學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精章末復習學習目標1。整合知識結構,形成知識網絡、深化所學知識.2.會畫幾何體的直觀圖,并能計算幾何體的表面積和體積.3。熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關系．1．空間幾何體的結構特征(1)棱柱:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形．棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的．這三種幾何體都是多面體．（2)圓柱、圓錐、圓臺、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉而成的,它們都稱為旋轉體．在研究它們的結構特征以及解決應用問題時，常需作它們的軸截面或截面．（3）由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結構特征實質是將它們分解成多個基本幾何體．2．空間幾何體的直觀圖斜二測畫法為:主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變為原來的一半．3．幾何體的表面積和體積的有關計算（1）常見幾何體的側面積和體積的計算公式面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f（1,3）πr2h＝eq\f（1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π（r1＋r2）lV＝eq\f(1，3）(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f（1,3）πh（req\o\al（2,1）＋req\o\al(2,2）＋r1r2）直棱柱S側＝chV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1，2）ch′V＝eq\f(1,3）Sh正棱臺S側＝eq\f（1，2）（c＋c′)h′V＝eq\f(1，3）（S上＋S下＋eq\r(S上S下）)h球S球面＝4πR2V＝eq\f（4，3）πR3（2）求幾何體體積常用技巧①等體積法；②割補法．4．平行關系（1）基本性質4平行于同一條直線的兩條直線平行．即如果直線a∥b,c∥b，那么a∥c。(2)直線與平面平行的判定與性質定理條件結論符號語言判定如果不在一個平面的一條直線和平面內的一條直線平行這條直線和這個平面平行l?α，m?α，l∥m?l∥α性質如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交這條直線和兩平面的交線平行l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m(3)平面與平面平行的判定①文字語言：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．②符號語言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α。③圖形語言：如圖所示．（4)平面與平面平行的性質定理①文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．②符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b。③圖形語言：如圖所示．④作用:證明兩直線平行．5．垂直關系(1)直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．（2）直線與平面垂直的性質性質1：如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內的任意一條直線垂直．符號表示：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a⊥α，b?α)）?a⊥b.性質2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．（3)面面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．（4）面面垂直的性質定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．6．共面與異面直線(1）共面：空間中的幾個點或幾條直線，如果都在同一平面內，我們就說它們共面．(2）異面直線：既不平行又不相交的直線．1．菱形的直觀圖仍是菱形．（×）2．簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(√)3．夾在兩平行平面的平行線段相等．(√）類型一空間幾何體的表面積與體積例1如圖,從底面半徑為2a，高為eq\r(3)a的圓柱中，挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．解由題意知，S1＝2π×2a×eq\r(3）a＋2π×(2a)2＝（4eq\r（3）＋8)πa2，S2＝S1＋πaeq\r（\r（3）a2＋a2）－πa2＝(4eq\r(3）＋9）πa2,∴S1∶S2＝（4eq\r(3）＋8)∶(4eq\r(3）＋9）．反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計算方法(1)等積變換法:三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作底面來處理，恰當地進行換底等積變換便于問題的求解．（2）割補法：像求平面圖形的面積一樣，割補法是求幾何體體積的一個重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補”就是通過補形，使它轉化為熟悉的幾何體．總之，割補法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉化為熟悉的幾何體來解決．(3）展開法：把簡單幾何體沿一條側棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉化為平面問題,可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側面上（球除外)兩點間的距離問題．（4）構造法：當探究某些幾何體性質較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質．跟蹤訓練1如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a,求三棱錐A1－AB1D1的高．解設三棱錐A1－AB1D1的高為h，則＝eq\f（1，3）h×eq\f（\r(3），4）×（eq\r（2)a）2＝eq\f(\r（3）a2h,6）。又＝＝eq\f(1，3）a×eq\f(1,2)a2＝eq\f（a3,6),所以eq\f(\r（3)a2h，6)＝eq\f(a3，6)，所以h＝eq\f（\r（3)，3）a.所以三棱錐A1－AB1D1的高為eq\f（\r(3）,3）a。類型二空間中的平行問題例2如圖，E，F，G，H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點．求證：(1)GE∥平面BB1D1D；（2)平面BDF∥平面B1D1H.

證明(1)取B1D1中點O,連接GO，OB，易證OG綊eq\f(1,2）B1C1，BE綊eq\f(1，2)B1C1，∴OG綊BE,四邊形BEGO為平行四邊形．∴OB∥GE.∵OB?平面BB1D1D,GE?平面BB1D1D，∴GE∥平面BB1D1D。(2)由正方體性質得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF.∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF。∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H。反思與感悟（1）判斷線線平行的方法①利用定義：證明線線共面且無公共點．②利用平行公理:證明兩條直線同時平行于第三條直線．③利用線面平行的性質定理：a∥α,a?β，α∩β＝b?a∥b。④利用面面平行的性質定理：α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.⑤利用線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α?a∥b。

(2）判定線面平行的方法①利用定義：證明直線a與平面α沒有公共點，往往借助反證法．②利用直線和平面平行的判定定理：a?α,b?α，a∥b?a∥α.③利用面面平行的性質的推廣：α∥β，a?β?a∥α。（3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定義：兩個平面沒有公共點．②利用面面平行的判定定理：a?α，b?α,a∩b＝A,a∥β，b∥β?α∥β。③垂直于同一條直線的兩個平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β。④平行于同一個平面的兩個平面平行，即α∥γ,β∥γ?α∥β.跟蹤訓練2如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，N是EC的中點，求證：平面DMN∥平面ABC.證明∵M，N分別是EA與EC的中點，∴MN∥AC,又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N為EC中點，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四邊形BCND為矩形，∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC,BC?平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.類型三空間中的垂直關系例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點，且AE⊥CD，又G，F分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折起,使得DE⊥EC.（1）求證：AE⊥平面CDE;(2)求證:FG∥平面BCD；（3）在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由．（1)證明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E,DE，EC?平面DCE，∴AE⊥平面CDE。(2）證明取AB的中點H，連接GH，FH,∴GH∥BD，FH∥BC.∵GH?平面BCD，BD?平面BCD，∴GH∥平面BCD。同理,FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF?平面FHG，∴GF∥平面BCD.（3)解取線段AE的中點R,DC的中點M，DB的中點S,連接MS,RS，BR，DR，EM，則MS綊eq\f(1，2）BC。又RE綊eq\f(1,2)BC，∴MS綊RE,∴四邊形MERS是平行四邊形，∴RS∥ME。在△DEC中，ED＝EC,M是CD的中點，∴EM⊥DC。由（1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE。∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD。∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD。∵RS?平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.反思與感悟空間中垂直關系的判定方法(1)判定線線垂直的方法利用線面垂直的性質(若a⊥α，b?α，則a⊥b)．(2）判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗證任意性）．②線面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α）．③平行線垂直平面的傳遞性質（a∥b,b⊥α?a⊥α）．④面面垂直的性質(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)．⑤面面平行的性質（a⊥α，α∥β?a⊥β）．（3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）．跟蹤訓練3如圖，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2)，2)AB,四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分別是EC，BD的中點．(1）求證：GF∥平面ABC；(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；（3）求幾何體A－DEBC的體積V.（1）證明如圖，取BE的中點H，連接HF，GH。因為G，F分別是EC和BD的中點，所以HG∥BC，HF∥DE。又因為四邊形ADEB為正方形,所以DE∥AB，從而HF∥AB。所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC。又因為GH∩HF＝H，所以平面HGF∥平面ABC，又GF?平面HGF，所以GF∥平面ABC.(2）證明因為四邊形ADEB為正方形,所以EB⊥AB。又因為平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC＝AB，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC。又因為CA2＋CB2＝AB2,所以AC⊥BC。又因為BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.又因為AC?平面ACD，從而平面EBC⊥平面ACD。(3)解取AB的中點N，連接CN，因為AC＝BC，所以CN⊥AB，且CN＝eq\f(1，2)AB＝eq\f(1,2)a。又平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，所以CN⊥平面ABED.因為C－ABED是四棱錐，所以VC－ABED＝eq\f（1,3）SABED·CN＝eq\f(1,3)a2·eq\f（1,2)a＝eq\f（1,6)a3.即幾何體A－DEBC的體積V＝eq\f（1，6)a3。

1．已知圓錐的母線長為10cm，側面積為60πcm2,則此圓錐的體積為（）A．96πcm3 B．48πcm3C．96eq\r(2)πcm3 D．48eq\r（2)πcm3答案A解析圓錐的側面積為πrl＝10πr＝60π，得r＝6。則h＝eq\r(l2－r2）＝eq\r（102－62）＝8，所以圓錐的體積為eq\f（1,3）πr2h＝eq\f(1,3）π×62×8＝96π.2．若l1,l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A．l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2,l3共面D．l1,l2,l3共點?l1,l2，l3共面答案B解析當l1⊥l2,l2⊥l3時，l1也可能與l3相交或異面,故A錯；l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3,B正確；當l1∥l2∥l3時，l1,l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側棱，故C錯;l1,l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發的三條棱，故D錯．3．設有不同的直線m,n和不同的平面α，β，下列四個命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α答案D解析選項A中當m∥α，n∥α時，m與n可以平行、相交、異面;選項B中滿足條件的α與β可以平行,也可以相交;選項C中,當α⊥β,m?α時,m與β可以垂直，也可以平行等．故選項A、B、C均不正確．4.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M，N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M,N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f（2\r(2）,3）a解析∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f（2a，3），故PQ＝eq\r（PD2＋DQ2）＝eq\r(2)DP＝eq\f（2\r(2)a，3）。5.如圖，在棱錐P－ABC中，D，E，F分別為棱PC,AC，AB的中點．已知PA⊥AC,PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC。證明(1）因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF,所以直線PA∥平面DEF。(2)因為D,E，F分別為棱PC，AC，AB的中點,PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f（1,2)PA＝3，EF＝eq\f（1，2）BC＝4。又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF。又PA⊥AC，DE∥PA,所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC。1．研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時可以通過作截面把空間幾何問題轉化成平面幾何問題來解決．另外,圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉化為平面問題來解決．2．轉化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關系為一、選擇題1.如圖，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB,AD的中點，F,G分別是邊BC,CD上的點，且eq\f（CF，CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2，3)，則()A．EF與GH互相平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上答案D解析因為F,G分別是BC，CD上的點,且eq\f(CF，CB)＝eq\f(CG,CD）＝eq\f（2,3)，所以GF∥BD，并且GF＝eq\f(2，3)BD，因為點E，H分別是邊AB、AD的中點，所以EH∥BD，并且EH＝eq\f(1，2）BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF與GH相交，設其交點為M，所以M∈面ABC，同理M∈面ACD，又面ABC∩面DAC＝AC，所以M在直線AC上．故選D.2．下列命題中假命題是(）A．垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直B．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行C．若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直D．若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的相交直線分別平行,那么這兩個平面相互平行答案A解析垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面,A錯誤；選A。3．如圖,在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器內灌進一些水,將容器底面一邊BC固定于地面上,再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法:①有水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變;③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE＋BF是定值．其中正確的說法是（）A．②③④ B．①②④C．①③④ D．①②③答案C解析①有水的部分始終呈棱柱狀：從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變：EF是可以變化的，EH不變的，所以面積是改變的，②不正確；③棱A1D1始終與水面EFGH平行:由直線與平面平行的判定定理及A1D1∥EH，可判斷③正確；④當E∈AA1時，AE＋BF是定值：水的體積是定值，底面面積不變，所以④正確．故選C。4．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題:①若m⊥α，m⊥β,則α∥β；②若m?α,n?β，m∥n，則α∥β；③若α⊥γ,β⊥γ，則α∥β；④若m,n是異面直線,m?α,m∥β，n?β，n∥α,則α∥β。其中真命題是（)A．①③ B．①②C．③④ D．①④答案D解析對于①，垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；對于②，不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯誤；對于③，平面α，β可能相交，錯誤；對于④,滿足平面α與平面β平行,正確．5．湖面上浮著一個球,湖水結冰后將球取出，冰上留下一個冰面直徑為24cm，深為8cm的空穴，則這個球的半徑為(）A．13cm B．26cmC．13eq\r（2）cm D．2eq\r(3）cm答案A解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設球心為O,冰面圓的圓心為O1，球半徑為R，由圖知OB＝R，O1B＝eq\f（1,2）AB＝12,OO1＝OC－O1C＝R－8,在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝（R－8)2＋122，解得R＝13（cm）．6．過球的一條半徑的中點,作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比值為（)A.eq\f(3,16）B。eq\f(9，16)C.eq\f(3，8）D。eq\f(5,8）答案A解析如圖所示是過球心的截面圖,r＝eq\r(R2－\f(1,4)R2）＝eq\f（\r(3）,2）R，eq\f(S圓,S球)＝eq\f(π\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2）R)）2,4πR2)＝eq\f（3，16).7。如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8,則一質點從A出發，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路徑的長為（)A．10 B．9C．8 D．7答案A解析8．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A、B的一點，則下列結論中錯誤的是(）A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCE答案C解析由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°，即AE⊥EB。∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得：AE⊥CE,平面BCE⊥平面ADE.可得A，B,D正確．而DE⊥平面CEB不正確．故選C。二、填空題9．一個正四面體木塊如圖所示,點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長為a，則截面面積為________．答案eq\f（a2,4)解析在平面VAC內作直線PD∥AC，交VC于D，在平面VBA內作直線PF∥VB，交AB于F，過點D作直線DE∥VB，交BC于E,連接EF.∵PF∥DE,∴P，D，E，F四點共面,且面PDEF與VB和AC都平行，則四邊形PDEF為邊長為eq\f(a，2）的正方形，故其面積為eq\f（a2，4).10。一個水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示)，桶內有油部分所在圓弧占底面圓周長的eq\f(1,4），則當油桶直立時,油的高度與桶的高度的比值是________．答案eq\f(1，4）－eq\f（1,2π）解析設圓柱桶的底面半徑為R,高為h，油桶直立時油面的高度為x,由題意知,油部分所在圓弧對應的扇形的圓心角為eq\f（π,2)，則eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)πR2－\f(1，2）R2）)h＝πR2x，所以eq\f（x,h)＝eq\f（1,4)－eq\f(1,2π).11．已知A，B是球O的球面上兩點,∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．考點球的表面積題點與外接、內切有關球的表面積計算問題答案144π解析如圖所示,設球的半徑為R,∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2）R2。∵V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB,而△AOB的面積為定值，∴當點C到平面AOB的距離最大時，三棱錐O－ABC的體積最大，∴當動點C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時,三棱錐O－ABC的體積最大，此時V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB＝eq\f(1,3）×eq\f（1,2）R2×R＝eq\f（1，6）R3＝36,解得R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π。三、解答題12．已知三棱錐O—ABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上,O是球心，∠AOB＝120°,當△AOC與△BOC的面積之和最大時,求三棱錐O—ABC的體積．解設球O的半徑為R,因為S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2）R2（sin∠AOC＋sin∠BOC),所以當∠AOC＝∠BOC＝90°時,S△AOC＋S△BOC取得最大值,此時OA⊥OC.OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB，所以OC⊥平面AOB，所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f（1,6)R3sin∠AOB＝eq\f(2\r(3),3).13．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC,BC＝1，AA1＝AC＝2，E,F分別為A1C1,BC的中點．（1)求證：C1F∥平面EAB;（2)求三棱錐A－BCE的體積．(1）證明方法一取AB中點G，連接EG,FG。∵G，F分別是AB,BC的中點，∴FG∥AC，且FG＝eq\f（1,2)AC。又∵AC∥A1C1,且AC＝A1C1，E為A1C1的中點，∴FG∥EC1,且FG＝EC1，∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F∥EG。又∵EG?平面ABE，C1F?平面ABE,∴C1F∥平面ABE。方法二取AC中點H,連接C1H，FH，則C1E∥AH,且C1E＝AH，∴四邊形C1EAH為平行四邊形，∴C1H∥EA.又∵EA?平面ABE,C1H?平面ABE，∴C1H∥平面ABE，∵H、F分別為AC、BC的中點,∴HF∥AB.又∵AB?平面ABE,FH?平面ABE，∴FH∥平面ABE.又∵C1H∩FH＝H，C1H?平面C1HF，FH?平面C1HF，∴