學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精章末復習學習目標1。整合知識結構，梳理知識網絡，進一步鞏固、深化所學知識.2.培養綜合運用知識解決問題的能力，能靈活選擇直線方程的形式并熟練運用待定系數法求解，滲透數形結合、分類討論的數學思想.1。直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.(2)k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(存在,α≠90°，,不存在，α＝90°.)）(3）斜率的求法①依據傾斜角；②依據直線方程;③依據兩點的坐標。2.直線方程的幾種形式的轉化3。兩條直線的位置關系設l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則(1）平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；（2)相交?A1B2－A2B1≠0；(3）重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）＝eq\f（C1，C2)(A2B2C2≠0）。4。距離公式(1）兩點間的距離公式已知點P1（x1，y1),P2(x2,y2），則|P1P2｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12）.(2）點到直線的距離公式①點P（x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|，\r（A2＋B2））；②兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2:Ax＋By＋C2＝0的距離d＝eq\f(|C1－C2|，\r(A2＋B2)).類型一待定系數法的應用例1直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P(－1,2)，求直線l的方程。考點待定系數法的應用題點待定系數法求直線方程解方法一設直線l與l1的交點為A（x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點為B（－2－x0，4－y0），并且滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，，3－2－x0－54－y0－5＝0,））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，，3x0－5y0＋31＝0，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－2，,y0＝5，）)所以A（－2，5）.因此直線l的方程為eq\f（y－2,5－2）＝eq\f(x－－1,－2－－1），即3x＋y＋1＝0.方法二由題意知，直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（kx－y＋k＋2＝0，，4x＋y＋3＝0，))得x＝eq\f（－k－5,k＋4).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0,，3x－5y－5＝0，)）得x＝eq\f(－5k－15，5k－3）。則eq\f(－k－5,k＋4)＋eq\f（－5k－15,5k－3）＝－2,解得k＝－3。因此所求直線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.方法三兩直線l1和l2的方程為(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①將上述方程中（x，y）換成（－2－x，4－y），整理可得l1與l2關于(－1,2)對稱圖形的方程為（4x＋y＋1)(3x－5y＋31）＝0。②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即為所求直線方程。反思與感悟待定系數法，就是所研究的式子(方程)的結構是確定的，但它的全部或部分系數是待定的，然后根據題中條件來確定這些系數的方法。直線的方程常用待定系數法求解.選擇合適的直線方程的形式是很重要的，一般情況下，與截距有關的，可設直線的斜截式方程或截距式方程；與斜率有關的，可設直線的斜截式或點斜式方程等。跟蹤訓練1過點P（6，8)作兩條互相垂直的射線PA，PB,分別交x軸,y軸正方向于點A,B。若S△AOB＝S△APB,求PA與PB所在直線的方程。考點待定系數的應用題點待定系數法求直線方程解設A（a,0)，B（0，b)（a〉0,b〉0)，則直線AB的方程為eq\f（x，a)＋eq\f（y,b）＝1，即bx＋ay－ab＝0。因為S△AOB＝S△APB，所以O，P兩點到直線AB的距離相等，由點到直線的距離公式得eq\f(｜ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(｜8a＋6b－ab｜，\r（a2＋b2))，解得ab＝4a＋3b①或4a＋3b＝0(與a〉0，b〉0矛盾，舍去).由PA⊥PB，得eq\f（8，6－a）·eq\f(8－b，6）＝－1，即3a＋4b＝50②，聯立①②，解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝6，,b＝8)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(25,3），,b＝\f(25，4)，)）所以直線PA：x＝6，直線PB：y＝8或直線PA：24x＋7y－200＝0，直線PB:7x－24y＋150＝0.類型二分類討論思想的應用例2過點P（－1,0)，Q(0,2）分別作兩條互相平行的直線，使它們在x軸上截距之差的絕對值為1,求這兩條直線的方程。考點分類討論思想的應用題點分類討論思想的應用解當兩條直線的斜率不存在時，兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0，它們在x軸上截距之差的絕對值為1，符合題意。當直線的斜率存在時，設其斜率為k，則兩條直線的方程分別為y＝k（x＋1），y－2＝kx。令y＝0，得x＝－1與x＝－eq\f（2，k）。由題意得eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（－1＋\f(2，k））)＝1,即k＝1.∴兩條直線的方程分別為y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。綜上可知,所求的兩條直線的方程分別為x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0。反思與感悟本章涉及直線方程的形式時，常遇到斜率的存在性問題的討論，如兩直線平行（或垂直）時，斜率是否存在;已知直線過定點時，選擇點斜式方程,要考慮斜率是否存在.跟蹤訓練2求在兩坐標軸上截距相等,且到點A（3,1）的距離為eq\r（2）的直線的方程.考點分類討論思想的應用題點分類討論思想的應用解當直線過原點時,設直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0。由題意知eq\f(|3k－1|，\r（k2＋1））＝eq\r(2）,解得k＝1或k＝－eq\f(1,7)。所以所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0。當直線不經過原點時，設所求直線的方程為eq\f（x,a）＋eq\f(y，a)＝1，即x＋y－a＝0.由題意知eq\f(|3＋1－a|，\r（2））＝eq\r（2)，解得a＝2或a＝6.所以所求直線的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.類型三最值問題eq\x(命題角度1可轉化為二次函數求最值)例3在直線y＝x＋2上求一點P，使得點P到直線l1：3x－4y＋8＝0和直線l2：3x－y－1＝0的距離的平方和最小。考點點到直線的距離題點與點到直線的距離有關的最值問題解設P（x0，x0＋2），設點P到直線l1的距離為d1，點P到直線l2的距離為d2,令y＝deq\o\al(2，1)＋deq\o\al（2，2）＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（3x0－4x0＋2＋8,\r（32＋42)）))2＋eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f（3x0－x0＋2－1，\r（32＋12）)))2,整理得y＝eq\f（22x\o\al(2,0)－60x0＋45,50）,∴當x0＝eq\f(60,2×22）＝eq\f(15，11)時，y最小，此時y0＝x0＋2＝eq\f(37,11），∴Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(15,11），\f(37，11)））。反思與感悟將幾何問題轉化為函數求最值，是一種常用的求最值的方法.跟蹤訓練3在平面直角坐標系中，動點P到兩條直線3x－y＝0與x＋3y＝0的距離之和等于2，則點P到坐標原點的距離的最小值為________.考點兩點間的距離公式題點兩點間距離公式的綜合應用答案eq\r(2)解析∵3x－y＝0與x＋3y＝0互相垂直，且交點為原點，∴設P到直線的距離分別為a，b，則a≥0,b≥0，則a＋b＝2，即b＝2－a≥0，得0≤a≤2。由勾股定理可知,｜OP|＝eq\r（a2＋b2）＝eq\r（a2＋2－a2）＝eq\r（2a－12＋2）,∵0≤a≤2，∴當a＝1時，OP的距離最小為eq\r（2）.eq\x（命題角度2利用對稱性求最值)例4已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A（2，0），B（－2，－4)。(1)在直線l上求一點P,使|PA｜＋｜PB|最小；（2）在直線l上求一點P，使｜｜PB｜－｜PA｜|最大。考點對稱問題的求法題點關于對稱的綜合應用解(1)設A關于直線l的對稱點為A′（m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(n－0，m－2)＝－2，,\f(m＋2,2）－2·\f(n＋0，2）＋8＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，)）故A′(－2，8).因為P為直線l上的一點,則|PA｜＋｜PB|＝｜PA′｜＋|PB｜≥｜A′B｜，當且僅當B，P，A′三點共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為｜A′B｜，點P即是直線A′B與直線l的交點，解eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0,））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，，y＝3，)）故所求的點P的坐標為（－2,3).(2）A，B兩點在直線l的同側，P是直線l上的一點，則||PB|－|PA||≤|AB｜，當且僅當A，B,P三點共線時，｜|PB|－｜PA｜｜取得最大值，為｜AB|，點P即是直線AB與直線l的交點，又直線AB的方程為y＝x－2,解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x－2,,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝12，，y＝10，）)故所求的點P的坐標為(12，10).反思與感悟（1）在直線l上求一點P，使|PA｜＋｜PB｜取得最小值時，若點A，B在直線l的同側,則作點A（或點B)關于l的對稱點A′（或點B′)，連接A′B（或AB′)交l于點P，則點P即為所求；若點A，B位于直線l的異側，直接連接AB交l于點P，則點P即為所求.可簡記為“同側對稱異側連.”(2)在直線l上求一點P，使｜｜PA｜－｜PB｜｜取得最大值時，方法與(1)恰好相反，即“異側對稱同側連”.跟蹤訓練4已知定點A（3，1），動點M和點N分別在直線y＝x和y＝0上運動，則△AMN的周長取最小值時點M的坐標為________。考點對稱問題的求法題點關于對稱的綜合應用答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5，3)，\f（5，3)））解析如圖所示，分別作出點A關于直線y＝x與x軸的對稱點A1（1,3),A2（3，－1）。連接A1A2與直線y＝x相交于點M，與x軸相交于點N，則滿足條件.直線A1A2的方程為y－3＝eq\f（－1－3，3－1）(x－1），化為2x＋y－5＝0，聯立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋y－5＝0，，y＝x,))解得x＝y＝eq\f(5,3）.∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5,3)，\f(5，3)））。1。若方程（6a2－a－2）x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x軸的直線，則a的值是()A。eq\f（2,3) B。eq\f(1,2）C.eq\f(2,3），－eq\f(1，2） D。－eq\f（1,2)考點直線的一般式方程與直線的平行關系題點根據平行求參數的值答案D解析因為平行于x軸的直線的斜率為零,所以由直線的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)得k＝－eq\f（A，B)＝0?A＝0，B≠0，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6a2－a－2＝0,,3a2－5a＋2≠0。))解得a＝－eq\f（1,2）.本題易錯在忽視B≠0這一條件而導致多解.2.已知直線l不經過第三象限，若其斜率為k,在y軸上的截距為b(b≠0），則（）A。kb〈0 B。k≤0,b>0C。k<0，b〉0 D.kb≥0考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應用答案B解析由題意得直線l的方程為y＝kx＋b（b≠0），∵直線l不經過第三象限，∴k≤0,b>0。3.和直線3x－4y＋5＝0關于x軸對稱的直線方程為（）A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0C。－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0考點對稱問題的求法題點直線關于直線的對稱問題答案A解析設所求直線上任意一點（x,y），則此點關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y），因為點（x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.4。已知直線kx－y＋1－k＝0恒過定點A，且點A在直線mx＋ny－1＝0(m>0，n>0）上，則mn的最大值為（)A。eq\f（1，2) B.eq\f（1,4)C.2 D.4考點恒過定點的直線題點恒過定點的直線的應用答案B解析直線kx－y＋1－k＝0,可化為k（x－1)＋1－y＝0,可知A（1，1），∴m＋n＝1，即n＝1－m.∴mn＝m(1－m）＝－m2＋m＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（m－\f(1，2））)2＋eq\f（1，4),即當m＝eq\f（1，2)時，mn取得最大值eq\f(1，4）。5.在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A（0,1），B(3,2）.(1)若C點坐標為(1，0)，求AB邊上的高所在的直線方程;(2）若點M(1,1）為邊AC的中點，求邊BC所在的直線方程。考點中點坐標公式題點與中線有關的問題解（1）∵A(0,1），B(3，2)，∴kAB＝eq\f（2－1,3－0）＝eq\f（1，3），由垂直關系可得AB邊上的高所在的直線的斜率k＝－3，∴AB邊上的高所在直線方程為y－0＝－3（x－1），化為一般式可得3x＋y－3＝0.（2）∵M為AC的中點,∴C（2,1），∴kBC＝eq\f（2－1，3－2）＝1，∴BC所在直線方程為y－1＝x－2,化為一般式可得x－y－1＝0.1.一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0（m≠C);與之垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋n＝0。2.過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0（λ∈R），但不包括l2.3.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件(1)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式。（2）求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等.一。選擇題1.已知直線PQ的斜率為－eq\r(3），則將直線繞點P沿順時針方向旋轉60°所得的直線的斜率是（)A.－eq\r(3）B.0C。eq\r(3）D。eq\f(\r(3),3）考點直線的斜率題點由斜率公式計算斜率答案C解析由直線PQ的斜率為－eq\r（3)得直線的傾斜角為120°，故繞點P沿順時針方向旋轉60°所得的直線的傾斜角為60°，斜率為eq\r（3）。2。已知過點M(－2，a），N(a,4）的直線的斜率為－eq\f(1，2),則｜MN|等于()A。10 B。180C。6eq\r(3) D。6eq\r(5）考點兩點間的距離公式題點求兩點間的距離答案D解析kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N（10,4），所以｜MN｜＝eq\r(－2－102＋10－42）＝6eq\r(5），故選D。3。過兩點(－1,1)和(3,9）的直線在x軸上的截距為(）A。－eq\f（3，2)B。－eq\f(2,3）C.eq\f（2，5）D.2考點直線的兩點式方程題點利用兩點式求直線方程答案A解析由兩點式eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1），得y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,2）,即為在x軸上的截距。4.若直線mx＋ny＋2＝0平行于直線x－2y＋5＝0，且在y軸上的截距為1，則m,n的值分別為（）A.1和2 B.－1和2C。1和－2 D.－1和－2考點直線的一般式方程與直線的平行關系題點根據平行求參數的值答案C解析由已知得直線mx＋ny＋2＝0過點（0，1)，則n＝－2,又因為兩直線平行，所以－eq\f(m，n）＝eq\f(1，2)，解得m＝1.5。如圖，A,B，C，D是平面直角坐標系上的四個點，將這四個點的坐標分別代入x－y＝k，若在某點處k取得最大值,則該點是（)A。點A B.點BC.點C D.點D考點直線的斜截式方程題點直線斜截式方程的應用答案D解析因為y＝x－k，所以要使k取得最大值，則－k取得最小值，即直線y＝x－k在y軸上的截距最小，易知當直線y＝x－k經過D點時，k取得最大值，故選D。6.已知點M（a,b）在直線4x－3y＋c＝0上，若（a－1）2＋（b－1）2的最小值為4，則實數c的值為()A.－21或19 B。－11或9C.－21或9 D.－11或19考點點到直線的距離題點與點到直線的距離有關的最值問題答案B解析∵點M（a，b）在直線4x－3y＋c＝0上，∴點（1,1)到此直線的最小距離d＝eq\f(|4－3＋c|，5）＝2，得c＝9或－11.7.若直線l1：y＝k(x－4）與直線l2關于點(2，1)對稱，則直線l2過定點（)A。(0,4) B.(0,2)C。(－2，4) D.(4，－2)考點對稱問題的求法題點直線關于點的對稱問題答案B解析∵l1：y＝k（x－4）過定點M（4，0），而點M關于點（2,1)的對稱點為N(0,2）,故直線l2過定點(0，2）。8。已知點A（1，1），B（3,5）到經過點(2，1)的直線l的距離相等，則l的方程為（）A。2x－y－3＝0B.x＝2C。2x－y－3＝0或x＝2D。以上都不對考點點到直線的距離題點利用點到直線的距離求直線方程答案C解析當A，B都在l的同側時，設l的方程為y－1＝k（x－2)，此時,AB∥l，所以k＝kAB＝eq\f(5－1，3－1)＝2,l的方程為2x－y－3＝0.當A，B在l的兩側時,A，B到x＝2的距離相等，因此，l的方程為x＝2，故選C.二、填空題9。若點A(4，－1）在直線l1：ax－y＋1＝0上，則l1與l2：2x－y－3＝0的位置關系是________。考點兩條直線垂直題點兩條直線垂直的判定答案l1⊥l2解析將點A(4，－1)的坐標代入ax－y＋1＝0，得a＝－eq\f(1,2），則kl1·kl2＝－eq\f（1，2)×2＝－1，∴l1⊥l2.10.直線3x＋my－1＝0與4x＋3y－n＝0的交點為(2，－1），則坐標原點到直線mx＋ny＝5的距離為________。考點點到直線的距離題點求點到直線的距離答案eq\f(\r（2),2)解析將x＝2，y＝－1代入直線方程，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×2－m－1＝0，，4×2＋3×－1－n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝5,））∴直線mx＋ny＝5可化為x＋y－1＝0.則坐標原點到直線x＋y－1＝0的距離為eq\f（｜－1|,\r（2））＝eq\f（\r（2)，2）。11。已知A(2,4)，B(3，3），點P(a，b)是線段AB（包括端點)上的動點，則eq\f（b－1，a－1)的取值范圍為________。考點直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系題點傾斜角和斜率關系的其他應用答案[1，3]解析設k＝eq\f(b－1，a－1），則k可以看成點P(a，b)與定點Q(1，1）連線的斜率，如圖所示，當P在線段AB上由B點運動到A點時,PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，∵kBQ＝eq\f（3－1,3－1）＝1，kAQ＝eq\f(4－1,2－1)＝3,∴1≤k≤3，即eq\f(b－1,a－1)的取值范圍是［1，3].三、解答題12．設直線l經過點(－1，1)，此直線被兩平行直線l1:x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得線段的中點在直線x－y－1＝0上，求直線l的方程．考點待定系數法的應用題點侍定系數法求直線方程解設直線x－y－1＝0與l1，l2的交點分別為C(xC,yC），D(xD,yD)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(xC＋2yC－1＝0，，xC－yC－1＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(xC＝1,,yC＝0，）)∴C(1，0）．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（xD＋2yD－3＝0，,xD－yD－1＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(xD＝\f(5,3),，yD＝\f（2,3）,））∴Deq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5,3),\f(2，3)））.則C,D的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4,3），\f(1，3））),即直線l經過點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4,3），\f（1，3))）。又直線l經過點(－1,1)，由兩點式得直線l的方程為eq\f(y－\f（1，3），1－