2.4直線與平面以及

兩平面的相對位置2.4.3直線與平面以及兩平面垂直2.4.1直線與平面以及兩平面平行2.4.2直線與平面以及兩平面相交2.4.4點、直線、平面的綜合作圖題示例1/3/202312.4.1直線與平面以及兩平面平行平面外的直線與該平面平行的幾何條件是：這條直線平行于該平面上的一條直線。1.直線與平面以及兩平面平行的幾何條件兩平面平行的幾何條件是：一平面上的兩相交直線，分別平行于另一平面上的兩相交直線。當平面為一般位置時，常用上述幾何條件來檢驗或求解有關直線與平面以及兩平面平行的問題。1/3/20232［例題2.27］如圖2.60a所示，已知直線AB、△CDE、點P的兩面投影，檢驗直線AB是否平行于△CDE，并過點P作平行于△CDE的平面。圖2.60檢驗AB是否平行△CDE，過P作平面平行△CDE(a)已知條件(b)檢驗、作圖過程和作圖結果［解］①檢驗AB是否平行△CDE過c作cf∥ab，由f引投影連線，與d′e′交得f′，連c′與f′。因c′f′∥a′b′，則CF∥AB，所以AB∥△CDE。②過P作平面平行△CDE過p作pq∥cd，p′q′∥c′d′；過p′作pr∥ce，p′r′∥c′e′，那么兩相交直線PQ、PR所確定的平面，就是所求作的過點P且平行于△CDE的平面。1/3/202332.當平面為特殊位置時，直線與平面以及兩平面平行的投影特性投影特性：直線與平面的同面投影都有積聚性，或直線的投影與平面的有積聚性的同面投影互相平行。當平面為特殊位置時，兩平面相平行的投影特性是：它們的有積聚性的同面投影互相平行。圖2.61當平面為特殊位置時，直線與平面以及兩平面平行的投影特性1/3/20234［例題2.28］如圖2.62a所示，已知點G和處于鉛垂位置的矩形平面ABCD，以及直線EF的正面投影e′f′和端點E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。補全EF的水平投影，過點G作平行于矩形ABCD的平面。圖2.62補全直線EF的水平投影，過點G作矩形ABCD的平行平面［解］①補全直線EF的水平投影②過點G作矩形ABCD的平行平面1/3/202352.4.2直線與平面以及兩平面相交圖2.20直線上的點的投影特性1.直線上的點的投影特性第一個投影特性：直線上的點的投影，必在直線的同面投影上。第二個投影特性：若直線不垂直于投影面，則直線段上的點分割線段的長度比，與該點的投影分割直線段同面投影的長度比相等。1/3/202361.兩相交元素中至少有一個元素的投影有積聚性時相交圖2.63作AB與矩形DEFG的交點，并表明可見性分析：因交點是直線與平面的共有點，所以它的投影應在直線和平面的共有處。即在平面有積聚性的投影與直線同面投影的交點處。交點是可見與不可見的分界點。其可見性可根據前遮后檢定。檢定后，將可見部分畫成粗實線、不可見部分畫中虛線。(1)直線與平面相交［例題2.29］如圖2.63a所示，作直線AB與鉛垂的矩形平面DEFG的交點，并表明可見性。(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果［解］①作AB與矩形DEFG的交點K。②判別并表明可見性。因kb在gf之前，故k′b′可見，畫粗實線;則k′之左被矩形擋住部分不可見，畫中虛線。1/3/20237[例題2.30］如圖2.64a所示，作直線AB與側垂面P的交點，并表明可見性。［解］圖2.64作AB與側垂面P的交點，并表明可見性(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作AB與側垂面P的交點K。②判別并表明可見性。從側面投影知：直線AB在交點K之上的一段位于平面P之前，在交點K之下的一段位于平面P之后，于是就可檢定a′b′在k′之上的一段為可見，在k′之下的一段為不可見。將a′b′以k′為分界點，k′a′畫粗實線、k′b′畫中虛線。1/3/20238［例題2.31］如圖2.65a所示，作正垂線EF與平行四邊形平面ABCD的交點，并表明可見性。［解］圖2.65作正垂線EF與ABCD的交點，并表明可見性(a)已知條件(b)作圖過程和作圖結果①作AB與側垂面P的交點K。②判別并表明可見性。利用EF與CD的對H面的重影點檢定：在ef與cd交點處注出1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可見(2)不可見，表明k(2)段不可見。1/3/20239(2)兩平面相交圖2.66兩個平面多邊形全交和互交(a)全交(b)互交兩平面的交線是一條直線，當兩平面中至少有一個平面為特殊位置時，就可利用積聚性來求作交線。求作兩平面的交線，常常用這樣的作圖方法：先作出平面上的一條直線對另一平面的交點，同樣也再作出第二個交點，然后連成交線。1/3/202310［例題2.32］如圖2.67a所所示，作三角角形ABC與鉛垂的矩形形DEFG的交線，并表表明可見性。。圖2.67作作三角形與與鉛垂矩形的的交線，并表表明可見性(a)已知條件(b)作圖過程和作作圖結果［解］①作三角形與與鉛垂矩形的的交線KL。②判斷并表明明可見性：在在KL之右，三角形形在矩形之前前，三角形的的正面投影可可見，矩形的的正面投影不不可見；在交交線KL之左則相反。。12/25/202211［例題2.33］如圖2.68a所所示，作三角角形ABC與鉛垂的矩形形DEFG的交線，并表表明可見性。。圖2.68作作三角形與與鉛垂矩形的的交線，并表表明可見性(a)已知條件(b)作圖過程和作作圖結果［解］①作三角形與與鉛垂矩形的的交線KL。②判斷并表明明可見性：在交線之右，，三角形在前前，矩形在后后，正面投影影重合處應是是三角形可見見，矩形不可可見；在交線線之左則相反反。12/25/202212［例題2.34］如圖2.69a所所示，分別作作出三角形ABC、水平面Q與正垂面P的交線，并并表明可見性性。圖2.69作作三角形、、水平面與正正垂面的交線線，并表明可可見性(a)已知條件(b)作圖過程和作作圖結果［解］①作三角形ABC與正垂面P的交線DE。②判斷并表明明可見性：在在交線DE的右側，三角角形在平面P之上，三角形形的水平投影影可見；而在在交線DE的左側則相反反。③因為平面P和Q都垂直于正面面，所以它們們的跡線的交交點即為交線線FG的正面投影f′g′，水平投影為為fg。12/25/202213［例題2.35］如圖2.70a所所示，作平行行于側面的三三角形ABC和垂直于正面面的三角形DEF的交線，并表表明可見性。。圖2.70作作側平面三三角形ABC和正垂面三三角形DEF的交線，并并表明可見性性(a)已知條件(b)作圖過程和作作圖結果［解］①作側平面ABC和正垂面DEF的交線KL。②判斷并表明明可見性：在在交線KL之上，三角形形ABC位于三角形DEF之左，三角形形ABC的側面投影可可見，三角形形DEF的側面投影不不可見；在交交線KL之下則相反。。12/25/2022142.兩相交元元素的投影都都無積聚性時時相交圖2.71作作一般位置置直線和一般般位置平面的的交點，并表表明可見性(b)用過直線的特特殊位置的輔輔助平面求交交點的作法概概念(a)已知條件(1)直線與與平面相交當直線和平面面的投影都沒沒有積聚性時時，可以采用用輔助平面法法求作交點，，也就是采用用通過直線加加設特殊位置置的輔助平面面的作圖方法法求作交點；；直線與平面面的同面投影影相重合處的的可見性，可可依靠兩交叉叉直線重影點點的可見性檢檢定。12/25/202215圖2.71作作一般位置置直線和一般般位置平面的的交點，并表表明可見性(d)用用正正垂垂面面解解題題(c)用用鉛鉛垂垂面面解解題題(1)直直線線與與平平面面相相交交當直直線線和和平平面面的的投投影影都都無無積積聚聚性性時時求求作作交交點點的的作圖圖步步驟驟：：①通通過過直直線線作作垂垂直直于于投投影影面面的的輔輔助助平平面面。。②作作平平面面與與輔輔助助平平面面的的交交線線。。③直直線線與與上上述述交交線線的的交交點點，，就就是是所所求求作作的的直直線線和和平平面面的的交交點點。。12/25/202216圖2.72作作兩個一般般位置的平面面的交線，并并表明可見性性(a)已知條條件(2)兩平面面相交當兩平面的投投影都沒有積積聚性時，常常常采用輔助助平面法求交交線，輔助平平面通常采用用兩種形式：一是過一個平平面上的一條條直線作垂直直于投影面的的輔助平面，利用它作出這這條直線與另另一個平面的的交點，同樣樣地再作出這這樣的另一個個交點，即為為兩個平面的的兩個共有點點，便可連成成它們的交線線，如圖2.72所示；；二是先先作一一個特特殊位位置平平面作作為輔輔助平平面，，分別別作出出輔助助平面面與這這兩個個平面面的交交線，，這兩兩條交交線的的交點點，即即為輔輔助平平面和和這兩兩個平平面的的三面面共有有點，，也就就是這這兩個個平面面的共共有點點，同同樣地地再作作出另另一個個共有有點，，將這這兩個個共有有點連連成這這兩個個平面面的交交線，，如圖2.73所示。。12/25/202217(b)作圖圖過程程和作作圖結結果(2)兩平平面相相交：：示例例一作圖步步驟：：圖2.72作作兩個個一般般位置置的平平面的的交線線，并并表明明可見見性①作出出平行行四邊邊形DEFG的的DE邊與三三角形形ABC的交點點Ⅲ。。②作出出平行行四邊邊形的的FG邊與三三角形形ABC的交點點Ⅳ。。③連3與4、3′與與4′′，即即得所所求的的交線線ⅢⅣⅣ的兩兩面投投影34、、3′′4′′。④判別別可見見性：：根據水水平投投影的的重點點l(t)可知知，L在T之上，，故l可見t不可見見，即即CB在四邊邊形之之上，，推知知交線線34之后后三角角形可可見。。另側側相反反。根據正正面投投影的的重點點u′′(v′′)可知知，U在V之前，故u′可見v′不可見，即即AC在四邊形之之后，推知知交線3′′4′之上上四邊形可可見。另側側相反。12/25/202218(a)已知知條件(2)兩平平面相交：：示例二求作由相交交兩直線AB、BC和平行兩直直線DE、FG所確定的兩兩一般位置置平面的交交線。圖2.73作兩一一般位置平平面ABC和DEFG的交線(b)解題題分析12/25/202219(2)兩平平面相交：：示例二作圖步驟：：圖2.73作兩一一般位置平平面ABC和DEFG的交線(c)作圖圖過程和作作圖結果①在正面投投影中作PV∥OX；得得交線上的的一個點ⅨⅨ的兩面投投影9、9′。②在正面投投影中作QV∥OX；得得交線上的的另一個點點Ⅹ的兩面面投影10、10′′。③連9與10、9′′與10′′，并將9、10、9′′10′分分別向兩端端延長，即即為所求交交線KL的的兩面投影影。因為兩兩個平面沒沒有邊界范范圍，所以以不必表明明可見性。。12/25/2022202.4.3直線與與平面以及及兩平面垂垂直1.直線與與平面以及及兩平面垂垂直的幾何何條件與投投影特性圖2.74直線與與一般位置置平面相垂垂直的投影影特性直線與平面面相垂直的的幾何條件件：該直線垂直直于這個平平面上的任任意兩條相相交直線；；直線與一般般位置平面面相垂直的的投影特性性：直線的水平投影與平面上水水平線的水平投影相垂直；直線的正面投影與平面上正正平線的正面投影相垂直；直線的側面投影與平面上側側平線的側面投影相垂直。12/25/2022211.直線與與平面以及及兩平面垂垂直的幾何何條件與投投影特性兩平面互相相垂直的幾幾何條件：：一個平面上上有一條直直線垂直于于另一平面面。兩平面互相相垂直的投投影特性兩平面互相相垂直的投投影特性：：包含一條平平面的垂直直線所作的的平面，與與該平面垂垂直。12/25/202222［例題2.36］如如圖a所示示，過點A作一平面垂垂直于一般般位置直線線BC。［解］圖2.75過A作作平面垂直直于BC(a)已知知條件(b)作圖圖過程和作作圖結果①過a′作OX軸的平行線線a′d′，過a作ad垂直于bc，便作出了了與BC相垂直的水水平線AD。②過a作OX軸的平行線線ae，過a′作a′e′垂直于b′c′，便作出了了與BC相垂直的正正平線AE。③相交兩直直線AD、AE所確定的平平面ADE即為所求。。12/25/202223［例題2.37］如圖圖a所示示，過點點A作一平面面，平行行于直線線BC，垂直于于三角形形DEF。圖2.76過過點A作作平面平平行于BC，垂垂直于三三角形DEF(a)已已知條件件［解］(b)作作圖過程程和作圖圖結果分析：按直線與與平面平平行和兩兩平面垂垂直的幾幾何條件件，只要要所作的的平面既既包含過過點A的BC的平行線線，又包包含過點點A的三角形形DEF的垂線，，就能滿滿足題目目的要求求。①過點A作AG∥BC：作ag∥bc，a′g′′∥b′c′′，就作出出了AG的兩面面投影。。②過點A作AH⊥△DEF：作△DEF平面上的的一條水水平線DⅠ和一條條正平線線DⅡ。過a作ah⊥d1，過a′作a′h′′⊥d′2′，便便作出了了AH的兩面投投影。③兩相交交直線AG和AH所確定的的平面AGH即為所求求。12/25/202224［例題2.38］如圖a所所示，檢檢驗兩三三角形ABC與與DEF是否垂垂直。圖2.77檢檢驗兩三三角形ABC和和DEF是否垂垂直(a)已已知條件件(b)檢檢驗的作作圖過程程和作圖圖結果［解］①分別在在三角形形DEF平面上作作水平線線DⅠ和正平平線DⅡ。②過b′作b′g′′垂直于d′2′，與與a′c′′交得g′；由g′引投影連連線，與與ac交得g，連b與g。檢驗bg是否與d1垂直：：如bg與d1垂直，，則在三三角形ABC上能作出出一條直直線BG與三角形形DEF相垂直，，兩三角角形互相相垂直；；否則，，兩三角角形不垂垂直。結論：bg垂直于d1，所以以檢定了了三角形形ABC與DEF是互相垂垂直的。。12/25/2022252.兩元元素中至至少有一一個處于于特殊位位置時，，直線與與平面以以及兩平平面垂直直圖2.78特殊位置置的直線線與平面面互相垂垂直(1)特特殊位置置的直線線與平面面互相垂垂直a)同一一投影面面的平行行線與垂垂直面相相垂直；；(b)同同一投影影面的垂垂直線與與平行面面相垂直直12/25/202226［例題2.39］如圖圖a所示示，過點點A作正垂面面三角形形CDE的垂線AB和垂足B，并確定定點A與三角形形CDE平面的真真實距離離。圖2.79過過A作三角形形CDE的垂線和和垂足，，并求A與CDE平面的距距離(a)已已知條件件(b)作作圖過程程和作圖圖結果［解］12/25/202227(2)兩兩平面中中至少有有一個平平面處于于特殊位位置時互互相垂直直兩平面中中至少有有一個平平面處于于特殊位位置時互互相垂直直（a)平平面與投投影面垂垂直面相相垂直(b)平平面與投投影面平平行面相相垂直①與某一一投影面面的垂直直面相垂垂直的平平面，一一定包含含該投影影面垂直直面的垂垂線，可可以是一一般位置置平面，，也可以以是這個個投影面面的垂直直面或平平行面。。②與某一一投影面面的平行行面相垂垂直的平平面，一一定包含含這個投投影面的的垂直線線，一定定是這個個投影面面的垂直直面，也也可以是是其它兩兩個投影影面的平平行面。。12/25/202228(2)兩平面面中至少有一一個平面處于于特殊位置時時互相垂直圖2.80垂垂直于同一一投影面的兩兩平面相垂直直的投影特性性③兩個垂直于于同一投影面面的平面互相相垂直，它們們的有積聚性性的同面投影影也互相垂直直。12/25/202229［例題2.40］如圖2.81a所所示，過直線線AB作一般位置平平面垂直于正正垂面P，過點C作垂直于正垂垂面P的正垂垂面Q和正平面R。兩平面中至少少有一個平面面處于特殊位位置時互相垂垂直（a)已知條條件(b)作圖過過程和作圖結結果①過一已知直直線可以作一一個已知平面面的垂直面，，而且只能作作一個垂直面面，這個平面面應包含這條條已知直線和和一條垂直于于已知平面的的直線。［解］②過一點可以以作一個已知知平面的無數數個垂直面。。因此，過點點C可以作無無數個平面垂垂直于正垂面面P。而現在在加了是正垂垂面和正平面面的條件限制制，則只能分分別作出一個個平面。12/25/202230空間幾幾何問問題，，主要要是指指點、、直線線、平平面等等幾何何元素素以及及它們們之間間的相相對位位置關關系的的度量和定位問題。。求解解作圖圖時，，應注注意：：(1)要理解題題意，想象象清楚楚已知知和求求作的的幾何何元素素之間間的空空間關關系。。(2)根據據點、、直線線、平平面及及其相相對位位置的的投影影特性性和幾幾何條條件，，用推推理或或軌跡跡等方方法分析和和思考考出解解題的的步驟驟。對于于綜合合程度度較高高和比比較復復雜的的問題題可一一邊想想，一一邊逐逐步用用徒手手畫出出它們們的立立體示示意圖圖幫助助分析析和思思考。。有時時還要要考慮慮多解解的可可能性性。(3)運用用幾何何原理理和投投影特特性，，按解解題步步驟在在投影影圖中中逐步步準確確作圖，得出出求解解結果果。點點、直直線、、平面面的綜綜合作作圖題題示例例12/25/202231［例題題2.41］如如圖2.82a所示示，過過點A作一般般位置置的三三角形形BCD的垂線線AK和垂足足K，并作作出點點A與三角角形BCD之間的的真實實距離離。［解］］圖2.82過過A作三角角形BCD的垂線線AK，并求求真實實距離離(a)已知知條件件(b)作圖圖過程程和作作圖結結果①在三三角形形BCD平面上上作水水平線線DⅠ和正平平線DⅡ；②過A作三三角形形BCD的垂線線AE；③作AE與與三角角形BCD的交點點，即即為垂垂足K；④作線線段AK的真長長。(完成成作圖圖)12/25/202232［例例題題2.42］］如如圖圖2.83a所所示示，，過過點點A作一一般般位位置置直直線線BC的垂垂線線AK和垂垂足足K，并并作作出出點點A與直直線線BC之間間的的真真實實距距離離。。［解解］］圖2.83過過A作直直線線BC的垂垂線線AK，并并求求真真實實距距離離(b)解解題題分分析析的的示示意意圖圖(a)已已知條件件(c)作作圖過程程和結果果①過A作垂直直于BC的平面面②作BC與平面面的交交點K③連A、K成所求求垂線線AK④作AK的真長長(完成成作圖圖)12/25/202233［例題2.43］如如圖2.84a所示示，求作直直線AB與一般位置置的三角形形CDE平面的夾角角。［解］圖2.84作直線線AB與一般位置置的三角形形CDE的夾角(b)解題題分析的示示意圖(a)已知知條件(c)作圖圖過程和結結果①過直線AB的任一一端點，作作CDE平面的垂線線②作AB和AF的夾角③作的余角(完成作圖圖)12/25/202234［例題2.44］如如圖2.85a所示示，求作兩兩一般位置置的三角形形平面EFG和IJK之間的夾角角。［解］圖2.85作兩一般位位置的三角角形EFG和IJK之間的夾角(b)解解題題分分析析的的示示意意圖圖(a)已已知知條條件件(c)作作圖圖過過程程和和結結果果①在在空空間間任任取取一一點點A，，由由A分分別別向向兩兩個個平平面面作作垂垂線線。。②作出兩垂線間夾角③作的補角(完完成成作作圖圖)12/25/202235［例題2.45］如圖2.86a所所示，已知矩矩形ABCD的一邊AB的兩面投影及及其鄰邊BC的正面投影b′c′，補全矩形ABCD的兩面投影。。［解］圖2.86補全矩形ABCD的兩面投影(a)已知條條件(b)作圖過過程和結果①過點B作平面垂直于于AB。②在AB的垂直面上，，作出該平面面上的直線BC的水平投影bc。③過A、C分別作BC、AB的平行行線，，就可可補全全這個個矩形形的兩兩面投投影。。(完成成作圖圖)12/25/202236［例題題2.46］如如圖2.87a所示示，已已知等等腰三三角形形DEF的頂點點D和一腰腰DE在水平平線DG上，另另一腰腰DF平行于于三角角形ABC，頂點點F在直線線IJ上，作作出這這個等等腰三三角形形DEF的兩面面投影影。［解］］圖2.87按按給給定的的條件件作△△DEF的兩面面投影影(a)已知知條件件(b)作圖圖過程程和作作圖結結果①過D作平行行于三三角形形ABC的平面面。②作IJ與上述述平面面的交交點F，連D與F。③作DF的真長長。④在DG上取離離D為DF真長的的E，連EF，，即可得得所求求的等等腰三三角形形DEF的兩面面投影影。(完成成作圖圖)12/25/202237［例題題2.47］如如圖2.88a所示示，已已知等等邊三三角形形ABC的一邊邊AB，另一一頂點點C在AB的前上上方，，過點點C的高線線CD兩端點點的高高差為為19mm，補補全等等邊三三角形形ABC的兩面面投影影。［解］］圖2.88按按給給定條條件補補全等等邊三三角形形ABC的兩面面投影影(a)已知知條件件(b)作圖圖過程程和作作圖結結果①作AB的真長長，取取AB的中點點D，作出出等邊邊三角角形ABC的真形形，在在真形形中作作出高高線CD，由CD的真長長和CD的兩端端點C、D的z坐標差差作出出CD的水平平投影影cd的長度度。②過D作AB的垂直面面，在該該平面上上取z坐標比D的大19的水平平線，按按作出的的cd的長度在在該水平平線上定定出頂點點C。③連A與C、B與C，就作出出△ABC的兩面投投影。(完成作作圖)12/25/202238本節學習習結束！！12/25/2022399、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業業貧貧。。。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。14:53:3314:53:3314:5312/25/20222:53:33PM11、以我獨獨沈久，，愧君相相見頻。。。12月-2214:53:3314:53Dec-2225-Dec-2212、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。14:53:3314:53:3314:53Sunday,December25,202213、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。12月-2212月-2214:53:3314:53:33December25,202214、他鄉生白白發，舊國國見青山。。。25十二二月20222:53:33下下午14:53:3312月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月222:53下下午12月-2214:53December25,202216、行行動動出出成成果果，，工工作作出出財財富富。。。。2022/12/2514:53:3314:53:3325December202217、做做前前，，能能夠夠環環視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。2:53:33下下午午2:53下下午午14:53:3312月月-229、沒沒有有失失敗敗，，只只有有暫暫時時停停止止成成功功！！。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、很多事情努努力了未必有有結果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。14:53:3314:53:3314:5312/25/20222:53:33PM11、成功就是日日復一日那一一點點小小努努力的積累。。。12月-2214:53:3314:53Dec-2225-Dec-2212、世間成事，，不求其絕對對圓滿，留一一份不足，可可得無限完美美。。14:53:3314:53:3314:53Sunday,December25,202213、不知香香積寺，，數里入入云峰。。。12月-2212月-2214:53:3314:53:33December25,202214、意意志志堅堅強強的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像