7/7廣州市嶺南中學(xué)2019學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷〔理科〕考試時(shí)間：120分鐘；總分值150分第一卷〔共60分〕一．選擇題：本大題共12小題,每題5分,在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．〔1〕1.設(shè)集合,,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕(D〕〔2〕,是虛數(shù)單位,假設(shè)與互為共軛復(fù)數(shù),那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕命題：N,,命題：N,,那么以下命題中為真命題的是(A)(B)(C)(D)〔4〕在上是奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,那么=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕執(zhí)行如下圖的程序框圖,輸出的結(jié)果為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕假設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件那么的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,那么該幾何體的體積是(A)(B)(C)(D)〔8〕,且,函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于,那么的值為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,n∈N*.那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是〔〕ABCD〔10〕過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線,垂足為點(diǎn),與另一條漸近線交于點(diǎn),假設(shè),那么此雙曲線的離心率為〔A〕〔B〕〔C〕2〔D〕〔11〕將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué),上海交通大學(xué),中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀,每所大學(xué)至少保送1人,那么不同的保送方法共有〔A〕150種 〔B〕180種〔C〕240種〔D〕540種〔12〕〔12〕設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,,當(dāng)時(shí),,那么函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為(A)(B)(C)(D)第二卷二．填空題：本大題共4小題,每題5分．〔13〕設(shè)向量〔14〕,那么．〔15〕展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,那么．〔16〕為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),且,那么函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．三．解答題：解容許寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟．〔17〕〔本小題總分值12分〕在△ABC中,、、分別為角A、B、C的對(duì)邊,假設(shè),,且.(1)求角A的大小；(2)當(dāng),且△ABC的面積時(shí),求邊的值和△ABC的面積．〔18〕(本小題總分值12分)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,,對(duì)任意,都有．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證：.19、〔本小題總分值12分〕甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行同一門課程的考試,按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下2×2列聯(lián)表：班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲隊(duì)8040120乙隊(duì)240200240合計(jì)320240560〔Ⅰ〕能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)與學(xué)校有關(guān)系；〔Ⅱ〕采用分層抽樣的方法在兩所學(xué)校成績(jī)優(yōu)秀的320名學(xué)生中抽取16名同學(xué)．現(xiàn)從這16名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名運(yùn)同學(xué)作為成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生代表介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),記這3名同學(xué)來(lái)自甲學(xué)校的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〔參考公式：K2=,n=a+b+c+d〕〔20〕〔本小題總分值12分〕如右圖,在多面體ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,2AE＝BD＝2．〔Ⅰ〕假設(shè)F是線段CD的中點(diǎn),證明：直線EF⊥面DBC;〔Ⅱ〕求二面角D－EC－B的平面角的余弦值． 〔21〕〔本小題總分值12分〕函數(shù)〔1〕假設(shè)直線過點(diǎn),并且與曲線相切,求直線的方程；〔2〕設(shè)函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍。〔其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)〕22在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0),過點(diǎn)P(－2,－4)的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t,y＝－4＋\f(\r(2),2)t)),直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；(2)假設(shè)|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.2019學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)答案〔理科〕一．選擇題〔1〕C 〔2〕A 〔3〕A 〔4〕B 〔5〕B 〔6〕B〔7〕B 〔8〕B 〔9〕A 〔10〕C 〔11〕A 〔12〕A二．填空題〔13〕 〔14〕 〔15〕或 〔16〕0〔其中第13、15題中,答對(duì)2個(gè)給5分,答對(duì)1個(gè)給3分〕三．解答題〔17〕17．解:(1)由于m⊥n,所以m·n=—2sin2+cos2A+1=—2sin2+2cos2A=—2cos2+2cos2A=2cos2A—cosA—1=(2cosA+1)(cosA—1)=0.……..4分所以cosA=-或1(舍去),∴…………..6分(2)由S==及余弦定理得tanC=,∴C=QUOTE,∴B=QUOTE。……..8分又由正弦定理∴QUOTE。得

,……..10分所以△ABC的面積S=acsinB=…………..12分18.證明：〔Ⅰ〕因?yàn)?當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,…………..2分所以當(dāng)時(shí),.…………..3分所以.……..4分因?yàn)?所以.………….5分〔Ⅱ〕因?yàn)?,,所以．….7分所以．…………..9分因?yàn)?所以．因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減函數(shù),………..10分所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．所以當(dāng)時(shí),取最小值．……..11分所以.…………..12分〔19〕〔ⅰ〕證明：取的中點(diǎn),連接又因?yàn)闉槠叫兴倪呅?.————————————６分〔ⅱ〕連接,過在面內(nèi)作的垂線,垂足為連接．因?yàn)?又所以易證得為二面角D－EC－B的平面角在中,所以易求得在直角中,,,所以二面角的平面角的余弦值為——————————12分方法二：OM取BD的中點(diǎn)為G,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,那么,,,OM取平面DEC的一個(gè)法向量又,由此得平面BCE的一個(gè)法向量那么,所以二面角的平面角的余弦值為〔20〕【解答】解：〔Ⅰ〕由題意得K2=≈5.657＞5.024,…………..3分∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)與所在學(xué)校有關(guān)系．……..…………..4分〔Ⅱ〕16名同學(xué)中有甲學(xué)校有4人,乙學(xué)校有12人…..…5分X的可能取值為0,1,2,3…..…6分P〔X=0〕==,P〔X=1〕==,P〔X=2〕==,P〔X=3〕==………..8分X的分布列為X0123P…..…………..10分∴EX=0×+1×+2×+3×=…………12分〔21〕21.解：〔1〕設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,那么切線的斜率為所以切線的方程為………………2分又切線過點(diǎn)〔1,0〕,所以有[]即,解得所以直線的方程為…………4分〔或：設(shè),那么單增,單減有唯一解,所以直線的方程為……………4分〕(2〕因?yàn)?注意到g〔1〕=0所以,所求問題等價(jià)于函數(shù)在上沒有零點(diǎn).又所以由＜0＜00＜＜＞0＞所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.……………6分①當(dāng)即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以>此時(shí)函數(shù)g〔x〕在上沒有零點(diǎn)……………………7分又因?yàn)間〔1〕=0,g(e)=e-ae+a,在上的最小值為所以,〔i〕當(dāng)在上的最大值g(e)0,即此時(shí)函數(shù)g〔x〕在上有零點(diǎn)。………………8分〔ii〕當(dāng)g(e)0,即此時(shí)函數(shù)g〔x〕在上沒有零點(diǎn).…10分③當(dāng)即時(shí),在上單調(diào)遞減,所以在上滿足此時(shí)函數(shù)g〔x〕在上沒有零點(diǎn)綜上,所求的a的取值范圍是或………12分〔22〕解：解(1)由C：ρsin2θ＝2acosθ,得(ρsinθ)2＝2aρcosθ,所以曲線的普通方程為y2＝2ax.由直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t,,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))消去參數(shù)t,得x－y－2＝0.…………5分(2)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\r