浙江】如圖，已知點為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記的面積分別為．（1）求p的值及拋物線的準線方程；（2）求的最小值及此時點G的坐標．39．（2018浙江21）如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上．（I）設中點為，證明：垂直于軸；（II）若是半橢圓上的動點，求面積的取值范圍．40．（2017浙江文理）如圖，已知拋物線．點，，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為．（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．41．（2017山東文）在平面直角坐標系中，已知橢圓C：的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)動直線：交橢圓于，兩點，交軸于點．點是關于的對稱點，的半徑為．設為的中點，，與分別相切于點，，求的最小值．42．（2017山東理）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為．求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率．43．(2016全國II理)已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，．（Ⅰ）當時，求的面積；（Ⅱ）當時，求的取值范圍．44．(2016天津理)設橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．45．（2016浙江文）如圖，設拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y軸的距離等于．（I）求p的值；（II）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M．求M的橫坐標的取值范圍．45．（2015重慶文）如圖，橢圓（>>0）的左、右焦點分別為，，且過的直線交橢圓于兩點，且．（Ⅰ）若|，|，求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若|，且，試確定橢圓離心率的取值范圍．46．（2014新課標1文理）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．（Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．47．（2014浙江文理）如圖，設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限．（Ⅰ）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；（Ⅱ）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為．48．（2015山東理）平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別是、．以QUOTEF1為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓QUOTEC上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點．（i）求QUOTE|OQ||OP|的值；（ii）求△面積的最大值．49．（2014山東文理）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．50．（2014山東理）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為．（Ｉ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）．點D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點．（ⅰ）設直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數使得，并求出的值；（ⅱ）求面積的最大值．51．（2014四川文理）已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；（ii）當最小時，求點T的坐標．52．（2013廣東文理）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．53．（2011新課標文理）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上，點滿足，，點的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動點，為C在點處的切線，求點到距離的最小值．54．（2011廣東文理）設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切．（1）求C的圓心軌跡L的方程；（2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標．考點101探索型與存在性問題55．【2018上海20】（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）設常數，在平面直角坐標系中，已知點，直線，曲線．與軸交于點，與交于點分別是曲線與線段上的動點．（1）用為表示點到點的距離；（2）設，線段的中點在直線上，求的面積；（3）設，是否存在以為鄰邊的矩形，使得點在上？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．56．（2016全國I文）在直角坐標系中，直線：交軸于點，交拋物線：于點，關于點的對稱點為，連結并延長交于點．（I）求；（II）除以外，直線與是否有其它公共點？說明理由．57．（2015新課標1理）在直角坐標系中，曲線：與直線交與，兩點，（Ⅰ）當時，分別求在點和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由．58．（2015北京理）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（Ⅱ）設為原點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．59．（2015湖北理）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存