一、填空題

常微分方程考題1．二階線性齊次微分方程的兩個解y

(x),

(x)為方程的基本解組充分必要條件．2y2yy

1 2的基本解組是 ．1y21y2方程dydx

的常數解是 ．5、若

(t)

(t)都是x'A(t)x 的基解矩陣，則(t)

和(t)具有的關系是 。(tx

A(t)x的基解矩陣，則向量函數(t)= 是x

A(t)xf(t) 的滿足初始條件(t)0的解；向量函數(t)= 0二、單項選擇題

x'A(t)xf(t的滿足初始條件(t)的解。0f(y)連續可微是保證方程dyf(y)解存在且唯一的（ ）條件．dx必要 （B）充分 充分必要 必要非充分二階線性非齊次微分方程的所有解（ ．構成一個2維線性空間 （B）構成一個3維線性空間不能構成一個線性空間 構成一個無限維線性空間dy3y2．方程dx 3過點(0,0有（B ．無數個解 (B)只有一個解 (C)只有兩個解 (D)只有三個解三、計算題求下列方程的通解或通積分：10.

dyylny dyyxy5dx dx12．2xydx(x四、計算題

y2)dy0 13．yxy2(y)3x

Axf(t的解(t).1 2 et(0),A4 3,f(t)1dy.求

xy1的通解dx xy3y5y5x2的通解．求下列方程組的通解．dxy 1dt sintdydyxdt常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零．ex,xex3. 開 4. y1 5. (t)(t)C6. tt0

(t)(s)f(s)ds (t)1(t0

t)t1(s)f(s)dst0二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）7．B 8．C 9．B三、計算題（每小題６分，本題共30分）解：1d(|ln(lny)|)xln(lny)|Cdyy5dyy5 y4xdxdy dz令y4

z，則4y5 ，代入上式，得dx dx1dz4dx

zx這是一階線形微分方程，對應一階線形齊次方程的通解為zce4x1利用常數變易法可得到一階線形微分方程的通解為1zCe4xx 4因此原方程通解為1y4Ce4xx 4M解：因為

2x

，所以原方程是全微分方程．取(x,y0 0

y x)(0,0)，原方程的通積分為x2xydxyy2dyC0 0計算得1x2yy3C3解：原方程是克萊洛方程，通解為yCx2C3四、計算題（每小題10分，本題共20分）14.det(EA)4

2

(5)0 1 2

1(EA)v1

0得v 1

取v 1 (EA)v 0 2 2

v22取v2

12則基解矩陣

(t)

etet

e5t2e5tet e5t1 0et(t)1

1 1 et

2e5t2 2

et 3t t sft t sfsds ()1() () 3

e5t

et 24 511t0 e5tet10 2 5因此方程的通解為：(t)(t)1(t)tt0

1(s)f(s)ds2320e5t

et141

et 253 1 1 e5t

et

et

xy1

10 2 5 x y 3

得x1,y2,

1Y令Xxy2

dY

X

XdX XY 1YXY du 1u2 u)du dX令u ,得X 將變量分離后得 兩邊積分得X dX 1u1

1u2 Xarctanu u2)lnXc2

(x(x(y2)2變量還原并整理后得原方程的通解為arctan lnx1解：對應齊次方程的特征方程為250，特征根為1

0，2

5，齊次方程的通解為 yC1

Ce5x2因為0是特征根。所以，設非齊次方程的特解為y111B，C3511x22 3525

x(Ax

BxC) 代入原方程，比較系數確定出A 25原方程的通解為yC1

Ce52

x3 x解：齊次方程的特征方程為11210 特征根為i1求得特征向量為ix因此齊次方程的通解為

cost

sinty 1-sint 2cost令非齊次方程特解為

x

cost sint ~

C(t) C(t)

C (t),

(t)滿足y

1 -sint

2 cost 1 2cost sintC(t) 1 sint cost

1 sint C2

t) 0 解得C(t)1

co,sint

(t)12積分，得C

(t)