學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。2.2對數函數及其性質(一）學習目標1。理解對數函數的概念.2。掌握對數函數的性質.3.了解對數函數在生產實際中的簡單應用．知識點一對數函數的概念思考已知函數y＝2x，那么反過來，x是否為關于y的函數？答案由于y＝2x是單調函數，所以對于任意y∈(0，＋∞）都有唯一確定的x與之對應，故x也是關于y的函數，其函數關系式是x＝log2y，此處y∈（0，＋∞)．習慣上用x，y分別表示自變量、因變量．上式可改為y＝log2x，x∈(0，＋∞）．梳理一般地，把函數y＝logax(a〉0，且a≠1）叫做對數函數,其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．知識點二對數函數的圖象與性質對數函數y＝logax(a〉0，且a≠1）的圖象和性質如下表：定義y＝logax（a>0，且a≠1）底數a〉10<a〈1圖象定義域（0，＋∞)值域R單調性在（0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞）上是減函數共點性圖象過定點（1，0)，即x＝1時，y＝0函數值特點x∈（0，1)時,y∈（－∞，0）；x∈［1，＋∞）時，y∈[0，＋∞）x∈(0,1）時，y∈（0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時，y∈（－∞，0]對稱性函數y＝logax與y＝x的圖象關于x軸對稱1．由y＝logax，得x＝ay,所以x>0.(√）2．y＝2log2x是對數函數．（×)3．y＝ax與y＝logax的單調區間相同．(×）4．由loga1＝0，可得y＝logax恒過定點（1,0）．（√)類型一對數函數的定義域的應用例1求下列函數的定義域．（1）y＝loga(3－x)＋loga(3＋x）；(2)y＝log2（16－4x)．考點對數函數的定義域題點對數函數的定義域解(1）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0,,3＋x〉0，))得－3<x<3，∴函數的定義域是｛x|－3<x〈3｝．（2)由16－4x〉0，得4x〈16＝42，由指數函數的單調性得x<2，∴函數y＝log2（16－4x)的定義域為｛x｜x〈2｝．引申探究1．把本例（1）中的函數改為y＝loga(x－3）＋loga（x＋3）,求定義域．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3>0，，x＋3>0，）)得x〉3?！嗪瘮祔＝loga（x－3)＋loga(x＋3）的定義域為{x|x〉3}．2．求函數y＝loga[（x＋3）（x－3)］的定義域，相比引申探究1，定義域有何變化?解（x＋3)（x－3）>0，即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,x－3>0）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋3<0,,x－3〈0，))解得x〈－3或x>3.∴函數y＝loga［(x＋3）(x－3）]的定義域為{x｜x〈－3或x>3｝．相比引申探究1,函數y＝loga［(x＋3)（x－3)］的定義域多了(－∞，－3）這個區間，原因是對于y＝loga[（x＋3)·(x－3）]，要使對數有意義,只需（x＋3）與(x－3）同號，而對于y＝loga（x－3)＋loga（x＋3)，要使對數有意義，必須（x－3)與(x＋3）同時大于0.反思與感悟求含對數式的函數定義域關鍵是真數大于0,底數大于0且不為1.如需對函數式變形，需注意真數底數的取值范圍是否改變．跟蹤訓練1(2017·紹興柯橋區期末)函數f(x)＝lg（6－3x）的定義域為（)A．(－∞,2) B．(2,＋∞）C．［0，2) D．[0,2］考點題點答案A類型二對數函數單調性的應用命題角度1比較同底對數值的大小例2比較下列各組數中兩個值的大?。?1）log23。4，log28.5;(2）log0.31.8,log0.32。7;(3)loga5。1，loga5.9（a>0，且a≠1）．考點對數值大小比較題點對數值大小比較解（1）考察對數函數y＝log2x，因為它的底數2>1，所以它在（0，＋∞）上是增函數，又3.4＜8.5，于是log23。4〈log28.5。（2）考察對數函數y＝log0。3x,因為它的底數0<0。3<1，所以它在（0,＋∞）上是減函數，又1。8＜2。7，于是log0。31。8〉log0。32。7。（3）當a〉1時，y＝logax在（0，＋∞)上是增函數，又5。1＜5.9,于是loga5.1<loga5。9；當0<a<1時，y＝logax在（0,＋∞）上是減函數，又5.1＜5.9，于是loga5.1〉loga5。9。綜上，當a＞1時，loga5.1＜loga5。9,當0＜a＜1時，loga5.1＞loga5.9.反思與感悟比較兩個同底數的對數大小，首先要根據對數底數來判斷對數函數的增減性；然后比較真數大小,再利用對數函數的增減性判斷兩對數值的大?。畬τ诘讛狄宰帜感问匠霈F的，需要對底數a進行討論．對于不同底的對數,可以估算范圍，如log22<log23<log24,即1〈log23<2,從而借助中間值比較大?。櫽柧?設a＝log3π，b＝log2eq\r（3),c＝log3eq\r（2），則（）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a考點對數值大小比較題點對數值大小比較答案A解析∵a＝log3π＞1，b＝eq\f（1，2)log23，其中log22〈log23<log24，則eq\f(1，2)＜b＜1，c＝eq\f(1，2)log32＜eq\f(1,2)，∴a＞b＞c.命題角度2求y＝logafx型的函數值域例3函數f(x)＝log2（3x＋1)的值域為________．考點對數函數的值域題點對數函數的值域答案（0，＋∞)解析f（x）的定義域為R.∵3x〉0，∴3x＋1〉1.∵y＝log2x在(0，＋∞）上單調遞增,∴log2(3x＋1)>log21＝0。即f（x）的值域為（0，＋∞)．反思與感悟在函數三要素中，值域從屬于定義域和對應關系．故求y＝logaf(x）型函數的值域必先求定義域，進而確定f（x)的范圍,再利用對數函數y＝logax的單調性求出logaf(x)的取值范圍．跟蹤訓練3已知f（x）＝log2（1－x）＋log2(x＋3），求f(x）的定義域、值城．考點對數函數的值域題點真數為二次函數的對數型函數的值域解要使函數式有意義，需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1－x>0，，x＋3>0，)）解得定義域為（－3,1)．f（x)＝log2［（1－x)（x＋3）］＝log2[－(x＋1）2＋4］．∵x∈（－3，1),∴－(x＋1)2＋4∈（0,4]．∴log2［－(x＋1）2＋4]∈(－∞，2］．即f(x)的值域為（－∞，2]．類型三對數函數的圖象例4畫出函數y＝lg｜x－1|的圖象．考點對數函數的圖象題點含絕對值的對數函數的圖象解（1）先畫出函數y＝lgx的圖象（如圖)．(2)再畫出函數y＝lg｜x｜的圖象(如圖)．（3)最后畫出函數y＝lg|x－1|的圖象（如圖）．反思與感悟現在畫圖象很少單純依靠描點，大多是以基本初等函數為原料加工，所以一方跟蹤訓練4畫出函數y＝｜lg（x－1）|的圖象．考點對數函數的圖象題點含絕對值的對數函數的圖象解(1)先畫出函數y＝lgx的圖象(如圖)．(2)再畫出函數y＝lg(x－1)的圖象（如圖)．（3)再畫出函數y＝｜lg（x－1）|的圖象（如圖）．1．下列函數為對數函數的是（)A．y＝logax＋1（a＞0且a≠1）B．y＝loga（2x)（a＞0且a≠1）C．y＝log（a－1)x(a＞1且a≠2）D．y＝2logax（a＞0且a≠1)考點對數函數的概念題點對數函數的概念答案C2．函數y＝log2（x－2)的定義域是(）A．（0，＋∞) B．(1,＋∞）C．（2，＋∞) D．［4,＋∞）考點對數函數的定義域題點對數函數的定義域答案C3．函數y＝2log4(1－x）的圖象大致是（)考點對數函數的圖象題點對數函數的圖象答案C解析函數y＝2log4（1－x）的定義域為（－∞，1)，排除A，B；又函數y＝2log4（1－x）在定義域內單調遞減,排除D.故選C。4．函數f(x)＝log0.2（2x＋1）的值域為________．考點對數函數的值域題點對數函數的值域答案（－∞，0)5．若函數f（x）＝2loga(2－x）＋3（a>0，且a≠1）過定點P，則點P的坐標是__________．考點對數函數的性質題點對數函數圖象過定點問題答案（1，3）1．含有對數符號“log”的函數不一定是對數函數．判斷一個函數是否為對數函數，不僅要含有對數符號“log”,還要符合對數函數的概念，即形如y＝logax（a>0，且a≠1）的形式．如:y＝2log2x，y＝log5eq\f(x，5）都不是對數函數，可稱其為對數型函數．2．研究y＝logaf(x）的性質如定義域、值域、比較大小，均需依托對數函數的相應性質．一、選擇題1．給出下列函數：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx。其中是對數函數的有(）A．1個B．2個C．3個D．4個考點對數函數的概念題點對數函數的概念答案A解析①②不是對數函數，因為對數的真數不是只含有自變量x；③不是對數函數，因為對數的底數不是常數；④是對數函數．2．已知函數f（x）＝eq\f(1,\r（1－x）)的定義域為M，g（x）＝ln(1＋x)的定義域為N，則M∩N等于（）A．{x|x>－1｝ B．{x|x<1｝C．｛x｜－1<x〈1｝ D．?考點對數函數的定義域題點對數函數的定義域答案C解析∵M＝{x｜1－x>0｝＝｛x｜x〈1｝,N＝｛x|1＋x>0｝＝{x｜x〉－1}，∴M∩N＝{x|－1〈x<1｝．3．已知a〉0，且a≠1，函數y＝ax與y＝loga(－x）的圖象只能是下圖中的()考點對數函數的圖象題點同一坐標系下的指數函數與對數函數的圖象答案B解析y＝ax與y＝loga(－x)的單調性相反,排除A，D。y＝loga（－x）的定義域為(－∞,0)，排除C，故選B.4．已知函數f(x）＝loga(x＋2),若圖象過點(6，3），則f(2）的值為（）A．－2B．2C。eq\f(1，2）D．－eq\f(1,2）考點對數函數的性質題點對數函數圖象過定點問題答案B解析代入（6,3),3＝loga（6＋2）＝loga8，即a3＝8,∴a＝2?！鄁(x）＝log2（x＋2），∴f(2）＝log2(2＋2)＝2.5．若函數f（x)＝loga(x＋b)的圖象如圖所示：其中a，b為常數，則函數g(x)＝ax＋b的圖象大致是()考點對數函數的圖象題點同一坐標系下的指數函數與對數函數的圖象答案D解析由f(x）的圖象可知0〈a<1，0<b〈1，∴g（x）的圖象應為D。6．設a＝log412，b＝log515，c＝log618，則(）A．a>b>c B．b〉c>aC．a>c>b D．c〉b>a答案A解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43〉log53〉log63,∴a〉b〉c。7．已知f（x）＝2＋log3x，x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1，81)，9)），則f（x）的最小值為（）A．－2B．－3C．－4D．0考點對數函數的值域題點對數函數的值域答案A解析∵eq\f(1，81)≤x≤9，∴log3eq\f(1，81)≤log3x≤log39,即－4≤log3x≤2，∴－2≤2＋log3x≤4.∴當x＝eq\f(1,81）時，f（x）min＝－2。8．已知函數f（x)＝loga|x＋1|在(－1，0）上有f（x)〉0，那么（）A．f（x)在(－∞，0）上是增函數B．f（x)在（－∞，0）上是減函數C．f(x）在(－∞，－1)上是增函數D．f(x）在（－∞,－1)上是減函數考點對數函數的圖象題點含絕對值的對數函數的圖象答案C解析當x∈(－1，0)時,｜x＋1|∈（0,1），∵loga|x＋1|〉0，∴0〈a〈1，畫出f(x)的圖象如圖：由圖可知選C.二、填空題9.已知函數f（x）的圖象如圖所示,則函數g(x）＝logeq\r(2）f(x）的定義域是____________．考點對數函數的定義域題點對數函數的定義域答案｛x｜2<x≤8｝解析由題意知,f(x）〉0，由所給圖象可知f(x)〉0的解集為｛x|2<x≤8}．10．設a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，則a,b，c的大小關系是______________．考點對數值大小比較題點指數、對數值大小比較答案a〉c>b解析因為π〉2，所以a＝log2π〉1，所以b＝logπ〈0.因為π>1，所以0〈π－2〈1，即0<c〈1。所以a>c>b.11．已知函數f(x）＝|lgx｜,若0<a<b，且f（a）＝f(b)，則a＋4b的取值范圍是____________．考點對數函數的圖象題點含絕對值的對數函數的圖象答案（5，＋∞)解析因為f（a)＝f(b)，且0<a<b,所以0〈a<1〈b,且－lga＝lgb，即b＝eq\f（1,a），所以a＋4b＝a＋eq\f(4，a).令g（a）＝a＋eq\f（4,a)，易知g（a）在(0,1)上為減函數，所以g(a)>g（1）＝1＋eq\f(4,1)＝5，即a＋4b的取值范圍是（5，＋∞）．三、解答題12．已知f(x)＝log2(x＋1），當點（x，y）在函數y＝f(x)的圖象上時，點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，\f(y，2）))在函數y＝g（x)的圖象上．(1）寫出y＝g（x）的解析式；（2)求方程f（x)－g（x）＝0的根．考點對數函數的解析式題點對數函數的解析式解(1)設eq\f（x，3）＝x′，eq\f(y，2）＝y′，則x＝3x′,y＝2y′.∵(x,y）在y＝f（x）的圖象上，∴y＝log2（x＋1）,∴2y′＝log2（3x′＋1)，y′＝eq\f(1，2)log2（3x′＋1），即點（x′，y′）在y＝eq\f（1，2）log2（3x＋1）的圖象上．∴g（x)＝eq\f（1,2）log2(3x＋1）．(2）f(x)－g(x)＝0，即log2(x＋1）＝eq\f（1,2)log2(3x＋1）＝log2eq\r（3x＋1），∴x＋1＝eq\r(3x＋1)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1〉0,，3x＋1〉0，,x＋12＝3x＋1，))解得x＝0或x＝1.13．已知1≤x≤4，求函數f(x)＝log2eq\f（x，4）×log2eq\f(x，2）的最大值與最小值．考點對數函數的值域題點對數函數的值域解∵f（x）＝log2eq\f（x，4）×log2eq\f（x，2）＝（log2x－2）（log2x－1)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（log2x－\f(3,2））)2－eq\f（1，4）,又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2，∴當log2x＝eq\f（3,2)，即x＝2＝2eq\r(2）時，f(x)取最小值－eq\f（1，4);當log2x＝0，即x＝1時，f(x）取最大值2?！嗪瘮礷(x)的最大值是2，最小值是－eq\f（1,4）.四、探究與拓展14．已知loga(3a－1)恒為正,則a的取值范圍是________．考點對數函數的圖象題點對數函數的圖象答案eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co